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山东省 泰安市宁阳县2022-2023学年上学期期中质量检测 九年级数学试题
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这是一份山东省 泰安市宁阳县2022-2023学年上学期期中质量检测 九年级数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（ ）
A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）
3．（4分）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
4．（4分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y2
5．（4分）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
6．（4分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（ ）
A．﹣30B．﹣23C．23D．30
8．（4分）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5B．y＝3（x+3）2+5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5D．y＝3（x+3）2﹣5
9．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，1）
B．向上，直线x＝3，（3，1）
C．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，﹣1）
D．向上，直线x＝3，（﹣3，1）
10．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：
①abc＞0；
②4a+b＝0；
③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；
④a+b+c＝0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于B点，△AOB的面积为4，则k的值为 ．
14．（4分）如图，点P1、P2、P2、P4在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4…，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
15．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 ．
16．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板周长为20cm，则投影三角板的周长为 cm．
17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则a+b+c的值是 ．
18．（4分）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
20．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
21．（12分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个．
22．（10分）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，C，B的坐标；求出△ABC的面积；
（2）直接写点D的坐标；△BCD是 三角形；（可不写步骤）
（3）当y随着x的增大而增大时，请你写出x的取值范围．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在对称轴上是否存在一个点M，使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由．
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
25．（12分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省泰安市宁阳县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
（参考答案）
一、单选题（每题4分，共计48分）
1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看该几何体，得到一行两个相邻的矩形，且左边的矩形较大，
故选：B．
2．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（ ）
A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，不是﹣6的，该函数的图象就不经过此点，
四个选项中只有D不符合．
故选：D．
3．（4分）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【解答】解：∵y＝x2m﹣1是反比例函数，
∴2m﹣1＝﹣1，
解之得：m＝0．
故选：B．
4．（4分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y2
【解答】解：∵A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝，y2＝，y3＝﹣1．
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
5．（4分）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：C．
6．（4分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，
四个选项中只有C符合，
故选：C．
7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（ ）
A．﹣30B．﹣23C．23D．30
【解答】解：依题意得：32﹣b＝﹣，
解得：b＝30．
故选：D．
8．（4分）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5B．y＝3（x+3）2+5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5D．y＝3（x+3）2﹣5
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为：y＝3（x+3）2﹣5，
故选：D．
9．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，1）
B．向上，直线x＝3，（3，1）
C．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，﹣1）
D．向上，直线x＝3，（﹣3，1）
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的开口向上；
对称轴是直线x＝3；
顶点坐标是（3，1）．
故选：B．
10．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：①∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y＝0，则﹣x2+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，所以，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选：B．
11．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：
①abc＞0；
②4a+b＝0；
③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；
④a+b+c＝0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确；
当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：（1，0）
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确
故选：C．
12．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（0，6），（﹣2，0），（﹣1，4）分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，
∵抛物线过点（0，6），（1，6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线过点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0）．故B正确，符合题意．
∵抛物线的最值在x＝处取得，不是6，故C不正确，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于B点，△AOB的面积为4，则k的值为 ﹣8 ．
【解答】解：由于点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于B点，
则S△AOB＝|k|＝4，k＝±8；
又由于函数的图象在第二、四象限，故k＜0，
则k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．（4分）如图，点P1、P2、P2、P4在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4…，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
【解答】解：当x＝2023：
∴，
由图象可知：
∴，
故答案为：．
15．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 y＝﹣ ．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，
∴∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∵OB＝OA，
∴△BOC≌△OAD（AAS），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OBC＝，
∴S△OAD＝，
∴k＝﹣1，
∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
16．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板周长为20cm，则投影三角板的周长为 50 cm．
【解答】解：设投影三角尺的周长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似比为2：5，
∴20：x＝2：5，
解得x＝50．
故答案为：50．
17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则a+b+c的值是 ﹣2 ．
【解答】解：由表格可知：（﹣2，﹣5）与（0，﹣5）是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为x＝﹣1，
设二次函数图象上的点为（1，y），（x，y）
由对称性可知：＝﹣1，
∴x＝﹣3，
∴（1，y）与（﹣3，y）关于x＝﹣1对称
由表格可知：x＝﹣3时，y＝﹣2，
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝﹣2
18．（4分）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣ ．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵C、D两点在直线y＝ax+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；
（2）设点P的坐标是（m，n）．
把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），则OA＝4，
∵△POA的面积等于8，
∴×OA×|n|＝8，
解得：|n|＝4，
∴n1＝4，n2＝﹣4，
∴点P的坐标是（﹣，4），（，﹣4）．
