2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第58讲随机事件的概率与古典概型（讲）（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第58讲随机事件的概率与古典概型（讲）（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了事件的相关概念，频数、频率和概率，事件的关系与运算，概率的几个基本性质，古典概型等内容，欢迎下载使用。

思维导图
知识梳理
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为eq \a\vs4\al(1).
(3)不可能事件的概率为eq \a\vs4\al(0).
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq \a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．
5．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)
题型归纳
题型1 随机事件的关系
【例1-1】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【解析】选C 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.
【例1-2】从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.
【跟踪训练1-1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【解析】选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
【跟踪训练1-2】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________．
【解析】设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
【答案】A与B，A与C，B与C，B与D B与D
【名师指导】
判断互斥、对立事件的2种方法
题型2 随机事件的频率与概率
【例2-1】(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
[解] (1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为eq \f(40,100)×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝eq \f(1,25)＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．
理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
【跟踪训练2-1】(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
【解析】eq \x\t(x)＝eq \f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
【答案】0.98
【跟踪训练2-2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100，
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【名师指导】
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
题型3 互斥事件、对立事件概率公式的应用
【例3-1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] (1)易知P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(1,20).
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
【跟踪训练3-1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
【跟踪训练3-2】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
【解】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，故C班有学生8÷eq \f(1,5)＝40人．
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能的．
当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；
当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P＝eq \f(2＋3＋3＋3＋4,40)＝eq \f(3,8).
【名师指导】
求互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
题型4 古典概型
【例4-1】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32)
C.eq \f(21,32) D.eq \f(11,16)
(2)(2019·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(19,25)
C.eq \f(23,50) D.eq \f(41,100)
[解析] (1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有Ceq \\al(3,6)×Ceq \\al(3,3)＝20种．故所求概率P＝eq \f(20,64)＝eq \f(5,16)，故选A.
(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝eq \f(4,C\\al(2,5))＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(C\\al(2,5)－4,C\\al(2,5)C\\al(2,5))＝eq \f(3,50)，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝eq \f(2,5)＋eq \f(3,50)＝eq \f(23,50)，故选C.
[答案] (1)A (2)C
【跟踪训练4-1】(2019·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【解析】选B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为eq \f(1,4)，选B.
【跟踪训练4-2】(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,10)
【解析】选D 从5名干部中随机选取2人有Ceq \\al(2,5)＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有Ceq \\al(1,3)＝3(种)选法，只选中B没选中A有Ceq \\al(1,3)＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝eq \f(3＋3＋1,10)＝eq \f(7,10)，故选D.
【跟踪训练4-3】(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(7,20) D.eq \f(13,20)
【解析】选D 依题意，从口袋中任取3个球，共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)不同的取法，
①当取得三个球颜色相同，则有Ceq \\al(3,3)＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1)＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－eq \f(1＋6,20)＝eq \f(13,20).
【名师指导】
1．古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．
(4)运用排列组合知识计算．名称
条件
结论
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
支付金额
支付方式
不大于2 000元
大于2 000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5