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福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（2份打包，原卷版+含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试日期： 月 日 完卷时间：120分钟 满分：150分
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则x=( )
A. 1B. -13C. 13D. -5
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2. 若直线l的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的倾斜角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角，方向向量关系求解
【详解】由直线l的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于A,B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，则C的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的定义知 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出答案.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
则C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
4. 若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 1240B. 1550C. 1860D. 2170
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. 如图，已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.
方法二：证明 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点M到直线BE的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公垂线段，
所以 SKIPIF 1 < 0 的长为动点M到直线BE的距离最小值，
所以动点M到直线BE的距离最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
7. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是两曲线的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 轴，则椭圆的离心率是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，设设椭圆的下焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】易知点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆的下焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 初中时通常把反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K>0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，便得到焦点在x轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线y=x为实轴的等轴双曲线，那么当k=4时，双曲线的焦距为( )
A. 8B. 4C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.
【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为 SKIPIF 1 < 0 .又注意到 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 图像上，其与原点连线与x正半轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则将点 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，该点落在x正半轴，设为
SKIPIF 1 < 0 ，因旋转前后到原点距离不变，则 SKIPIF 1 < 0 .
即将点 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
可得双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9. 正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角A-BD-C的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
对A：∵ SKIPIF 1 < 0 为正四面体，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 (也为内切球的球心)在 SKIPIF 1 < 0 上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对C：由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得AB与平面BCD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角A-BD-C的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AC.
10. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 有最大值D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】因为满足 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
对选项A， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确.
对选项B， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误
对选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值.故C正确.
对选项D，因为当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段AB的中点，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，由点差法可得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 是线段AB中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0
因为直线l过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，所以l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
对于A：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B：B正确；
对于C：C正确；
对于D：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC
12. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 为常数)，则称 SKIPIF 1 < 0 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为( )
A. SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列
B. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)也是平方等差数列
D. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)也是平方等差数列
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，则 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 不符合平方等差数列的定义，故错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为等差数列时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平方等差数列，
当 SKIPIF 1 < 0 不为等差数列时，则 SKIPIF 1 < 0 不为平方等差数列，故错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把以上的等式相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，故正确；
故选:BD
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.
【详解】记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点的坐标即可求得.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：
按照以上排列的规律，记第 SKIPIF 1 < 0 行第 SKIPIF 1 < 0 个数为 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
【答案】69
【解析】
【分析】观察数阵的排列规律，先确定 SKIPIF 1 < 0 在数阵中的行 SKIPIF 1 < 0 的值，再确定 SKIPIF 1 < 0 在该行的项数 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】观察可得数阵的第 SKIPIF 1 < 0 行排 SKIPIF 1 < 0 个数，
从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，
偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，
将数阵中的所有数从小到大排列记为数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为2023在数阵的第 SKIPIF 1 < 0 行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以2023排在第45行，
前45行共排了 SKIPIF 1 < 0 个数，即1035个数，
所以第45 最大数为 SKIPIF 1 < 0 ，
将第45行的数从左至右排列记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为2023为数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：69.
16. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 SKIPIF 1 < 0 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意分析可得：圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有两个交点，分别联立方程分析运算.
【详解】如图，由题意可得：
圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有两个交点，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，可得若 SKIPIF 1 < 0 有根，则两根同号，
根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个正根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)
17. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线x-y+3=0上.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，结合等差数列通项公式求其通项；
(2)由条件求数列 SKIPIF 1 < 0 的首项和公比，根据等比数列求和公式求 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 . ,
18. 已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程；
(2)求平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，再利用点斜式可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可计算得出点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，并求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平行四边形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
解：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，点A(-2，1)，B，C三点都在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点为F，且F是 SKIPIF 1 < 0 的重心.
(1)求抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2)求BC中点M的坐标及线段BC的长.
【答案】(1)抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由点A在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；
(2)设BC直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得答案.
【小问1详解】
因 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 .
则抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设BC线段所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与抛物线方程联立
SKIPIF 1 < 0 ，由题 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由韦达定理 SKIPIF 1 < 0 .
因F是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 ，则BC中点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .又M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，沿AE把 SKIPIF 1 < 0 折起成四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)先证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由此证明 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直判定定理证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面面垂直判定定理证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)建立空间直角坐标系，求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量和 SKIPIF 1 < 0 ，再由距离公式求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
21. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并通过数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式得到数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据错位相减法即可求出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为3的等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1)可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
22. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 SKIPIF 1 < 0 中底面长轴 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为下底面椭圆的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 为上底面椭圆的右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 的中点，MN为过点 SKIPIF 1 < 0 的下底面的一条动弦(不与AB重合).
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面PMN
(2)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【解析】
【分析】(1)由线线平行证线面平行；
(2)由解析法，建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，转为求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，
其中 SKIPIF 1 < 0 为弦长公式结合韦达定理求得， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即可.
【小问1详解】
由长轴 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长 SKIPIF 1 < 0 得焦半径得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 分别OB、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
在柱体中，纵切面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵P为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PMN， SKIPIF 1 < 0 平面PMN，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PMN；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 如图所示，则底面椭圆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线MN的距离 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.
