北师大版九年级数学下册 专题2.24 二次函数与一元二次方程（附答案）

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（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）或
【分析】
（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；
（2）求得D点的坐标，然后根据图像即可求得．
【详解】
解：（1）设二次函数的表达式为，
把点代入，得，解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，解得或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x=-1，
∴D（-2，3），
由图像可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜-2或x＞1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数与不等式的关系．
举一反三：
【变式1】 如图，二次函数图像与x轴的交点为A，与直线交于点B（4，3）
（1）求此二次函数的顶点坐标和点A的坐标；
（2）根据函数的图像，直接写出当函数值＞时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为(2，-1)，点A的坐标为(1，0)；（2）或
【分析】
（1）利用配方法把二次函数配成顶点式即可求解；
（2）观察图像，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1），
∴顶点坐标为(2，-1)，
令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(1，0)；
（2）观察图像，知：当或，二次函数图像在直线的上方，
∴当函数值＞时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解本题的关键．
【变式2】已知二次函数的图像经过点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图像，并利用图像解决下列问题：
①直接写出方程的解．
②当满足什么条件时，．
【答案】（1）；（2）①，；②或
【分析】
（1）把点代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；②当时可由图像直接进行求解．
【详解】
解：（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）由五点法可得如图所示：
①由图像可得：
方程的解是，；
②由图像可得，当时，或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【变式3】 如图，抛物线成直线交于两点．
（1）分别求出的值；
（2）求的最大值；
（3）求点A的坐标，并根据图像判断，当x取何值时，？
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）根据抛物线与直线交于，两点，可以求得、的值；
（2）根据（1）中、的值，可以写出和的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，即可得到的最大值；
（3）将和的解析式联立方程组，求出、的值，即可得到点的坐标，然后根据图像，可以写出当取何值时，．
【详解】
解：（1）抛物线与直线交于，两点，
，，
解得，，；
（2），，
抛物线，直线，
，
即当时，取得最大值，
即的最大值是；
（3），
解得，或，
点的坐标为，，
由图像可得，
当时，．
【点睛】
本题考查二次函数与不等式组、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1．已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积．
【答案】（1）y=-x2+7x-6；（2）15
【分析】
（1）把A，B的坐标利用待定系数法代入y=-x2+mx+n中，求出m，n的值，从而求出抛物线的解析式．
（2）求出抛物线与x轴的交点，再利用三角形的面积公式就可以求出抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+n经过点A（1，0），B（0，-6），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+7x-6．
（2）在y=-x2+7x-6中令y=0，
解得x=6或1，
则抛物线与x轴的另一个交点C是（6，0），
因而AC=5，又B（0，-6），
∴抛物线与y轴交点为（0，-6），即OB=6，
抛物线与坐标轴的三个交点连接而成的三角形的面积S=×5×6=15．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 抛物线与轴的交点为点、．
（1）求点、的坐标；
（2）观察图像，直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）点、的坐标为和；（2）
【分析】
（1））把代入，解关于的一元二次方程即可求解；
（2）如图，当时，图像对应的抛物线在轴下方，据此确定的取值范围即可．
【详解】
解：（1）把代入，得
解得：，
∴点、的坐标为和；
（2）由图像可知当时，．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，抛物线和交点与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确理解抛物线与交点的横坐标是一元二次方程的两个根是解题的关键.
【变式2】如图，抛物线交轴于，两点，点在点左侧，点的坐标为，，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点．
（1）若点的坐标为，求的长．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把A点坐标代入y=-(x-m)2+9中求得m=1或m=7，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求DE的长；
（2）通过解方程-(x-m)2+9=0得A（m-3，0），B（m+3，0），则AB=6，所以DE=3，利用抛物线的对称性得到2(m-6)=3，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9得-(4-m)2+9=0，
解得m=1或m=7，
∵点A在点B左侧，
∴m=7，
即抛物线的对称轴为直线x=7，
∵CD⊥x轴，DE⊥CD，
∴点E与点D关于直线x=7对称，
而D点的横坐标为6，
∴DE=2×(7-6)=2；
（2）当y=0时，-(x-m)2+9=0，
解得x1=m-3，x2=m+3，
∴A（m-3，0），B（m+3，0），
∴AB=m+3-(m-3)=6，
∴DE=AB=3，
∵D点的横坐标为6，
∴2(m-6)=3，
∴m=．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图像的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图像于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．
【答案】（1）点的坐标为，直线的函数关系式为；（2）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【详解】
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线CD的表达式为y=x-3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，
