2022届四川省高三普通高中学业水平考试数学试题（解析版）

这是一份2022届四川省高三普通高中学业水平考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果.
【详解】.
故选：B.
2．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据复数的除法运算求解即可.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数除法的运算,属于基础题.
3．已知向量，且，则实数的值为（ ）
A．4B．1C．－1D．－4
【答案】A
【分析】由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：A.
4．已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．
【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为.
故选：C.
5．若从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列举法列出所有结果，选出符合条件的结果，利用古典概型计算公式，即可求出结果．
【详解】从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，
将取出的，记为，
所有可能出现的结果为： ，共个，
其中满足的有，共3个，
所以，的概率为．
故选：B．
6．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义，和正弦的二倍角公式，即可求出结果.
【详解】因为角终边过点，
所以，
所以.
故选：A．
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的图象，再结合函数图象的特点，即可得到结果.
【详解】函数的图象，是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；
又由于函数图象关于原点中心对称，所以图象关于中心对称，所以C正确.
故选：C.
8．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果.
【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），
所以，则球的体积．
故选：B．
9．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．－2B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件作出可行域如图，
联立方程，得
由，得，
由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大，有最大值为．
故选：D．
10．已知函数为上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的定义和已知解析式，可得，在单调递增函数，在 单调递减函数．再将不等式转化为 或，利用单调性求解即可.
【详解】函数为上的偶函数，当时，，
可得，在单调递增函数，在 单调递减函数．
所以不等式等价为 或，解得或，即不等式的解集为.
故选：D．
二、填空题
11．计算：________.
【答案】
【分析】根据指数幂的运算，即可求出结果.
【详解】.
故答案为：.
12．在中，若，则_____________.
【答案】
【详解】：由正弦定理得又所以
13．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.
【答案】8
【解析】假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果.
【详解】设样本容量为，则
高二所抽人数为.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.
14．若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为________.
【答案】或或
【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，建立关于的方程，求解方程即可得到结果．
【详解】因为直线与圆相交于两点，且，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得：或．
故答案为：或.
三、解答题
15．已知等差数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项可得，进而求出公差，由此即可求出数列的通项公式；
（2）由题意可知是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.
(1)
解：设等差数列的公差为，
因为，
所以，即，
所以,
所以，即；
(2)
解：由（1）可知，，
所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的前项和.
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．
（2）根据正弦函数的性质，可求得函数在上的最值．
(1)
解：∵，
∴，即函数的最小正周期为．
(2)
解：在区间上，，
∴，
∴，
∴的最大值为，的最小值为．
17．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；
（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明面，又由中位线定理，可得，进而证明出结果.
(1)
解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
(2)
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
18．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线的斜率为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的焦点，可得，进而求出抛物线方程；
（2）由（1）可知，直线的方程为，联立方程，利用弦长公式，即可求出结果.
(1)
解：因为椭圆的右焦为，所以，
所以，即，
所以抛物线的标准方程；
(2)
解：由（1）可知，直线的方程为，
联立方程，得，
设，
所以,
所以.
19．已知函数.
(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导函数，求得，，由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）求得函数，求导函数，将问题等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，分当或时，当时，根据二次函数的性质和零点存在定理可求得实数a的取值范围.
(1)
解：因为函数，所以，则，，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即；.
(2)
解：因为，所以，
函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，
因为函数的对称轴为，
当或时，函数在区间（2，3）上单调，
所以，即，解得，满足题意；
当时，函数在区间是单调递减，在区间是单调递增，则需：或，
即或，解得或，与相矛盾，
所以实数a的取值范围.