20．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+8；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE＝6，BC＝2，
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8．
21．（12分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 4 个．
【解答】解：（1）∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；
（2）∵B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴D（3，5），
①如图，
∵点D是反比例函数y＝的图象上，
∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝OP时，如图，点P1和P2；
Ⅱ、当OD＝DP时，如图中，P3和点P4；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
22．（10分）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
【解答】解：将这种商品售价降低x元时，所获利润最大，获利最大利润为y元，
则y＝（10﹣8﹣x）（100+x）＝﹣100x2+100x+200（0≤x≤2），
所以当x＝﹣＝﹣＝0.5元时，所获利润最大．即最大利润为y＝＝225（元）．
答：将这种商品的售价降低0.5元，能使销售利润最大，最大值为225元．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，C，B的坐标；求出△ABC的面积；
（2）直接写点D的坐标；△BCD是 直角 三角形；（可不写步骤）
（3）当y随着x的增大而增大时，请你写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，
得x＝3或﹣1，
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
△ABC的面积＝[3﹣（﹣1）]×3＝6；
（2）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故D（1，﹣4），
由CD2+BC2＝（1﹣0）2+[﹣3﹣（﹣4）]2+（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2＝20＝（3﹣1）2+[0﹣（﹣4）]2＝BD2，
得△BCD是直角 三角形；
故答案为：直角；
（3）由对称轴为：x＝1，a＝1＞0，
得当y随着x的增大而增大时，x的取值范围为x＜1．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在对称轴上是否存在一个点M，使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由．
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）在对称轴上存在一个点M，使MB+MC的和最小，理由如下：
连接AC交对称轴于M，则MB+MC的和最小，如图：
∵MA＝MB，
∴MB+MC＝MA+MC，
而C，M，A共线，
∴此时MB+MC最小，
在y＝﹣x2﹣3x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由A（﹣4，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝x+4，
由y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
在y＝x+4中，令x＝﹣得y＝，
∴M（﹣，）；
（3）设BP交y轴于K，如图：
∵PD⊥x轴，
∴∠DPB＝∠OKB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OKB＝2∠BCO，
∴∠CBK＝∠BCO，
∴BK＝CK，
设OK＝m，则CK＝BK＝4﹣m，
∵OB2+OK2＝BK2，
∴12+m2＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴K（0，），
由B（1，0），K（0，）可得直线BP的表达式为y＝﹣x+．
25．（12分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0＝﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k＝4，
则抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，则y＝3，即C的坐标是（0，3），OC＝3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB＝3，
∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB＝45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB＝90°，
∴∠NCH＝45°，
∴NH＝CH，
∴HO＝OC+CH＝3+CH＝3+NH，
设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3＝﹣a2+2a+3，
解得a＝0（舍去）或a＝1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）存在点P，点Q使四边形OAPQ是平行四边形，理由如下：
∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），把Q（t+1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t+1）+，
整理，得2t2﹣t＝0，
解得t＝0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．
或Q（t﹣1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t﹣1）+，
解得t＝﹣（舍去）或2（舍弃），
综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，），（，）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（ ）
A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）
3．（4分）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
4．（4分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y2
5．（4分）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
6．（4分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（ ）
A．﹣30B．﹣23C．23D．30
8．（4分）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5B．y＝3（x+3）2+5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5D．y＝3（x+3）2﹣5
9．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，1）
B．向上，直线x＝3，（3，1）
C．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，﹣1）
D．向上，直线x＝3，（﹣3，1）
10．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：
①abc＞0；
②4a+b＝0；
③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；
④a+b+c＝0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于B点，△AOB的面积为4，则k的值为 ．
14．（4分）如图，点P1、P2、P2、P4在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4…，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
15．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 ．
16．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板周长为20cm，则投影三角板的周长为 cm．
17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则a+b+c的值是 ．
18．（4分）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
20．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
21．（12分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个．
22．（10分）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，C，B的坐标；求出△ABC的面积；
（2）直接写点D的坐标；△BCD是 三角形；（可不写步骤）
（3）当y随着x的增大而增大时，请你写出x的取值范围．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在对称轴上是否存在一个点M，使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由．
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
25．（12分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省泰安市宁阳县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
（参考答案）
一、单选题（每题4分，共计48分）
1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看该几何体，得到一行两个相邻的矩形，且左边的矩形较大，
故选：B．
2．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点是（ ）
A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，不是﹣6的，该函数的图象就不经过此点，
四个选项中只有D不符合．
故选：D．
3．（4分）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【解答】解：∵y＝x2m﹣1是反比例函数，
∴2m﹣1＝﹣1，
解之得：m＝0．
故选：B．
4．（4分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y1＜y3＜y2
【解答】解：∵A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）三点都在函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝，y2＝，y3＝﹣1．
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
5．（4分）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：C．
6．（4分）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，
四个选项中只有C符合，
故选：C．
7．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（ ）
A．﹣30B．﹣23C．23D．30
【解答】解：依题意得：32﹣b＝﹣，
解得：b＝30．
故选：D．
8．（4分）把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2+5B．y＝3（x+3）2+5
C．y＝3（x﹣3）2﹣5D．y＝3（x+3）2﹣5
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为：y＝3（x+3）2﹣5，