故(m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
1．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
二次函数图像的开口方向____，顶点坐标是____，m的值为____；
点、在函数图像上，____填、、；
当时，x的取值范围是____；
关于x的一元二次方程的解为____．
【答案】向上，，5；；；，．
【分析】
由表格可见，函数的对称轴为x＝1对称轴右侧，y随x的增大而增大,故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ；
根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小；
根据表格的特点及二次函数的性质即可判断；
根据表格可得x=-2或4时，y=5，即可求解．
【详解】
（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，
顶点坐标为（1，−4），根据函数的对称性m＝5；
故答案为：向上；（1，−4）；5；
（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；
故答案为：＞；
（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：−1＜x＜3，
故答案为：−1＜x＜3；
（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的解为：x＝−2或4，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
举一反三：
【变式1】 在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC=，求点P的坐标；
【答案】（1）； （2）
【分析】
（1）根据题意，将点A、B坐标分别代入二次函数解析式中，即可解题；
（2））连结OP，设，先求得点C的坐标，再根据，结合三角形面积公式解题即可．
【详解】
二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，
，解得：
；
（2）连结OP，设，由题意得，
整理得：
或（舍去）
【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数解析式的求法、二次函数图像与坐标轴的交点、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4
【分析】
（1）直接观察图像，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图像在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）观察图像可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图像在x轴的下方，由函数的图像可知：x＞3或x＜﹣1；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图像、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．
【变式3】 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）．
（1）求b，c的值．
（2）将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G．若DE＝GF，求m的值．
【答案】(1)b=-2，c=-3；(2) ．
【分析】
(1)由二次函数y＝x2+bx+c的图像经过B（3，0）且经过点（﹣2，5），故只需要将这两个点的坐标代入解析式中求解b，c的值即可；
(2)根据平移性质得到D点坐标为（3，-m），再根据DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G可以用m表示F， E，G三点的坐标，再根据DE＝GF进行求解即可．
【详解】
解：(1) 由二次函数y＝x2+bx+c的图像经过B（3，0）且经过点（﹣2，5）
∴将两个点的坐标代入函数解析式中得：
即
∴，．
(2)如图所示，
将点B向下平移m个单位至点D，B的坐标为（3，0），
∴D点坐标为（3，-m）,直线GD的解析式为：y=-m
∵DF⊥y轴于点F
∴F的坐标为（0，-m）
由第一问知二次函数解析式为：
∴
设G（，），E（，）
∴，是一元二次方程的两根
∴，
由二次函数性质可知，
∴，
又∵
∴
即
则解得
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，以及根与系数的关系，熟练的掌握根与系数之间的关系是解题的关键．
1．已知，抛物线，
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可；
（2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度．
【详解】
（1）由题意：==，
不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：，
此时抛物线得解析式为：，
令，解得，，故，
．
【点睛】
本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0)
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入解析式中，求出b，c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）令x=0，得到y，从而可得点C坐标，再根据点A和点B坐标，利用三角形面积公式求出结果．
【详解】
解：（1）将A(3，0)、B(－1，0)代入，
则，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；
（2）令x=0，
则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴△ABC的面积==6．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】已知关于的二次函数．
（1）试判断该函数的图像与轴的交点的个数；
（2）当时，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离．
【答案】（1）2个;（2）
【分析】
(1)运用根的判别式进行判断即可；
（2）将k=3代入解析式得到一元二次方程，然后解方程得到两根，再用大根减小根即可.
【详解】
（1），
∵，
∴，
∴二次函数的图像与x轴有两个交点；
（2）当时，二次函数为，令y=0，
则，
解得，，
∴与轴交点为，，
∴两交点间的距离为：.
【点睛】
本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键.
【变式3】 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为2；（3或．
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；
（2）把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；
（3）直线EF下侧的图像符合要求．
【详解】
（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝或，
则EF长；
（3）由题意得：
当y≤时，直接写出x的取值范围是：或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大． x



0
1
2
3
4

y

5
0



0
m