北师大版九年级数学下册 专题2.1 二次函数（知识讲解）下册基础知（附答案）

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1、理解二次函数的概念；
2、能根据二次函的解析式判断是否为二次函数；
3、根据二次函数概念求参数。
【要点梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0 时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.
特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【典型例题】
类型一、二次函数的判断
1． 下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).
【答案】①④
【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．
解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数；
②y＝2x，是一次函数；
③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数；
④m＝3－t－t2，是二次函数.
故填①④．
【点拨】本题考查二次函数的定义．
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
判断一个函数是二次函数需要注意三点：
(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；
(2)自变量的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0．
举一反三：
【变式1】 下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号）
【答案】②⑤⑥
【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．
故答案是：②，⑤，⑥．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．
【变式2】当m＝____________时，函数是二次函数．
【答案】-1
【解析】由题意得：，
解得：m=-1.
【变式3】 已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义判断即可；
解：y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
类型二、根据二次函数定义求参数
2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1
【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．
解：（1）若这个函数是一次函数，
则k2﹣k＝0且k≠0，
解得k＝1；
（2）若这个函数是二次函数，
则k2﹣k≠0，
解得k≠0且k≠1．
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
【答案】(1)m=1;(2) m≠1和m≠0
【分析】根据一次函和二次函数的定义可以解答．
解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因为m≠0，所以，m＝1．
（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，
∴m≠1和m≠0．
【点拨】考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键．
【变式2】 （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值．
【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3．
【分析】
（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可．
解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数，
即m2﹣m≠0，
即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
（2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0，
解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去），
所以m的值为3．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键．
【变式3】 已知．
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
【答案】（1）；（2）4或或或0或1
【分析】（1）根据形如y=kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；（2）根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
解：（1）由是关于x的一次函数，
得解得．
所以当时，它是y关于x的一次函数．
（2）由是关于x的二次函数，得
①，解得；
②，解得；
③解得；
④，解得或．
综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误．
类型三、列二次函数解析式
3、 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式．
【答案】
【分析】利用单价利润总销售量=总利润.
解：.
.
举一反三：
【变式1】 有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子。设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式.
【答案】y＝4x2-80x+400.
【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式．
解：正方形的边长为80÷4＝20cm，
根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400．
【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键．
【变式2】已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝______，AQ＝______；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时间t，使四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2t，；（2）；（3）存在，t＝4时，四边形是菱形．
【分析】
（1）根据∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的长，进而得出AP＝2t，．
（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出，从而求得S与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ＝PC，则可得出求得t即可．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，
∴AC＝6，
∴由题意知：AP＝2t，
故答案为：
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，
∴∠B＝30°，
∴∠HPA＝30°，
∵AP＝2t，AH＝t，
∴
∴
（3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形，理由如下：
证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，
∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝AP＝t，
∴QC＝AM，

由对折可得：
当PC＝PQ时，四边形是菱形，

CM＝MQ＝AQ＝AC＝2，

当t＝4时，四边形是菱形．
【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】 下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系．
【答案】S=n2(n⩾2)
【分析】根据题意先找到一般规律后，利用规律即可解决问题．
解：图1中，当n=2时，S=4；
如图2中当n=3时，S=9；
图3中，当n=4时，S=16.….
依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n⩾2).
故答案为S=n2(n⩾2)
【点拨】此题考查函数关系式，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找出规律.