山东省烟台市2023-2024学年高三上学期期中学业水诊断数学试题

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注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为 120分钟。
2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A=x|2x2-3x-2=0,B=x|y=2x-1-1,则A∩B=
A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}
2.若无穷等差数列{an}的公差为d,则“d>0”是“∃k∈N*,aₖ>0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数fx=csπx,x≤1-fx-2,x>1,则f(2023)的值为
A.-1B.0C.12D.1
4.在平行四边形ABCD中, AB=32,AD=2,AE=EB,∠BAD=π4,则 AC⋅DE=
A.2 B.22 C.23 D.4
5.如图，某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为30°，教学A楼顶部N的仰角为60°，∠ACB=120°，则M,N之间的距离为
A.511m B.1137m C.1143m D.1173m
6.已知a=lg32,b=sin12,c=e0.5,则a，b，c的大小关系为
A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c
7. 斐波那契数列{an}以如下递归的方法定义:a₁=a₂=1,an=an-1+an-2n≥3n∈N*，若斐波那契数列{an}对任意n∈N*，存在常数p，q，使得aₙ,paₙ₊₂,qaₙ₊₄成等差数列，则p-q的值为
A.1B.3C. 12D. 32
8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，满足fx+1-e²ˣ1+f-x=0, f1=e²-1,且当x∈(0,+∞)时, f'x-fx>1,则不等式fx-1>ex-1的解集为
A.(0,2)B.(-1,1)C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.-∞-1∪1+∞
二、选择题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则
A.fx=2cs2x+π6
B.函数f(x)的图象关于 x=7π12对称
C.函数f(x)的图象关于 -π30对称
D.函数f(x)在 π25π6上单调递增
10.已知 lg₂a>lg₂b,则下列不等式一定成立的有
A.a²>b² B.ba+ab>2 C.a-1b>b-1a D.a+1ᵇ>b+1a
11.已知函数 f(x) 的定义域为 R , 满足 f(x-2)=2f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=x(2-x),则
A. x∈[-2,0]时,函数f(x)的最大值为 12
B.函数f(x)在区间[-3,-2]上单调递减
C.方程 f(x)=ln(x+1)有两个实根
D.若f(t)≥3,则t的最大值为-72
12.已知数列{an}:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是2⁰,2¹,再接下来的三项是2⁰,2¹,2²,以此类推.记数列{an}的前n项和为Sn，则
A.S₂₀=120
B.a50=16
C.若 Sₙ>1000,则n的最小值为45
D.若n>200且存在m(m∈N*),使得 Sₙ=2ⁿ+1,则m+n的最小值为440
三、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量a=(-1,m), b=(3,2),若(a+b)⊥b,则|a|的值为__________.
14.若a>0, b>0, a+3b=2,则 1a+3b的最小值为___________.
15.已知函数 fx=21+cs2x+sin2x41-cs2x0≤x≤π4,则f(x)的最小值为________.
16.若过点(2，m)有三条直线与函数 fx=x-1³-3x+1的图象相切，则实数m的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知函数 fx=2sinωx+π4,其中x∈R,ω>0,函数f(x)图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2.
(1) 求f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f(x)图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)=(sinx+csx)·g(x)在 0π2上的最大值.
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且( an>1,2Sn=an2+n-1n∈N*.
(1)求证: {an}是等差数列;
(2)记 bn=22*,n为任意常数1an-1an+1,n为偶数，求数列{bₙ}的前2n项和T₂ₙ.
19.(12分)牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少15,本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加14.
(1)设n年内总投入金额为an万元，牧草销售总收入为bn万元，求an，bn的表达式；
(2)至少经过几年,牧草销售总收入才能超过总投入? (lg2≈0.30,lg3≈0.48)
20.(12分)在①3b=c+3acsC.②2 2S=a²-(b-c)²,
③acsA+acsB-C=42bcsAsinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并解答问题.
在△ABC中,角A, B,C所对的边分别为a, b, c, S为△ABC的面积, 且满足__________.
(1) 求csA的值;
(2) 若△ABC为锐角三角形, 求 b2+c22bc的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
21.(12分)已知函数 fx=xex-a2x2-axa∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a>1时，若方程f(x)=b总有三个不相等的实根，求实数b的取值范围.
22.(12分)已知函数 fx=x+1lnx+a+1x,a∈R,且函数f(x)有两个极值点.
(1)求a的范围;
(2)若函数f(x)的两个极值点为 x₁,x₂(x₁最大值.
2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断
高三数学参考答案
一、选择题：
1.B 2. A 3. D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C
二、选择题
9.ACD 10.AB 11.BC 12.BCD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）由题知，，所以，，所以，.2分
所以，. 3分
所以，，即，4分
故的单调递增区间为.5分
（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得，再向右平移个单位长度，得.6分
所以
，8分
因为，，所以，时，取得最大值为.10分
18.解：（1）当时，，则或，
因为，所以；2分
当时，，两式相减得，，
即，因为，所以，即，4分
故数列是以为首项，为公差的等差数列.5分
（2）由（1）知，，
所以，7分



10分
所以，.12分
19.解：（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；3分
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.6分
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，8分
令，则上式化为，
即，9分
解得，即，所以，，
即，所以.11分
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.12分
20.解：若选①：（1）由正弦定理得，,1分
因为,所以，
即，又因为，，3分
所以.4分
（2）在中，，则，
.6分
因为是锐角三角形，所以，即,即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
若选②：（1）因为，所以，
所以，1分
所以，
所以.3分
又，解得或（舍），
所以.4分
（2）在中，，则，
，6分
因为是锐角三角形，所以，即，即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
若选 = 3 \* GB3 ③：（1）由正弦定理得，，1分
因为，所以，
所以，
所以. 3分
又因为，，所以，
又，解得.4分
（2）在中，，则，
，6分
因为是锐角三角形，所以，即，即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
21.解：（1）由题知，，1分
所以，当时，恒成立，所以，令，解得.
所以，当时，， 在上单调递减；
当时，， 在上单调递增；3分
当时，令，解得或，
所以，当，即时，时，， 在上单调递减，当时，， 在和上单调递增；4分
当，即时，时，， 在上单调递减，当时，， 在和上单调递增；5分
当时，在上恒成立，
所以，在上单调递增.6分
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在和上
单调递增，且当时，，当时，，所以，若方程始终有三个不相等的实根，则，即在上恒成立.8分
当时，显然.9分
令，则，因为，所以，，所以，恒成立，所以，在上单调递减，所以，.11分
综上，若方程始终有三个不相等的实根，
的取值范围为.12分
22.解：（1）由题得，，1分
令，则函数有两个极值点，即方程有两个正实数根.2分
因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，且当时，，时，.4分
所以，方程有两个正实数根，只需，
解得，5分
即函数有两个极值点时，的范围为.6分
（2）若且，则令，由（1）知，，
即，则，
即，解得，，所以，.8分
所以，，9分
令，则，10分
令，则
所以函数在上单调递增，且，所以，，11分
所以，当时，，所以，在上单调递增，
所以，当时，.
即的最大值为.12分