考试日期： 月 日 完卷时间：120分钟 满分：150分
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则x=( )
A. 1B. -13C. 13D. -5
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2. 若直线l的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的倾斜角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角，方向向量关系求解
【详解】由直线l的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于A,B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，则C的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的定义知 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出答案.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
则C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D
4. 若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 1240B. 1550C. 1860D. 2170
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. 如图，已知正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.
方法二：证明 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点M到直线BE的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公垂线段，
所以 SKIPIF 1 < 0 的长为动点M到直线BE的距离最小值，
所以动点M到直线BE的距离最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
7. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是两曲线的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 轴，则椭圆的离心率是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，设设椭圆的下焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】易知点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆的下焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 初中时通常把反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K>0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，便得到焦点在x轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线y=x为实轴的等轴双曲线，那么当k=4时，双曲线的焦距为( )
A. 8B. 4C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.
【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为 SKIPIF 1 < 0 .又注意到 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 图像上，其与原点连线与x正半轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则将点 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，该点落在x正半轴，设为
SKIPIF 1 < 0 ，因旋转前后到原点距离不变，则 SKIPIF 1 < 0 .
即将点 SKIPIF 1 < 0 绕原点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
可得双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9. 正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角A-BD-C的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
对A：∵ SKIPIF 1 < 0 为正四面体，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 (也为内切球的球心)在 SKIPIF 1 < 0 上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对C：由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得AB与平面BCD所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角A-BD-C的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AC.
10. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 有最大值D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】因为满足 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
对选项A， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确.
对选项B， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误
对选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值.故C正确.
对选项D，因为当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段AB的中点，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，由点差法可得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 是线段AB中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0
因为直线l过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，所以l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
对于A：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B：B正确；
对于C：C正确；
对于D：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC
12. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 为常数)，则称 SKIPIF 1 < 0 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为( )
A. SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列
B. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)也是平方等差数列
D. 若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)也是平方等差数列
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，则 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 不符合平方等差数列的定义，故错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 为常数)，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为等差数列时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平方等差数列，
当 SKIPIF 1 < 0 不为等差数列时，则 SKIPIF 1 < 0 不为平方等差数列，故错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把以上的等式相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是平方等差数列，故正确；
故选:BD
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.
【详解】记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点的坐标即可求得.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：
按照以上排列的规律，记第 SKIPIF 1 < 0 行第 SKIPIF 1 < 0 个数为 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
【答案】69
【解析】
【分析】观察数阵的排列规律，先确定 SKIPIF 1 < 0 在数阵中的行 SKIPIF 1 < 0 的值，再确定 SKIPIF 1 < 0 在该行的项数 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】观察可得数阵的第 SKIPIF 1 < 0 行排 SKIPIF 1 < 0 个数，
从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，
偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，
将数阵中的所有数从小到大排列记为数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为2023在数阵的第 SKIPIF 1 < 0 行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以2023排在第45行，
前45行共排了 SKIPIF 1 < 0 个数，即1035个数，
所以第45 最大数为 SKIPIF 1 < 0 ，
将第45行的数从左至右排列记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为2023为数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：69.
16. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 SKIPIF 1 < 0 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意分析可得：圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有两个交点，分别联立方程分析运算.
【详解】如图，由题意可得：
圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有两个交点，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，可得若 SKIPIF 1 < 0 有根，则两根同号，
根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个正根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)
17. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线x-y+3=0上.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，结合等差数列通项公式求其通项；
(2)由条件求数列 SKIPIF 1 < 0 的首项和公比，根据等比数列求和公式求 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 . ,
18. 已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程；
(2)求平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，再利用点斜式可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可计算得出点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，并求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平行四边形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
解：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，点A(-2，1)，B，C三点都在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，抛物线的焦点为F，且F是 SKIPIF 1 < 0 的重心.
(1)求抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2)求BC中点M的坐标及线段BC的长.
【答案】(1)抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由点A在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；
(2)设BC直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得答案.
【小问1详解】
因 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，则 SKIPIF 1 < 0 .
则抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设BC线段所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与抛物线方程联立
SKIPIF 1 < 0 ，由题 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由韦达定理 SKIPIF 1 < 0 .
因F是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 ，则BC中点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .又M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，沿AE把 SKIPIF 1 < 0 折起成四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)先证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由此证明 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直判定定理证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面面垂直判定定理证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)建立空间直角坐标系，求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量和 SKIPIF 1 < 0 ，再由距离公式求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
21. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并通过数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式得到数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据错位相减法即可求出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为3的等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由(1)可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
上面两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
22. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 SKIPIF 1 < 0 中底面长轴 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为下底面椭圆的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 为上底面椭圆的右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 的中点，MN为过点 SKIPIF 1 < 0 的下底面的一条动弦(不与AB重合).
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面PMN
(2)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【解析】
【分析】(1)由线线平行证线面平行；
(2)由解析法，建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，转为求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，
其中 SKIPIF 1 < 0 为弦长公式结合韦达定理求得， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即可.
【小问1详解】
由长轴 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长 SKIPIF 1 < 0 得焦半径得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 分别OB、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
在柱体中，纵切面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵P为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PMN， SKIPIF 1 < 0 平面PMN，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PMN；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 如图所示，则底面椭圆为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线MN的距离 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.
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