甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了10，若两条直线，点在圆的内部，则的取值不可能是等内容，欢迎下载使用。

2023.10
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色：墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册（第1章、第2章）。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值是
A.1B.C.D.2
2.已知是等差数列，且，，则该数列的公差是
A.B.C.D.3
3.圆：的圆心的坐标为
A.B.C.D.
4.若两条直线：与：平行，则与间的距离是
A.B.C.D.5
5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为
A.B.C.2D.4
6.在等比数列中，，是方程的根，则的值为
A.B.C.或D.或
7.已知，若3是与的等比中项，则的最小值为
A.B.7C.D.9
8.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则
A.B.C.D.1
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.点在圆的内部，则的取值不可能是
A.B.C.D.2
10.已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是
A.数列是等比数列B.数列是等差数列
C.D.
11.已知点在圆：上，点，，则
A.直线与圆相交B.直线与圆相离
C.点到直线距离小于5D.点到直线距离大于1
12.已知数列满足，，记数列的前项和为，则
A.B.
C.D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线的倾斜角，直线，则的倾斜角为______.
14.已知等差数列满足，，记表示数列的前项和，则当时，的取值为______.
15.已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是______.
16.已知为坐标原点，点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知直线经过点.
（1）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程；
（2）设直线与坐标轴交于，两点，且为的中点，求直线的方程.
18.（12分）
已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2），求数列的前项和.
19.（12分）
已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程；
（3）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
20.（12分）
已知数列满足，.
（1）证明：存在等比数列，使；
（2）若，求满足条件的最大整数.
21.（12分）
已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点.
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设，分别是直线：和圆上的动点，求的最小值.
22.（12分）
已知数列的前项和为，.数列满足，且点在直线上.
（1）求数列，的通项和；
（2）令，求数列的前项和；
（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围.
甘肃省华池县第一中学2023-2024学年度第一学期期中考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题意，直线的截距式方程为，所以.
2.D 设数列公差为，首项为，由，可得：
3.B 由圆：可得，故圆心坐标为.
4.C 两条直线：与：平行，可得，则与间的距离是：.
5.D 设数列的公比为，则，得，解得或（舍），所以.
6.B 因为在等比数列中，，是方程的根，所以，，所以，，由等比数列的性质得，所以，所以.
7.A 由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.
8.C ∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，当时，符合，∴，，当时，符合，∴，，。
9.AD 由已知条件可得，即，解得.故选AD.
10.ACD 当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，.故选ACD.
11.BC 圆：，所以圆心为，半径为.因为，，所以直线的方程为.对于A，B，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故A错误、B正确；对于C，由选项A的分析知，圆心到直线的距离为，所以圆上一点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，因为，所以点到直线距离小于5，故C正确；对于D，由选项C的分析知，圆上一点到直线的距离的最小值为，故D错误.故选BC.
12.CD 因为，，所以，故A错误；，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；，故D正确；故选CD.
13. ∵直线的倾斜角，直线，∴的倾斜角为.
14.23 ，故，，故，故，，.故当时，.
15. 当时，，
当时，，，∴当时，，数列递减，综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，解得.
16. 设点，点，则所以因为点在圆：上，所以，所以，所以点的轨迹方程为，即.
17.解：（1）当原点到直线的距离最大时，即当直线与直线垂直时，原点到直线的距离最大.
∵，，∴，∴，
∵直线经过点，∴，即，
故直线的方程为.
（2）解：∵直线与坐标轴交于，两点，且为的中点，
∴不妨设，，故直线的方程为，
即.
18.解：（1）设公差为，则，，
所以解得
所以.
（2），所以，
所以
.
19.解：（1）因为圆心到直线的距离，
所以圆的半径为2，所以圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切；
当直线斜率存在时，设直线：，即，
由，得或，
所以切线方程为或.
（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线：，
由，解得，
故的方程是，即.
综上所述，直线的方程为或.
20.（1）证明：因为，所以，
则，即.
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
所以当时，，此时，
即为以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可知，则，
所以
因为，所以，
则，则，
因为为正整数，所以的最大值为2022.
21.（1）证明：由题意可得圆的方程为：，
可化为，
则与坐标轴的交点分别为：，，
所以为定值.
（2）解：因为，所以原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则，，三点共线，的斜率，
所以，解得，
因为，所以，可得圆心，
所以圆的方程为.
（3）解：由（2）可知：圆心，半径，
点关于直线的对称点为，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为.
22.解：（1）因为，①当时，得.
当时，，②
①②得，
整理得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
数列满足，点在直线上，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）得，则，①
，②
①②，得，
整理得.
（3）由（1）得，所以，
所以数列为单调递减数列，所以，
即的最大值为.
因为对所有的正整数都有都成立，所以，
由可得恒成立，只需满足即可.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故，则的取值范围为.