湖北省武汉市青山区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖北省武汉市青山区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
青山区教育局教研室命制2023、11
本试卷满分120分考试用时120分钟
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1.一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ）
A.2，3B.2，-3C.-2，-3D.2，-1
2.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3.用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A.B.C.D.
4.将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
5.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
6.如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A.30°B.40°C.50°D.60°
7.如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ）
A.格点MB.格点NC.格点PD.格点Q
8.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，四边形ACBD是内接四边形，延长BC，DA交于点E，延长CA，BD交于点F，，CD是的角平分线，若，则AF的长为（ ）
A.B.C.3D.4
10.关于x的二次函数，在时的最大值与最小值的差大于15，则m的取值范围是（ ）
A.B.或
C.D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置.
11.点关于原点成中心对称的点的坐标为_______.
12.已知一元二次方程的两根为，，则_______.
13.如图，AB为的直径，弦于点E，若，，则OA的长为_______.
14.如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的亚运会吉祥物图画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，则纸边的宽为________cm.
15.如图，抛物线与x轴交于点，，且.下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中一定正确的是_________.（填写序号）.
16.如图，在菱形ABCD中，，E、F分别为AD、CD边上的点，，，.则EF=_______.（用含m，n的代数式表示）
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.（本题满分8分）解方程：.
18.（本题满分8分）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到.若点恰好落在边BC上，且，求的度数.
19.（本题满分8分）某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出件，如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元？
20.（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于，AC为的直径，B为的中点.
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求BD的长.
21.（本题满分8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，BC，AC是的两条弦，且点A，B，C都是格点，点D是与格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
图1 图2
（1）在图1中，先画出圆心O，再画的中点E；
（2）在图2中，先在上画点F（异于点C），使，再过点D作交于点G.
22.（本题满分10分）要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现。喷头高时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m.以O为原点，OA所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系.
（1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
（2）求水柱落地点A到水池中心O的距离；
（3）若水池半径为3.5m，则喷头最大高度为____m才能使喷出的水流不至于落在池外.
23.（本题满分10分）在中，，，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，点A，C的对应点分别是E，D，连接CD.
图1 图2 图3
（1）如图1，当点D恰好在边AB上时，直接写出角度的大小和AD的长；
（2）点F是边AB中点，连接CF，EF.
①如图2，若，求证：四边形CDEF是平行四边形；
②如图3，取DE中点G，连接FG，若，直接写出面积的最大值.
24.（本题满分12分）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
图1 图2
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，于点D，求PD的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线上.求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标.
参考答案
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分把答案填在题中横线上.）
11.；12.2；13.；14.5；15.①③④；16..
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：，，（3分）
（4分）
方程有两个不等的实数根
（6分）
即，（8分）
注：本题其它解法参照评分.
18.∵将绕点A按逆时针方向旋转得到.
∴，（4分）
∵
∴
∴；
设
则（5分）
∵
在中
（6分）
解得：（7分）
∴（8分）
19.解：（3分）
解得：（6分）
∵销售量随a的增大而减小，要使每天的销售量尽量大则定价应为（7分）
答：每件商品的定价为40元（8分）
20.（1）为等腰直角三角形，（1分）
理由如下：
∵AC为的直径
∴（2分）
∵B为的中点
∴
∴（3分）
∴为等腰直角三角形。（4分）
（2）作交DA延长线于点E.
则
∴
∵四边形ABCD内接于
∴
又∵
∴
在与中
∴
∴（5分）
∴，，
∵
∴（6分）
在中，
∴
即：
∴（8分）
图1 图2
注：本题两问其它做法参照评分.
21.（1）如图1所示，圆心O，的中点E即为所求；（4分）注：每小问2分，共4分
（2）如图2所示，点F和点G为所求；（8分）每小问2分，共4分
注：本题几问其它解法参照评分.
22.解：（1）依题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过点.
设水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为：（1分）
∴（2分）
解得：（3分）
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为：
（4分）
注：本问其它解法参照评分.
（2）依题意有：令
即：（5分）
解得：（不合题意，故舍），（6分）
∴水柱落地点A到水池中心O的距离为（7分）
（3）喷头最大高度为才能使喷出的水流不至于落在池外（10分）
23.解：（1）（1分）；（2分）共3分；
（2）①证明：如图，
∵点F是边AB中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针旋转60°得到，
∴，，，，（4分）
∴，（4分）
和均为等边三角形，
∴，（5分）
∵点F为的边AB的中点，
∴，
∴
在和中
∵
∴（6分）
∴，（7分）
又.
∴四边形CDEF是平行四边形，（8分）
②面积的最大值为：（10分）
注：本题几问其它解法参照评分.
24.（1）A，B，C三点的坐标分别为点，点，点；（3分）
注：每个点坐标1分，共3分.
（2）过点P作轴于点E，交BD于点F，
∵点和点
设直线BC的解析式为：（，且k，b为常数）
则有：，解得
∴直线BC的解析式为：（4分）
设点，则点
∴PF的最大值为（6分）
∵，
∴
∴
∴PD的最大值为（7分）
注；本小题其它解法参照评分.
（3）设点，，
直线MN：；直线CM：；直线BN：；
将点代入直线CM的解析式得：
将点代入直线BN的解析式得：
则直线CM：，直线BN：
联立直线MN与抛物线的解析式
得：
则，（8分）
同理：，得，
∴，（9分）
联立直线CM与直线BN的解析式得：，
解得：
∵直线CM与直线BN的交点在直线上
∴
化简得：（10分）
∴（11分）
∴直线MN：，
∴不论k为何值，均有当时，
即：直线MN恒过定点（12分）
注：本小题其它解法参照评分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
A
C
D
C
D
B