2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期中数学试卷，共25页。

A．1B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．{1，﹣1}
2．（5分）函数y＝x+a与，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）不等式x（x﹣2）＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜x＜2B．0＜x＜1C．x≥﹣1D．1＜x＜3
4．（5分）下列函数是奇函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝1﹣|x|B．
C．D．
5．（5分）设函数f（x），则不等式f（3x）≤f（﹣2）的解集是（ ）
A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．[0，2]D．[0，3]
6．（5分）据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（ ）
A．yB．y
C．yD．y＝（1﹣0.150x）m
7．（5分）若函数f（x），a＞0且a≠1，满足对任意实数x1≠x2，都有0，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[2，3]D．（2，3）
8．（5分）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），若a2+b2+m（ab+4）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）
C．D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的有（ ）
A．若a＞b，则a|c|＞b|c|
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．
D．
（多选）10．（5分）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，则下列说法正确的有（ ）
A．f（0）＝1
B．g（x）＝f（x）﹣1是奇函数
C．f（x）在R上为减函数
D．若∀x∈R，f（|x+3|）﹣f（0）＞f（a）﹣f（|2﹣x|）恒成立，则a＜5
（多选）12．（5分）形如f（x）（a＞0）的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
A．a＝1时，f（f（2022））
B．a＝1时，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．当x∈（﹣a，a）时，f（x）max
D．若方程f（x）+a﹣1＝0有2个不同的根，则0＜a＜1或a
三.填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数y＝ax+2022﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是 ．
14．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为 ．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝π|x|+x2，且f（3a﹣2）＞f（﹣1），则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）若函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则函数f（x）具有“类奇性”．已知函数在R上具有“类奇性”，则实数a的取值范围是 ．
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，C＝{x|0}．
（1）求B∩C；
（2）若A∩（∁RB）＝A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，幂函数g（x）＝（m2+m﹣5）xm+2的图象不过原点．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣2g（x），判断h（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．
19．（12分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）＝x2﹣（m+3）x+2m+3（m∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y＝f（x）在区间（0，1）上无最值，且函数的定义域为R，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．
（1）若函数f（x）是奇函数，
（i）求k的值；
（ii）直接判断f（x）的单调性（无需证明），并解不等式；
（2）若关于x的不等式f（x）＜4在[﹣1，1]上无解，求实数k的取值范围．
21．（12分）广州地铁8号线部分通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20．经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人．记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的解析式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）经估算，该线路t分钟内的票价收入为载客量p（t）的12倍，t分钟内的运维成本为3000元．由于西村等站点未开通，列车飞站的损失是每分钟150元，当发车时间间隔t为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？（净收益＝票价收入﹣运维成本﹣飞站损失）
22．（12分）设函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．
（1）当m≥0时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（2）当m＝0时，有f（p）•f（q）＝25，g（x）＝|f（x）+x2﹣（a+2）x﹣1|，若对于任意x1，x2∈[0，1]，总存在p，q∈（0，+∞），使得|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣2}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则下列属于A∩B的元素是（ ）
A．1B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．{1，﹣1}
【解答】解：联立，解得x＝1，y＝﹣1，
故于A∩B的元素是（1，﹣1）．
故选：B．
