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河南省驻马店确山县第一高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）
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这是一份河南省驻马店确山县第一高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（A卷），共8页。试卷主要包含了已知圆等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．已知过两点的直线与直线垂直，则的值（ ）
A．4B．－8C．2D．－1
2．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
4．已知是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且，l交T于点M，交于点Q，若，则双曲线T的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（ ）
A．40B．36C．28D．24
6．设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（ ）
A．1B．2C．4D．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（ ）
A．2B．3C．D．
10．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
二．填空题
13．若直线经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为________．
14．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
15．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_______．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A（0，4）且与曲线相切于点B，则直线l的方程是________．设E是线段OB中点，长度为2的线段PQ（P在Q的上方）在直线l上滑动，则的最小值是______．
三．解答题
17．在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程；
(3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
18．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
19．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
20．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且圆M与l相切．
（1）求C，圆M的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与圆M的位置关系，并说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
A参考答案：
1．B 2．B 3．B 4．B
【详解】不妨设的方程为，设的方程为，，因为，所以直线l的方程为：，
由，即，由，即，
因为，所以由，
5．B 6．A【详解】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而，设圆与MF1、MF2分别切于点A，B，连接IA，IB，
根据切线长定理就有，∴.
故选：A．
7．B 8．A解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．因为，
所以，即．∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A．
9．C【详解】因为椭圆的方程为：，则，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，因为点P到两个焦点的距离之差为1，所以假设，则，解得： ，又因为，在中，由余弦定理可得：，所以，
所以的面积为：.故选：C.
10．B【详解】设，则，即.因为，，所以，解得.由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，
所以方程为；的方程为；两式相减可得直线的方程，令得，即；令得，即；，所以.故选：B.
11．A【详解】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，因为，所以点在圆C的内部．作直线，垂足为D，设，因为，所以，所以，所以，所以当，即时，．
此时，又，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
12．A【详解】因为两条互相垂直的直线均过，且所以设的方程为，，，联立，故，．则，同理，，当且仅当时，取“”，故选：A
13．【详解】设的倾斜角为，则，所以，
所以直线方程的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：.
14．【详解】由已知，．得．因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，
代入得，所以．故答案为：.
15．【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
16．
【详解】解：显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即．
因为直线l与曲线相切，所以，，得，
所以直线l的方程为．设，则由勾股定理得，，或（舍去），所以，表示与（0，2）和（2，1）两点间的距离之和．
又（0，2）关于x轴的对称点为（0，-2），所以的最小值为点（0，-2）与点（2，1）间的距离，即．
故答案为：，
17．(1)(2)或(3)或
（1）因为圆：，故，半径为；又因为：，故，半径为2，
所以两圆圆心距为：，因为圆与圆有交点，所以，得，即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，因为直线与圆相切，则，即，
此时直线的方程为，即，综上：直线的方程为或.
（3）设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为：
，，即：，，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等，故有，即或，
由于关于的方程有无穷多解，故，或，解得或，即点为或.
18．(1)(2)
解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，且
联立可得
可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点
19．(1)；(2).
（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，所以抛物线C的方程为；
（2）由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
20．（1）；（2）.
抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，，所以，，
点到直线的距离为，所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．则，整理得，同理可得．联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．所以，其中，即．当时，．
21．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【详解】（1）依题意设抛物线，，
所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；
（2）[方法一]：设若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，
又，，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，
则，所以直线方程为，
整理得，同理直线的方程为，
直线的方程为，与圆相切，
整理得，与圆相切，同理
所以为方程的两根，，
到直线的距离为：，
所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
22．（1）；（2）.
(1) 因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）如图所示，设,设直线的方程为．
联立,化简得.
则．故．
则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，
所以，即．因为，所以．
一．选择题
1．已知过两点的直线与直线垂直，则的值（ ）
A．4B．－8C．2D．－1
2．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
4．已知是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且，l交T于点M，交于点Q，若，则双曲线T的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（ ）
A．40B．36C．28D．24
6．设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（ ）
A．1B．2C．4D．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（ ）
A．2B．3C．D．
10．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
二．填空题
13．若直线经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为________．
14．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
15．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_______．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A（0，4）且与曲线相切于点B，则直线l的方程是________．设E是线段OB中点，长度为2的线段PQ（P在Q的上方）在直线l上滑动，则的最小值是______．
三．解答题
17．在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程；
(3)当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
18．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
19．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
20．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且圆M与l相切．
（1）求C，圆M的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与圆M的位置关系，并说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
A参考答案：
1．B 2．B 3．B 4．B
【详解】不妨设的方程为，设的方程为，，因为，所以直线l的方程为：，
由，即，由，即，
因为，所以由，
5．B 6．A【详解】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而，设圆与MF1、MF2分别切于点A，B，连接IA，IB，
根据切线长定理就有，∴.
故选：A．
7．B 8．A解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．因为，
所以，即．∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A．
9．C【详解】因为椭圆的方程为：，则，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，因为点P到两个焦点的距离之差为1，所以假设，则，解得： ，又因为，在中，由余弦定理可得：，所以，
所以的面积为：.故选：C.
10．B【详解】设，则，即.因为，，所以，解得.由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，
所以方程为；的方程为；两式相减可得直线的方程，令得，即；令得，即；，所以.故选：B.
11．A【详解】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，因为，所以点在圆C的内部．作直线，垂足为D，设，因为，所以，所以，所以，所以当，即时，．
此时，又，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
12．A【详解】因为两条互相垂直的直线均过，且所以设的方程为，，，联立，故，．则，同理，，当且仅当时，取“”，故选：A
13．【详解】设的倾斜角为，则，所以，
所以直线方程的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：.
14．【详解】由已知，．得．因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，
代入得，所以．故答案为：.
15．【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，
因为，所以，，，
因为，，，所以，则，
因为，，由，所以，因此．
16．
【详解】解：显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即．
因为直线l与曲线相切，所以，，得，
所以直线l的方程为．设，则由勾股定理得，，或（舍去），所以，表示与（0，2）和（2，1）两点间的距离之和．
又（0，2）关于x轴的对称点为（0，-2），所以的最小值为点（0，-2）与点（2，1）间的距离，即．
故答案为：，
17．(1)(2)或(3)或
（1）因为圆：，故，半径为；又因为：，故，半径为2，
所以两圆圆心距为：，因为圆与圆有交点，所以，得，即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，因为直线与圆相切，则，即，
此时直线的方程为，即，综上：直线的方程为或.
（3）设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为：
，，即：，，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等，故有，即或，
由于关于的方程有无穷多解，故，或，解得或，即点为或.
18．(1)(2)
解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，且
联立可得
可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点
19．(1)；(2).
（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，所以抛物线C的方程为；
（2）由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
20．（1）；（2）.
抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，，所以，，
点到直线的距离为，所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．则，整理得，同理可得．联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．所以，其中，即．当时，．
21．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【详解】（1）依题意设抛物线，，
所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；
（2）[方法一]：设若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，
又，，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，
则，所以直线方程为，
整理得，同理直线的方程为，
直线的方程为，与圆相切，
整理得，与圆相切，同理
所以为方程的两根，，
到直线的距离为：，
所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
22．（1）；（2）.
(1) 因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）如图所示，设,设直线的方程为．
联立,化简得.
则．故．
则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，
所以，即．因为，所以．
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