四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三上学期10月月考（一诊模拟）理科数学试题

这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三上学期10月月考（一诊模拟）理科数学试题，共2页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知命题p等内容，欢迎下载使用。

理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A=xx2−2x<0，B=xx>1，则A∩CUB=
A．x12．若复数z=5i4−3i，则z=（ ）
A．35+45iB．−35+45iC．−35−45iD．35−45i
3．设Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a5+a8=15，则S9=（ ）
A．15B．30C．45D．60
4．已知命题p：∃x∈R，使得ax2+2x+1<0成立为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,0B．−∞,1C．0,1D．0,1
5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=
A．34AB−14ACB．14AB−34AC
C．34AB+14ACD．14AB+34AC
6．执行如右图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数t的值为（ ）
A．9B．12C．14D．16
7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15
8．若α∈0,π2,tan2α=csα2−sinα，则tanα=（ ）
A．1515B．55C．53D．153
9．函数f(x)=4x−1⋅2−x⋅sinπ2+x的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136B．53,196C．136,83D．136,196
11．已知函数fx=x+1ex.若过点P−1,m可以作曲线y=fx三条切线，则m的取值范围是（ ）
A．0,4eB．0,8eC．−1e,4eD．1e,8e
12．已知函数fx=2x−3,x>0,x3−3x+1,x≤0，函数gx=ffx−m恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．−3,1B．0,1C．−1,1D．1,3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a=3,1,b=1,0,c=a+kb．若a⊥c，则k= ．
14．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=200m，则山高MN= m．
15．已知等比数列an的前3项和为168,a2−a5=42，则a6= .
16．已知函数y=fx是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f2−x=fx+f2成立，当x1,x2∈0,1，且x1≠x2时，都有fx1−fx2x1−x2>0，有下列命题：
①f1+f2+f3+⋯+f2019=0； ②直线x=−5是函数y=fx图象的一条对称轴；
③函数y=fx在−7,7上有5个零点； ④函数y=fx在−7,−5上为减函数；
则结论正确的有
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象，如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈0,π3时，求函数g(x)的值域.
18．已知数列an的前n项和为Sn，lg3bn+1−1=lg3bn，且2an=an+1+an−1n≥2．S3=b3=9，b4=a14．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)若cn=an+1⋅bn+1，求数列cn的前n项和Tn．
19．记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cs∠ABC.
20．已知函数fx=aex+a−x．
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx>2lna+32．
21．已知函数fx=ln1+x+axe−x
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx在区间−1,0,0,+∞各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4—4：坐标系与参考方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为y=−x2+4x，曲线N的方程为xy=9，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
(2)若射线l:θ=θ0(ρ≥0,0<θ0<π2)与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且|OA|⋅|OB|=12，求θ0．
[选修4—5：不等式选讲]
23．已知函数fx=x+1+2x−1．
(1)求不等式fx<8的解集；
(2)设函数gx=fx−x−1的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：a2b+b2c+c2a≥2
参考答案：
1-12；DCCBA ADADC AC.
12．【详解】当x≤0时，f'x=3x2−3．由f'x>0，得x<−1，由f'x<0，得−1设t=fx，则m=ft，由图可知当m>3时，m=ft有且只有1个实根，
则t=fx最多有3个不同的实根，不符合题意．
当m=3时，m=ft的解是t1=−1，t2=3．f（x）=t1有2个不同的实根，f（x）=t2有2个不同的实根，
则t=fx有4个不同的实根，不符合题意．
当1≤m<3时，m=ft有3个不同的实根t3，t4，t5，且t3∈−2,−1，t4∈−1,0，t5∈2,3．
f（x）=t3有2个不同的实根，f（x）=t4有2个不同的实根，f（x）=t5有3个不同的实根，
则t=fx有7个不同的实根，不符合题意．
当−1≤m<1时，m=ft有2个不同的实根t6，t7，且t6∈−3,−1，t7∈1,2．
f（x）=t6有2个不同的实根，f（x）=t7有3个不同的实根，
则t=fx有5个不同的实根，符合题意．
当−3f（x）=t8有2个不同的实根，f（x）=t9，有2个不同的实根，则t=fx有4个不同的实根，不符合题意．
当m≤−3时，m=ft有且只有1个实根，则t=fx最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是−1,1．
故选：C.
13．−103. 14．300 15．3 16．①②④
17．（1）解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象
可得A=3，12⋅2πω=5π6−π3=π2，所以ω=2.再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π，所以φ=π3，f(x)=3sin2x+π3.
（2）将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，可得y=3sin2x−π3x+π3=3sin2x−π3的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)=3sin4x−π3的图象.由x∈0,π3，可得4x−π3∈−π3,π又∵函数g(x)在0,5π24上单调递增，在5π24,π3单调递减∴ g(0)=−32，g5π24=3，gπ3=0
∴ g(x)=3sin4x−π3∈−32,3∴函数g(x)在0,π3的值域−32,3.
18．（1）∵lg3bn+1−1=lg3bn，∴lg3bn+1=lg3(3bn)，则bn+1bn=3，所以bn为等比数列，
又b3=9，得b1=1，所以bn=3n−1，由2an=an+1+an−1知an是等差数列，且b4=a14=27，S3=9，
∴a1+13d=273a1+3d=9，得a1=1，d=2．∴an=2n−1.
