江苏省苏州市2023-2024学年高三11月期中摸底调研数学试卷及参考答案

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（总分：150分；考试时长：120分钟）
说明：1．本测试卷满分150分，答题时长120分钟；
2．本测试卷测试范围为高中数学；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．虚数单位的平方根是（ ▲ ）
A．B．C．D．或
2．已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则（ ▲ ）
A．B．C．D．
3．已知单位向量满足，则（ ▲ ）
A．B．C．0D．
4．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ▲ ）
A．216B．180C．108D．72
5．声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ▲ ）
A．的最大值为B．2π为的一个周期
C．为曲线的对称轴D．为曲线的对称中心
6．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（ ▲ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
7．已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（ ▲ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ▲ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线平面，直线平面，则（ ▲ ）
A．若与不垂直，则与一定不垂直
B．若与所成的角为，则与所成的角也为
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则与一定是异面直线
10．已知，且.则下列选项正确的是（ ▲ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．
D．
11．某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知，现已知三棱锥的高大于三棱锥的高，则（ ▲ ）
A．∥平面
B．二面角的余弦值小于
C．该六面体存在外接球
D．该六面体存在内切球
12．已知A，B分别是椭圆（）的左､右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，且满足，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（ ▲ ）
A．
B．若，则椭圆的方程为
C．若椭圆的离心率，则
D．的面积随的增大而减小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在展开式中，第项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第 ▲ 项．
14．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为 ▲ ．
15．若＝3，则＝ ▲ ．
16．从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为 ▲ 种.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求的长和的面积．如图，在中，D为边上一点，，_______，求的长和的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意的，令，求数列的前n项和．
19．如图，已知正四棱锥的棱长都相等，，分别是，中点，是上的一点.
(1)若平面，试确定点的位置；
(2)若平面，求二面角的余弦值.
20．某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的（包括一个也不选）．
(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；
(2)已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．
方案一：每道题都随机选1个选项；
方案二：每道题都随机选2个选项．
21．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．
(1)求曲线，的方程；
(2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D2．A3．D4．A5．B6．C7．C8．C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．AC10．BD11．BD12．BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14
15．/0.6
16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．选条件①，，
所以．
在中，由余弦定理，得．
在中，由正弦定理，得，即，
所以．
所以，所以，所以．
所以的面积为．
选条件②，，
所以，
所以．
在中，由正弦定理，得，得，．
因为，所以，所以，
所以的面积为．
选条件③，．
所以．
因为，所以，
在中，可得，所以．
所以．
在中，由正弦定理，得，得．
因为，所以，所以，所以．
所以的面积为．
18．(1)
(2)
（1）当时，得，解得；
当时，可得
，
由，得，，
当时，也符合，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知.
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
综上所述，．
19．(1)为的中点
(2)
（1）
连接，取其中点，连接，，
又，，平面，
若为中点，则，平面，
平面平面，平面，
平面符合题意，为的中点.
（2）
设，，，，，，
过作于点，平面，过作于点，
连接，即为所求二面角.
，，，，
所以，二面角的余弦值为
20．(1)
(2)应选择方案一作答；理由见解析
（1）合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，
（2）若选方案一，小明得分X的所有可能取值为0，4，8，
小明对有2个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率
小明对有3个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率
∴，，
得分X的数学期望为：
若选方案二，小明得分的所有可能取值为0，4，10，14，
小明对有2个正确选项那题选错的概率为：，全部选对的概率为
小明对有3个正确选项那题选错的概率为：，部分选对的概率为
∴，
，
∴得分的期望为，
∵，
∴应选择方案一作答．
21．(1)，
(2)
（1）根据对称性可得，，在椭圆上，
故，且，故，所以.
椭圆的右焦点为，所以即，
故.
（2）
设点，，，其中，
由可得，
整理得到：，
所以，故，
且，故， 同理，，
故为方程的两个根，故，
而的中点的纵坐标为，故平行于轴，
故三角形面积为
由可得，故或（舍），
故，
故当时，有.
22．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).
（1）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
又，则．
令，即方程在上有解．
令，，
则，．，
当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．