故选：D．
9．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，1）
B．向上，直线x＝3，（3，1）
C．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，﹣1）
D．向上，直线x＝3，（﹣3，1）
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的开口向上；
对称轴是直线x＝3；
顶点坐标是（3，1）．
故选：B．
10．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：①∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y＝0，则﹣x2+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，所以，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y＝﹣x2+1是由抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选：B．
11．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：
①abc＞0；
②4a+b＝0；
③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1；
④a+b+c＝0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确；
当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：（1，0）
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确
故选：C．
12．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（0，6），（﹣2，0），（﹣1，4）分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，
∵抛物线过点（0，6），（1，6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线过点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0）．故B正确，符合题意．
∵抛物线的最值在x＝处取得，不是6，故C不正确，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于B点，△AOB的面积为4，则k的值为 ﹣8 ．
【解答】解：由于点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于B点，
则S△AOB＝|k|＝4，k＝±8；
又由于函数的图象在第二、四象限，故k＜0，
则k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．（4分）如图，点P1、P2、P2、P4在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4…，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ．
【解答】解：当x＝2023：
∴，
由图象可知：
∴，
故答案为：．
15．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 y＝﹣ ．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，
∴∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∵OB＝OA，
∴△BOC≌△OAD（AAS），
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OBC＝，
∴S△OAD＝，
∴k＝﹣1，
∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
16．（4分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板周长为20cm，则投影三角板的周长为 50 cm．
【解答】解：设投影三角尺的周长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似比为2：5，
∴20：x＝2：5，
解得x＝50．
故答案为：50．
17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则a+b+c的值是 ﹣2 ．
【解答】解：由表格可知：（﹣2，﹣5）与（0，﹣5）是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为x＝﹣1，
设二次函数图象上的点为（1，y），（x，y）
由对称性可知：＝﹣1，
∴x＝﹣3，
∴（1，y）与（﹣3，y）关于x＝﹣1对称
由表格可知：x＝﹣3时，y＝﹣2，
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝﹣2
18．（4分）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣ ．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵C、D两点在直线y＝ax+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；
（2）设点P的坐标是（m，n）．
把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），则OA＝4，
∵△POA的面积等于8，
∴×OA×|n|＝8，
解得：|n|＝4，
∴n1＝4，n2＝﹣4，
∴点P的坐标是（﹣，4），（，﹣4）．
20．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+8；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE＝6，BC＝2，
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8．
21．（12分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 4 个．
【解答】解：（1）∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；
（2）∵B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴D（3，5），
①如图，
∵点D是反比例函数y＝的图象上，
∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝OP时，如图，点P1和P2；
Ⅱ、当OD＝DP时，如图中，P3和点P4；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
22．（10分）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
【解答】解：将这种商品售价降低x元时，所获利润最大，获利最大利润为y元，
则y＝（10﹣8﹣x）（100+x）＝﹣100x2+100x+200（0≤x≤2），
所以当x＝﹣＝﹣＝0.5元时，所获利润最大．即最大利润为y＝＝225（元）．
答：将这种商品的售价降低0.5元，能使销售利润最大，最大值为225元．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，C，B的坐标；求出△ABC的面积；
（2）直接写点D的坐标；△BCD是 直角 三角形；（可不写步骤）
（3）当y随着x的增大而增大时，请你写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，
得x＝3或﹣1，
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
△ABC的面积＝[3﹣（﹣1）]×3＝6；
（2）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故D（1，﹣4），
由CD2+BC2＝（1﹣0）2+[﹣3﹣（﹣4）]2+（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2＝20＝（3﹣1）2+[0﹣（﹣4）]2＝BD2，
得△BCD是直角 三角形；
故答案为：直角；
（3）由对称轴为：x＝1，a＝1＞0，
得当y随着x的增大而增大时，x的取值范围为x＜1．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在对称轴上是否存在一个点M，使MB+MC的和最小，存在的话，请求出点M的坐标．不存在的话请说明理由．
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）在对称轴上存在一个点M，使MB+MC的和最小，理由如下：
连接AC交对称轴于M，则MB+MC的和最小，如图：
∵MA＝MB，
∴MB+MC＝MA+MC，
而C，M，A共线，
∴此时MB+MC最小，
在y＝﹣x2﹣3x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由A（﹣4，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝x+4，
由y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
在y＝x+4中，令x＝﹣得y＝，
∴M（﹣，）；
（3）设BP交y轴于K，如图：
∵PD⊥x轴，
∴∠DPB＝∠OKB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OKB＝2∠BCO，
∴∠CBK＝∠BCO，
∴BK＝CK，
设OK＝m，则CK＝BK＝4﹣m，
∵OB2+OK2＝BK2，
∴12+m2＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴K（0，），
由B（1，0），K（0，）可得直线BP的表达式为y＝﹣x+．
25．（12分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0＝﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k＝4，
则抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，则y＝3，即C的坐标是（0，3），OC＝3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB＝3，
∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB＝45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB＝90°，
∴∠NCH＝45°，
∴NH＝CH，
∴HO＝OC+CH＝3+CH＝3+NH，
设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3＝﹣a2+2a+3，
解得a＝0（舍去）或a＝1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）存在点P，点Q使四边形OAPQ是平行四边形，理由如下：
∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），把Q（t+1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t+1）+，
整理，得2t2﹣t＝0，
解得t＝0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．
或Q（t﹣1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t﹣1）+，
解得t＝﹣（舍去）或2（舍弃），
综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，），（，）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
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