2．（5分）函数y＝x+a与，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由函数y＝x+a，可得到函数为增函数，故排除AC，
若a＞1，则01，函数y＝（）x是R上的减函数，且过点（1，0），函数y＝x+a的图象与y轴的交点（1，0）的上方，故B符合
若0＜a＜1，则1，函数y＝（）x是R上的增函数，函数y＝x+a的图象与y轴的交点（1，0）的下方，故D符合，
故选：B．
3．（5分）不等式x（x﹣2）＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜x＜2B．0＜x＜1C．x≥﹣1D．1＜x＜3
【解答】解：解不等式x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，
所以选项A是充要条件，选项B是充分不必要条件，
选项C是必要不充分条件，选项D是既不充分也不必要条件．
故选：C．
4．（5分）下列函数是奇函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝1﹣|x|B．
C．D．
【解答】解：选项A，f（x）＝1﹣|x|是偶函数，不符合题意；
选项B，f（x）是非奇非偶函数，不符合题意；
选项C，f（x）x，
因为函数y＝x和y在（0，1）上单调递增，所以f（x）在（0，1）上单调递增，不符合题意；
选项D，f（x）x是对勾函数，是奇函数且在（0，1）上单调递减，符合题意．
故选：D．
5．（5分）设函数f（x），则不等式f（3x）≤f（﹣2）的解集是（ ）
A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．[0，2]D．[0，3]
【解答】解：∵f（x），
∴f（3x）≤f（﹣2）⇒3x﹣5≤4⇒3x≤9⇒x≤2．
∴不等式f（3x）≤f（﹣2）的解集是（﹣∞，2]．
故选：A．
6．（5分）据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（ ）
A．yB．y
C．yD．y＝（1﹣0.150x）m
【解答】解：设每年湖水量为上一年的q%，则（q%）50＝0.9，所以q%＝0.950，所以x年后的湖水量为，
故选：C．
7．（5分）若函数f（x），a＞0且a≠1，满足对任意实数x1≠x2，都有0，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[2，3]D．（2，3）
【解答】解：∵f（x），a＞0且a≠1，满足对任意实数x1≠x2，都有0成立，
∴f（x）是增函数，则⇒2≤a≤3．
故选：C．
8．（5分）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），若a2+b2+m（ab+4）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）
C．D．
【解答】解：∵关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），
∴a，b是一元二次方程kx2﹣x+1＝0的两根，
∴a+b，ab，且Δ＝1﹣4k＞0，即0＜k，
∵a2+b2+m（ab+4）＞0恒成立，
∴m恒成立，
令t＝1﹣2k，则t＜1，k，∴，
∵t在（，1）单调递减，∴t3，
∴1，∴1
∴实数m的取值范围是m＞﹣1．
故选：B．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列判断正确的有（ ）
A．若a＞b，则a|c|＞b|c|
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．
D．
【解答】解：对于A，|c|＝0时不成立，故A错误；
对于B，若c＞d，则﹣d＞﹣c，
则a﹣d＞b﹣c，故B正确；
对于C，21.8＞21.5，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A：因为a＞0，b＞0且a+b＝1，则，当且仅当时等号成立，故选项A不正确；
B：59，当且仅当b＝2a且a+b＝1，即a，b 时等号成立，故选项B正确；
C：，当且仅当时等号成立，所以，故选项C正确；
D：19，当且仅当a＝b时取等号，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，则下列说法正确的有（ ）
A．f（0）＝1
B．g（x）＝f（x）﹣1是奇函数
C．f（x）在R上为减函数
D．若∀x∈R，f（|x+3|）﹣f（0）＞f（a）﹣f（|2﹣x|）恒成立，则a＜5
【解答】解：f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．
对于A，令m＝n＝0得：f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，则f（0）＝1，故A正确；
对于B，令m＝﹣n得：f（0）＝f（﹣n）+f（n）﹣1，即f（n）﹣1+f（﹣n）﹣1＝0，
则g（n）+g（﹣n）＝0，g（x）＝f（x）﹣1是奇函数，故B正确；
对于C，当x＞y时，f（x）＝f（x﹣y）+f（y）﹣1＞1+f（y）﹣1＝f（y），则f（x）在R上为增函数，故C错误；
对于D，f（|x+3|）﹣f（0）＞f（a）﹣f（|2﹣x|）对∀x∈R恒成立
⇔f（|x+3|）+f（|2﹣x|）﹣1＞f（a）对∀x∈R恒成立⇔f（|x+3|+|2﹣x|）＞f（a）对∀x∈R恒成立
⇔a＜|x+3|+|2﹣x|对∀x∈R恒成立，
又|x+3|+|2﹣x|≥|x+3+2﹣x|＝5，当且仅当（x+3）（2﹣x）≥0即﹣3≤x≤2时，等号成立，
则a＜5，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）形如f（x）（a＞0）的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
A．a＝1时，f（f（2022））
B．a＝1时，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．当x∈（﹣a，a）时，f（x）max
D．若方程f（x）+a﹣1＝0有2个不同的根，则0＜a＜1或a
【解答】解：对于A，当a＝1时，f（x），
所以f（2022），f（f（2022））＝f（），故正确；
对于B，当a＝1时，f（x），
所以f（0）＝﹣1，f（2）＝1，
所以f（0）≠f（2），所以函数f（x）的图象不关于直线x＝1对称，故错误；
对于C，因为f（﹣x）f（x），
所以f（x）在定义域上为偶函数，所以在（﹣a，a）上为偶函数，
当x∈（0，a）时，f（x）0，且单调递减，
所以y＝f（x）在（﹣a，0）上单调递增，
所以f（x）max＝f（0），故正确；
对于D，由C可知当x∈（﹣a，a）时，f（x）max，
当x＞a时，f（x）0，且单调递减，
又因为f（x）为偶函数，
所以当x＜﹣a时，f（x）0，且单调递增，
作出y＝f（x）的大致图象，如图所示：
因为方程f（x）+a﹣1＝0有2个不同的根，
即y＝f（x）与y＝1﹣a有2个不同的交点，
