江苏省宿迁市泗洪县2023-—2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份江苏省宿迁市泗洪县2023-—2024学年八年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）全等图形是指两个图形（ ）
A．面积相等B．形状一样
C．能完全重合D．周长相同
3．（3分）正方形是轴对称图形，它有对称轴的条数（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为（ ）
A．7cmB．13cmC．6cmD．8cm
5．（3分）已知：如图，AB＝AD，AC平分∠BAD，判定△ABC≌△ADC的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．HL
6．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．2.4 kmB．3.6 kmC．4.2 kmD．4.8 km
7．（3分）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
8．（3分）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）请你任意写出一组勾股数 ．
10．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 ．
11．（3分）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴．
12．（3分）等腰三角形中有一个角等于110°，则它的一个底角的度数是 °．
13．（3分）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．
14．（3分）如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 cm2．
15．（3分）如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3．阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个．
三、解答题（本题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝DF，AE∥DF．
求证：△ABE≌△DCF．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，求证：∠A＝∠C．
21．（8分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝20，BC＝24，AD＝16．求AC的长．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
四、解答题（本题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
24．（10分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．
25．（10分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
26．（10分）（1）如图1，直线l是线段AB的垂直平分线，在l上取一点P，连接BP、AP并延长AP到点C，判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
（2）尺规作图：如图2，点A、B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺和圆规在直线MN上求作一点P，使得∠APM＝∠BPN．（保留作图痕迹，不写作法）
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知AD是等腰三角形ABC的腰BC上的高，且∠DAB＝60°．”要求学生画出符合条件的图形，并求出△ABC各角的度数．
小明同学画出如下图形，并在图中标出△ABC 各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出△ABC各角的度数．
28．（12分）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【操作】
操作①：对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）．
操作②：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，连接AN（如图2）．
【思考】
（1）A、B关于直线EF对称，AN与BN的大小关系是 ；A、N关于BM对称，则AB与BN的大小关系是 ．
【探究】
（2）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．（3分）全等图形是指两个图形（ ）
A．面积相等B．形状一样
C．能完全重合D．周长相同
【解答】解：全等图形是指两个图形能完全重合，
故选：C．
3．（3分）正方形是轴对称图形，它有对称轴的条数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：正方形是轴对称图形，它有对称轴的条数4．
故选：D．
4．（3分）等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为（ ）
A．7cmB．13cmC．6cmD．8cm
【解答】解：当6cm是腰时，因6+6＜13，不能组成三角形，应舍去；
当13cm是腰时，6cm、13cm、13cm能够组成三角形．
则第三边应是13cm．
故选：B．
5．（3分）已知：如图，AB＝AD，AC平分∠BAD，判定△ABC≌△ADC的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．HL
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴判定△ABC≌△ADC的依据是“SAS”．
故选：B．
6．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．2.4 kmB．3.6 kmC．4.2 kmD．4.8 km
【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴，
∵AB＝4.8 km，
∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km，
故选：A．
7．（3分）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【解答】解：方案Ⅰ：∵CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵DC＝DA，
∴△ACD是等腰三角形，
∵BE⊥AB，
∴AB＝BC，
∴Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：B．
8．（3分）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）请你任意写出一组勾股数 12，16，20 ．
【解答】解：∵122+162＝202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．
故答案为12，16，20．
10．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 50° ．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α＝50°．
故答案为：50°．
11．（3分）由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 3 条对称轴．
【解答】解：由三个一样的圆组成图形如图所示，它有3条对称轴．
故答案为：3．
12．（3分）等腰三角形中有一个角等于110°，则它的一个底角的度数是 35 °．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°；
②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°＝240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故它的一个底角的度数是35°．
故答案为：35．
13．（3分）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，
故答案为2．
14．（3分）如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 14 cm2．
【解答】解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，AM平分∠BAC，
∴MD＝MC＝4cm，
∴△ABM的面积＝AB•MD＝×7×4＝14（cm2）．
故答案为：14．
15．（3分）如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3．阴影部分的面积为 ．
【解答】解：∵△ABC≌△EDB，
∴BA＝AE，∠EAD＝∠ABC，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝AE＝，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴阴影部分的面积为×5×5＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为 5 ．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∵CD＝3，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
17．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则图中符合条件的格点有 5 个．
【解答】解：如图，
∵AB＝＝，
∴①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故答案为：5．
三、解答题（本题共4题，每题8分，共32分）
19．（8分）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，AC＝BD，AE＝DF，AE∥DF．
求证：△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴AB+BC＝DC+BC，
∴AB＝DC，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，求证：∠A＝∠C．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
21．（8分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝20，BC＝24，AD＝16．求AC的长．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝24，
∴BD＝BC＝×24＝12，
∵AB＝20，AD＝16，
∴AD2+BD2＝162+122＝400，AB2＝202＝400，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB＝20．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝25°，
∴∠EAB＝∠B＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝65°，
∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．
四、解答题（本题共4题，每题10分，共40分）
23．（10分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10﹣x）尺，
根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
∴折断处离地面4.55尺．
24．（10分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．
【解答】解：所求图形，如图所示．
25．（10分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
26．（10分）（1）如图1，直线l是线段AB的垂直平分线，在l上取一点P，连接BP、AP并延长AP到点C，判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
（2）尺规作图：如图2，点A、B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺和圆规在直线MN上求作一点P，使得∠APM＝∠BPN．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）∠1＝∠2．
理由如下：如图1，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，l⊥AB，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）如图2，作A点关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于P点，
则P点为所作．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．（12分）数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知AD是等腰三角形ABC的腰BC上的高，且∠DAB＝60°．”要求学生画出符合条件的图形，并求出△ABC各角的度数．
小明同学画出如下图形，并在图中标出△ABC 各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出△ABC各角的度数．
【解答】解：由题意得，分三种情况：
（1）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形内部，∠B＝90°﹣∠DAB＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝∠C＝75°；
（2）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部，∠ABC＝∠D+∠DAB＝90°+∠60°＝150°，∠BAC＝∠C＝15°；
（3）当点C为顶角的顶点时，∠B＝90°﹣∠DAB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣2∠B＝180°﹣2×30°＝120°，∠BAC＝∠B＝30°．
28．（12分）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【操作】
操作①：对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）．
操作②：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，连接AN（如图2）．
【思考】
（1）A、B关于直线EF对称，AN与BN的大小关系是 AN＝BN ；A、N关于BM对称，则AB与BN的大小关系是 AB＝BN ．
【探究】
（2）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
【解答】解：（1）由折叠可知：AB＝BN，EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
故答案为：AN＝BN，AB＝BN；
（2）△BMP是等边三角形，证明如下：
由（1）知：△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠PBN＝30°，
∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠BAM＝90°，
∴∠BMP＝60°，
∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°，
∴△BMP是等边三角形．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，最后测出DC的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，最后测出DC的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．