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2024宁波三锋教研联盟高二上学期期中联考数学试题含答案
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这是一份2024宁波三锋教研联盟高二上学期期中联考数学试题含答案，文件包含浙江省宁波三锋教研联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题docx、高二数学答题纸pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则实数x的值为（ ）
A．1B．－2C．－1D．5
3．椭圆上一点M到左焦点距离为2，则其到右焦点的距离为（ ）
A．8B．4C．7D．6
4．若圆：与圆：相切，则（ ）
A．9B．10C．11D．9或11
5．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．如图，棱长为1的正方体，中M，N点，分别是线段，的中点，记E是线段的中点，则点E到面的距离为（ ）
第6题图
A．B．C．D．
7．已知，，动点P满足，则点P的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
8．棱长为2的菱形ABCD中，，将沿对角线BD翻折，使A到P的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积的最大值为B．
C．存在某个位置，使得D．存在某个位置，使得面BCD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．圆M：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于直线对称
C．圆M的半径为2D．直线与圆M相切
10．以下四个命题正确的有（ ）
A．直线与直线的距离为
B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为
C．点到直线的距离为
D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
11．下列说法正确的是（ ）
A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线
D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
12．离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（ ）
A．轴且B．
C．四边形的内切圆过D．
非选择题部分
三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知空间中三点，，，则的面积为______．
14．已知椭圆C：，则椭圆的短轴长为______．
15．已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是______．
16．已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C．则曲线C上的点O到点的大距离为______．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且
（1）求直线的方程
（2）直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程
18．（本小题12分）如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题12分）圆C过点和，圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程
（2）直线l经过点，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程
20．（本小题12分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过的圆恰好与直线相切．
（1）求椭圆C的方程
（2）斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值
21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分线，且，二面角的大小为60°．
（1）若E是棱PC的中点，求证：平面PAD
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值
22．（本小题12分）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．
（1）若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；
（2）如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 10．ACD 11．BCD 12．CD
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15．4 16．3
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）直线：
（2）联立方程，得交点坐标为
设直线：，直线过点 ∴
∴直线：
18．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，
∴面，则
同理，，∴平面
（Ⅱ）解法一：以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
设直线与平面所成角为θ，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：设正方体的棱长为，则，，，，
由余弦定理知，，
∴，∴，
设点到平面的距离为h，
∵，∴，∴，
设直线与平面所成角为θ，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．（1）AB的中垂线方程为，联立，知，则
∴圆C的标准方程是
（2）若直线l的斜率不存在，直线l：，弦长，成立
若直线l的斜率存在，设直线l：，圆心C到直线l的距离为1
得，，，则直线l：
∴直线l：或
20．（1）， ∴椭圆C的方程为
（2）设，，直线l：
联立方程，得
∵直线l交椭圆C于A，B两点 ∴，得
，
∴弦长
又点O到直线l的距离
∴
当，即时取得等号 ∴
21．解：（1）取CD中点F，连接BF，EF
∵ ∴，则
而ED是的平分线，则，从而，则，
BF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD
E，F分别是PC，CD的中点，则，
EF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD，又
∴平面平面PAD ∴平面PAD
（2）由题知，，又面面ABCD，得面PAD
则是二面角的平面角，
即，是等边三角形，如图建系
，，，
设平面PAB的一个法向量为，
则，得，令，则
同理平面的PCD一个法向量，
设平面PAB与平面PCD的夹角为α
则 ∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为
22．（1）若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合
若直线AB的斜率存在，设直线AB：，由，得
∴直线AB的方程为或
（2）设直线RS：，，
记，，
联立方程，得 ∴，，
∴，
∴
∵，都是锐角
∴的定值．
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则实数x的值为（ ）
A．1B．－2C．－1D．5
3．椭圆上一点M到左焦点距离为2，则其到右焦点的距离为（ ）
A．8B．4C．7D．6
4．若圆：与圆：相切，则（ ）
A．9B．10C．11D．9或11
5．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．如图，棱长为1的正方体，中M，N点，分别是线段，的中点，记E是线段的中点，则点E到面的距离为（ ）
第6题图
A．B．C．D．
7．已知，，动点P满足，则点P的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
8．棱长为2的菱形ABCD中，，将沿对角线BD翻折，使A到P的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积的最大值为B．
C．存在某个位置，使得D．存在某个位置，使得面BCD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．圆M：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于直线对称
C．圆M的半径为2D．直线与圆M相切
10．以下四个命题正确的有（ ）
A．直线与直线的距离为
B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为
C．点到直线的距离为
D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
11．下列说法正确的是（ ）
A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线
D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
12．离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（ ）
A．轴且B．
C．四边形的内切圆过D．
非选择题部分
三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知空间中三点，，，则的面积为______．
14．已知椭圆C：，则椭圆的短轴长为______．
15．已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是______．
16．已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C．则曲线C上的点O到点的大距离为______．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且
（1）求直线的方程
（2）直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程
18．（本小题12分）如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题12分）圆C过点和，圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程
（2）直线l经过点，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程
20．（本小题12分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过的圆恰好与直线相切．
（1）求椭圆C的方程
（2）斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值
21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分线，且，二面角的大小为60°．
（1）若E是棱PC的中点，求证：平面PAD
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值
22．（本小题12分）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．
（1）若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；
（2）如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 10．ACD 11．BCD 12．CD
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15．4 16．3
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）直线：
（2）联立方程，得交点坐标为
设直线：，直线过点 ∴
∴直线：
18．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，
∴面，则
同理，，∴平面
（Ⅱ）解法一：以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
设直线与平面所成角为θ，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：设正方体的棱长为，则，，，，
由余弦定理知，，
∴，∴，
设点到平面的距离为h，
∵，∴，∴，
设直线与平面所成角为θ，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．（1）AB的中垂线方程为，联立，知，则
∴圆C的标准方程是
（2）若直线l的斜率不存在，直线l：，弦长，成立
若直线l的斜率存在，设直线l：，圆心C到直线l的距离为1
得，，，则直线l：
∴直线l：或
20．（1）， ∴椭圆C的方程为
（2）设，，直线l：
联立方程，得
∵直线l交椭圆C于A，B两点 ∴，得
，
∴弦长
又点O到直线l的距离
∴
当，即时取得等号 ∴
21．解：（1）取CD中点F，连接BF，EF
∵ ∴，则
而ED是的平分线，则，从而，则，
BF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD
E，F分别是PC，CD的中点，则，
EF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD，又
∴平面平面PAD ∴平面PAD
（2）由题知，，又面面ABCD，得面PAD
则是二面角的平面角，
即，是等边三角形，如图建系
，，，
设平面PAB的一个法向量为，
则，得，令，则
同理平面的PCD一个法向量，
设平面PAB与平面PCD的夹角为α
则 ∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为
22．（1）若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合
若直线AB的斜率存在，设直线AB：，由，得
∴直线AB的方程为或
（2）设直线RS：，，
记，，
联立方程，得 ∴，，
∴，
∴
∵，都是锐角
∴的定值．
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