甘肃省武威市凉州区2024届高三第三次诊断考试数学试题（原卷及解析版）

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第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
4. 函数在区间内的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则最小值是（ ）
A. 1B. C. D. 10
6. 若，则等于（ ）.
A. B. C. D.
7. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A B. C. D.
8. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. 方程的实根有三个
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若函数恰有两个零点，则实数a的取值可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. 是函数图象的一个对称中心
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图像可由的图象向左平移个单位得到
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与曲线相切，则_________．
14. 若，则______．
15. △ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则______．
16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
18. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
19. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.
20. 已知等比数列中，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列为正项数列时，若数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小．
21. 若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.
22. 已知函数，其中．
（1）讨论单调性；
（2）若，，求的最大值．