（2）因为an=2n−1，bn=3n−1，所以cn=an+1⋅bn+1=2n+13n，
所以Tn=3⋅31+5⋅32+7⋅33+⋅⋅⋅+2n−1⋅3n−1+2n+1⋅3n
则3Tn=3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋅⋅⋅+2n−1⋅3n+2n+1⋅3n+1
上面两式作差得−2Tn=32+2⋅32+2⋅33+⋅⋅⋅+2⋅3n−2n+1⋅3n+1
=9+291−3n−11−3−2n+1⋅3n+1=−2n⋅3n+1，∴Tn=n⋅3n+1
19．（1）设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC=b2R,sinC=c2R，
因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD⋅b2R=a⋅c2R，即BD⋅b=ac．又因为b2=ac，所以BD=b．
（2）因为AD=2DC，如图，在△ABC中，csC=a2+b2−c22ab，①
在△BCD中，csC=a2+(b3)2−b22a⋅b3．②
由①②得a2+b2−c2=3a2+(b3)2−b2，整理得2a2−113b2+c2=0．
又因为b2=ac，所以6a2−11ac+3c2=0，解得a=c3或a=3c2，
当a=c3,b2=ac=c23时，a+b=c3+3c3当a=3c2,b2=ac=3c22时，cs∠ABC=(3c2)2+c2−3c222⋅3c2⋅c=712．所以cs∠ABC=712．
20．（1）因为f(x)=aex+a−x，定义域为R，所以f'x=aex−1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f'x=aex−1<0恒成立，
所以fx在R上单调递减；
当a>0时，令f'x=aex−1=0，解得x=−lna，
当x<−lna时，f'x<0，则fx在−∞,−lna上单调递减；
当x>−lna时，f'x>0，则fx在−lna,+∞上单调递增；
综上：当a≤0时，fx在R上单调递减；
当a>0时，fx在−∞,−lna上单调递减，fx在−lna,+∞上单调递增.
（2）由（1）得，fxmin=f−lna=ae−lna+a+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令ga=a2−12−lnaa>0，则g'a=2a−1a=2a2−1a，
令g'a<0，则00，则a>22；
所以ga在0,22上单调递减，在22,+∞上单调递增，
所以gamin=g22=222−12−ln22=ln2>0，则ga>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕.
21．（1）f(x)的定义域为(−1,+∞)，当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex,f(0)=0,所以切点为(0,0) f'(x)=11+x+1−xex,f'(0)=2,所以切线斜率为2，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x
（2）f(x)=ln(1+x)+axex，f'(x)=11+x+a(1−x)ex=ex+a1−x2(1+x)ex。设g(x)=ex+a1−x2，则
1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=ex+a1−x2>0,即f'(x)>0，所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意
2°若−1≤a≤0,当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex−2ax>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1+a≥0,即f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0，故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意
3°若a<−1
(1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex−2ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增
g(0)=1+a<0,g(1)=e>0，所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f'(m)=0
当x∈(0,m),f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(m,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增
所以，当x∈(0,m),f(x)−1,则ℎ'(x)=1−xex,x>−1,
所以ℎ(x)=xex在−1,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ1=1e，
又e−ae−1>0，fe−ae−1≥−ae+a⋅1e=0，所以f(x)在(m,+∞)上有唯一零点
又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞)上有唯一零点
(2)当x∈(−1,0),g(x)=ex+a1−x2
设ℎ(x)=g'(x)=ex−2ax，所以ℎ'(x)=ex−2a>0，所以g'(x)在(−1,0)单调递增；g'(−1)=1e+2a<0,g'(0)=1>0，所以存在n∈(−1,0),使得g'(n)=0；
当x∈(−1,n),g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(n,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)又g(−1)=1e>0，所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f'(t)=0
当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减，当x∈−1,0，ℎx>ℎ−1=−e，又−10
所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点，即f(x)在(−1,0)上有唯一零点，所以a<−1,符合题意
所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围为(−∞,−1)
22．（1）解：由y=−x2+4x，可得y2=−x2+4x(y≥0)，即x2+y2=4x(0≤x≤4,y≥0)，
又由x=ρcsθy=ρsinθ，可得ρ2=4ρcsθ(0≤θ≤π2)，所以曲线M的极坐标方程为ρ=4csθ0≤θ≤π2．
由xy=9，可得ρ2csθsinθ=9，即ρ2sin2θ=18，即曲线N的极坐标方程为ρ2sin2θ=18.
（2）解：将θ=θ0代入ρ2sin2θ=18，可得|OB|=ρ=18sin2θ0，将θ=θ0代入ρ=4csθ，可得|OA|=ρ=4csθ0，
则|OA|⋅|OB|=12tanθ0，因为|OA|⋅|OB|=12，所以tanθ0=1，又因为0<θ0<π2，所以θ0=π4．
23．（1）由题意可得：fx=x+1+2x−1=3x−1,x≥13−x,−1当x≥1时，则fx=3x−1<8，解得2≤x<3；
当−1当x≤−1时，则fx=−3x+1<8，解得−73综上所述：不等式fx<8的解集为−73,3.
（2）∵gx=fx−x−1=x+1+x−1≥2，当且仅当x∈−1,1时等号成立，
∴函数gx的最小值为m=2，则a+b+c=2，
又∵b+a2b≥2b×a2b=2a，当且仅当b=a2b，即a=b时等号成立；
c+b2c≥2c×b2c=2b，当且仅当c=b2c，即b=c时等号成立；
a+c2a≥2a×c2a=2c，当且仅当a=c2a，即a=c时等号成立；
上式相加可得：b+a2b+c+b2c+a+c2a≥2a+2b+2c，当且仅当a=b=c时等号成立，
∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c=2.