浙江省绍兴市2023-2024学年高三上学期11月选考科目诊断性考试数学试题

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本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）
A.若，则是等差数列
B.若，则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若，则是等比数列
8.已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆：和圆：，则（ ）
A.圆的半径为4
B.轴为圆与的公切线
C.圆与公共弦所在的直线方程为
D.圆与上共有6个点到直线的距离为1
10.由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点，的直线方程为，记，，则（ ）
A.变量，正相关
B.若，则
C.经验回归直线至少经过中的一个点
D.
11.已知函数，则（ ）
A. B. 恰有5个零点
C. 必有极值点D. 在上单调递减
12.已知椭圆的左项点为，上、下顶点分别为，，动点，在椭圆上（点P在第一象限，点Q在第四象限），O是坐标原点，若的面积为1，则（ ）
A. 为定值B.
C. 与的面积相等D. 与的面积和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的展开式中的系数为___________（用数字作答）.
14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.500ZB，2010年增长到1.125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量P与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的___________倍.
15.过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥，与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为___________.
16.已知等比数列满足且，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B的大小；
（2）若，，求.
18.（12分）
已知等差数列满足，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记为数列前项的乘积，若，求的最大值.
19.（12分）
如图，为正三角形，平面，平面，，，点F，P分别为，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：直线与直线相交；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，都有，求的取值范围.
21.（12分）
机器人甲、乙分别在A，B两个不透明的箱子中取球，甲先从A箱子中取2个或3个小球放入B箱子，然后乙再从B箱子中取2个或3个小球放回A箱子，这样称为一个回合.已知甲从A箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为，乙从B箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为.现A，B两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中A箱子中有3个红球，3个白球；B箱子中有2个红球，4个白球.
（1）求第一个回合甲从A箱子取出的球中有2个红球的概率；
（2）求第一个回合后A箱子和B箱子中小球个数相同的概率；
（3）两个回合后，用X表示A箱子中小球个数，用Y表示B箱子中小球个数，求的分布列及数学期望.
22.（12分）
已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点A，B.
（1）当直线的斜率为时，求；
（2）是否存在定点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
2023年11月绍兴市选考科目诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BD 10.ABD 11.BCD 12.ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.-8 14.1.5 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（本题满分10分）
解：（1）因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以.
18.（本题满分12分）
解：（1）设的公差为，由得；
由，，成等比数列，得，即，
整理得.
由解得或
所以，的通项公式为或.
（2）因为，所以.
所以，当时，；当时，.
从而，，，，，
又因为，，
所以，的最大值为.
19.（本题满分12分）
（1）证明：取中点，连接，，，，则，，
因为平面，平面，所以，，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，.
因为点在线段上，且，所以是的中点，
又因为点是的中点，
所以，，
所以，，
即，共面，且，长度不等，
所以直线与直线相交.
（2）解法1：
由（1）知，平面即为平面.
因为平面，且平面，所以，
因为为正三角形，点是的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面.
又，所以平面，
所以为平面与平面的夹角，
不妨设，则，，，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
解法2：
因为平面，所以，因为为正三角形，所以，
所以平面，又，所以平面.
以F为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则即
取.
设平面的一个法向量为，
则即
取.
设平面与平面的夹角为，则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
20.（本题满分12分）
解：（1）当时，，，
因为，，
所以，曲线在处的切线方程是，即.
（2）因为，都有，所以，
设，则.
记，设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，所以在上单调递减.
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，.
21.（本题满分12分）
解：（1）在第一个回合中，记事件表示“甲从箱子中取出2个球”，事件表示“甲从箱子中取出3个球”，事件C表示“甲从箱子取出的球中有2个红球”，则
.
（2）第一个回合后，A箱子和B箱子中小球个数相同，即甲从A箱子中取出小球的个数与乙从B箱子中取出小球的个数一样，所以，.
（3）每个回合后
A，B两个箱子小球个数不变的概率，
A箱子比B箱子小球个数少2个的概率，
A箱子比B箱子小球个数多2个的概率.
两个回合后，的所有可能值为-4，-2，0，2，4.
，
，
，
，
.
所以随机变量的分布列为
所以，.
22.（本题满分12分）
解：（1）直线的方程为，
设，，
由得，所以 ，，
所以，.
（2）因为，所以，
所以，所以，
又由得，所以.
设，，直线的方程为，其中，
由得，
所以，.
因为，，，
所以，
，
所以，
整理得，
将，代入上式，整理得，
所以.
经检验，存在，使得.-4
-2
0
2
4