2024届重庆市名校联盟高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届重庆市名校联盟高三上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解二次不等式化简集合A，再利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
2．设a>0，则的最小值为（ ）
A．B．2
C．4D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式可求解.
【详解】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.
故选：D.
3．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到时，，可排除C选项，即可求解.
【详解】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的数量积和三角函数的性质即可求解.
【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，
由题意知，，，则，，
所以，当，即时取最小值，
故选：D.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由结合正弦定理①，由△ABC的面积为，进而得，即，代入①得，，再由余弦定理即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以由正弦定理得，①，
因为△ABC的面积为，
所以，
所以，代入①得，，
由余弦定理得，
故选：D.
7．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解：时，，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，
由图可得，是方程，即的两根，
是方程，即的两根，
，，
则，
设，，则，在上单调递增，
当时，，即.
故选：A.
8．已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的值域为
D．的最小正周期为，最小值为
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数，结合函数零点及图象平移变换判断AB；化简函数，借助导数求出值域判断C；化简函数，再利用余弦函数性质判断D.
【详解】对于A，依题意，，由，得，
由，得或，解得或，
所以在区间上有2个零点，A错误；
对于B，由选项A知，，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，B错误；
对于C，
，
令，，，
求导得，
由，得，于是函数在上单调递增；
由，得或，于是在，上单调递减，
且，，
，，
因此当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以的值域为，C错误；
对于D，依题意，
，
所以的周期，最小值为，D正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，求出函数的极值与区间两端点的函数值比较作答.
9．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算，结合相等向量逐项计算判断作答.
【详解】设，
对于A，，则，无解，A不是；
对于B，，则，解得，B是；
对于C，，则，无解，C不是；
对于D，，则，无解，D不是.
故选：B
二、多选题
10．下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据指对幂函数的单调性结合中间量即可比较，结合选项即可得结果．
【详解】解：函数，在上单调递增，∴，故A错误；
函数，在上单调递减，，函数，在上单调递增，，
，故B正确；
函数单调递减，，故C正确；
，故D错误，
故选：BC．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
【答案】BC
【分析】对于A，利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；对于B，应用余弦定理求即可判断；对于C，由三角形内角性质及两和角正切公式的逆用可判断；对于D，由向量数量积定义判断.
【详解】对于A，由正弦定理得，则，则在中，或，即或，故A错误；
对于B，由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；
对于C，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，
又，所以，
所以，故C正确；
对于D，，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误；
故选：BC.
12．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据函数图像，数列递推关系式，及常数数列，递减数列概念可判断 A，B，C 选项，对D由递推关系，结合裂项求和可判断.
【详解】的图象如下图：
对A，当时，，
，
同理，…，，故A正确；
对B，若为常数数列，则，
当时，有无解，
当时，，解得或2，故B正确；
对C，若为递减数列，则，
当时，，
当时，，
所以或，故C不正确；
对D，当时，，
又由可得：，
，
故
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．复数（其中i为虚数单位），则= .
【答案】
【分析】先化简复数，求出可得答案.
【详解】因为，
所以，.
故答案为：.
14． ．
【答案】1
【分析】根据对数和指数的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
15．已知数列满足，则数列的前10项和为 .
【答案】/
【分析】根据给定的递推公式，利用裂项相消法及分组求和作答.
【详解】依题意，当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以数列的前10项和
.
故答案为：
16．已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即可.
【详解】∵，∴，
∵函数有两个极值点，，
∴，又∵，∴，，
∴，是，即的两个不相等的实数根.
令，则．
①当时，，在区间单调递减，且，
②当时，，在区间单调递减，且，
③当时，，在区间单调递增，且，
∴在处取得极小值，的图象大致如下，
∴若有两个不相等的实数根，，则，即，且，，
令，则，且∵，∴，
又∵，∴，∴，
两边同时取对数，得，∴，
下面求的取值范围，设，则，
令，则，
当时，，∴在上单调递减，
∴当时，，
∴当时，，在上单调递减，
∴，即.
又∵在区间上单调递减，，，
∴，即.
∴实数的取值范围为．
【点睛】易错点睛：本题容易仅当作有两个极值点求得的取值范围，而造成错解，需要再根据，结合所构造函数，转换成的范围，利用的范围再次求解.
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
18．函数的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据图象可求得与周期，进而求得，再利用正弦函数性质求出即可.
（2）先根据平移变换求出的解析式，再利用辅助角公式化简，并求出函数值域得解.
【详解】（1）观察图象，得，函数的周期，解得，即，
由，得，即，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）得，
则
，当时，，
有，于是，
所以所求值域为.
19．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)是奇函数.证明见解析
(2)
【分析】（1）化简可得，即可得出是奇函数；
（2）分析出的单调性，结合函数奇偶性，即可转化为对于恒成立，进而转化为利用含参的二次函数最值求解即可.
【详解】（1）由题知，定义域为，
，
则是奇函数
（2）由，
因为在定义域上单调递增，且，
所以在定义域内单调递减，
在定义域内单调递增，
即在内单调递增，
若，不等式成立，
即，
又为奇函数，即，
可得，
则等价于恒成立，
即对于恒成立，
当时，，即，符合；
当，，此时只需，，
可得；
当，若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
时，，时，，
时，，
所以若时，，，
可得；
若时，，，可得；
若时，，
解得，
因为，，故符合.
综上，的取值范围为.
20．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11轮
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由，，，得，
则，因此，
令，，于是当时，．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得．
而，则，所以理论上至少要进行11轮答题．
21．设数列的前项之积为，满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前项之和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）数列的前项之积为，满足，时，，解得．时，，变形为，结合，即可得出．
（2）由（1）可得：，解得，当时，，可得，需要证明，即证明，设，，令，，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足，
所以当时，，解得．
当时，，
化为，
变形为，
又，所以，即且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列
所以．
（2）由（1）可得：，解得，
当时，．
，
需要证明，
即证明，
设，，
则，
设，，
则函数在上单调递增，
所以，
即，
所以．
22．已知函数，.
(1)若，证明：当时，；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用作差法比较，构造函数，，然后分别求导后利用其单调性，证明，在上恒成立，从而证明；
（2）由题意要证，在时恒成立，即可构造函数恒成立，然后通过放缩变形证明恒成立，从而求解.
【详解】（1）证明：当时，，
当时，要证，
即等价于证明恒成立和恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，， 所以得：恒成立，
所以恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，所以，恒成立；
综上所述：若，当时，得证.
（2）当时，成立，即等价于恒成立，
令，，
因为，
所以在区间上为偶函数，
只需研究在区间上恒成立；
从而有两种情况：
①当时，，等价于恒成立；
（i）：当时，由（1）知当时，，
所以，
令，，求导得，而，则，
所以，所以在区间上单调递增，
又，，则使，
所以，即，不符合题意.
（ii）当时，，
令，，求导得：
，
又
，
因为，所以，，，
由（1）知：时，，所以恒成立，
所以，所以在区间上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
所以当时满足题意；
②当时，等价于恒成立；
即在时，恒成立，
令，，即时恒成立，等价于恒成立，
因为当趋向于时，趋向，所以时，不存在最小值，
所以不符合题意.
综上所述 ：的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问是先构造函数，然后分两种情况讨论，特别是在时需结合第一问的结论，对构造的函数适当变形后进行放缩，从而求解.
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