所以或，
解得0＜a＜1或a，故正确．
故选：ACD．
三.填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数y＝ax+2022﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是 （﹣2022，0） ．
【解答】解：由x+2022＝0，解得：x＝﹣2022，
而x＝﹣2022时，y＝a0﹣1＝0，
故函数y＝ax+2022﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（﹣2022，0）．
故答案为：（﹣2022，0）．
14．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为 ∀n∈N，n2≤2n ．
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，
故答案为：“∀n∈N，n2≤2n”
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝π|x|+x2，且f（3a﹣2）＞f（﹣1），则实数a的取值范围是 （﹣∞，）∪（1，+∞） ．
【解答】解：因为f（﹣x）＝π|﹣x|+（﹣x）2＝π|x|+x2＝f（x），
所以f（x）是偶函数，
当x＞0时，函数y＝π|x|＝πx单调递增，y＝x2单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若f（3a﹣2）＞f（﹣1），则|3a﹣2|＞|﹣1|，解得a或a＞1，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，）∪（1，+∞）．
16．（5分）若函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则函数f（x）具有“类奇性”．已知函数在R上具有“类奇性”，则实数a的取值范围是 [） ．
【解答】解：根据“类奇性”定义可得：存在实数x0∈R，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，
即存在实数x0∈R，使得3a（2＝﹣[3a（2]成立，
即存在实数x0∈R，使得4＝3a[（（]成立，
令t＝（（，则t2﹣2，t≥2，
则存在实数t≥2，使得t2﹣6＝3at成立，
即存在实数t≥2，使得3a＝t成立，
令g（t）＝t，t≥2，则g′（t）＝10，
所以g（t）在[2，+∞）上单调递增，
所以g（t）≥g（2）＝﹣1，
所以3a≥﹣1，即，即实数a的取值范围是[）．
故答案为：[）．
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，C＝{x|0}．
（1）求B∩C；
（2）若A∩（∁RB）＝A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由于B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}，C＝{x|0}＝{x|﹣3＜x＜2}，
故B∩C＝{x|﹣3＜x≤1}．
（2）若A∩（∁RB）＝A，则A⊆∁RB），
∵∁RB＝{x|1＜x＜4}，A＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，
∴当A≠∅时，应有2﹣a＜2+a且，求得0＜a≤1．
当A＝∅时，应有2﹣a≥2+a，求得a≤0．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
18．（12分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，幂函数g（x）＝（m2+m﹣5）xm+2的图象不过原点．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣2g（x），判断h（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．
【解答】解：（1）设f（x）＝xα，
若幂函数y＝f（x）的图象过点，
则2，解得：α＝2，
故f（x）＝x2，
由m2+m﹣5＝1，解得：m＝2或m＝﹣3，
故g（x）＝x5或g（x），
又幂函数g（x）＝（m2+m﹣5）xm+2的图象不过原点，
故g（x）；
（2）由（1）得h（x）＝f（x）﹣2g（x）＝x2，
h（x）在（0，+∞）上单调递增，
证明如下：设0＜x1＜x2，
则h（x1）﹣h（x2）

＝（x1+x2）（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（x1+x2）＜0，
故h（x1）＜h（x2），h（x）在（0，+∞）递增．
19．（12分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）＝x2﹣（m+3）x+2m+3（m∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y＝f（x）在区间（0，1）上无最值，且函数的定义域为R，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x﹣2）＝x2﹣（m+3）x+2m+3，
令t＝x﹣2，则x＝t+2，
∴f（t）＝（t+2）2﹣（m+3）（t+2）+2m+3＝t2+（1﹣m）t+1，
∴f（x）＝x2+（1﹣m）x+1（m∈R）．
（2）由（1）知，函数f（x）＝x2+（1﹣m）x+1开口向上，对称轴x，
∵函数y＝f（x）在区间（0，1）上无最值，
∴0或1，
∴m≤1或m≥3，
∵函数的定义域为R，
∴f（x）＝x2+（1﹣m）x+1≥0恒成立，
∴Δ＝（1﹣m）2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤3，
综上，﹣1≤m≤1或m＝3，
故实数m的取值范围为{m|﹣1≤m≤1或m＝3}．
20．（12分）已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．
（1）若函数f（x）是奇函数，
（i）求k的值；
（ii）直接判断f（x）的单调性（无需证明），并解不等式；
（2）若关于x的不等式f（x）＜4在[﹣1，1]上无解，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）（i）∵函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x是R上的奇函数，
∴f（0）＝0，即（k﹣1）•20+20＝0，解得k＝0；
∴f（x）＝﹣2x+2﹣x，
∵f（x）＝﹣2﹣x+2x＝﹣（﹣2x+2﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数，
∴k＝0．
（ii）函数f（x）在R上单调递减，
，得f（）≥﹣f（﹣x），
∵由（i）知函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（）≥f（x），
∴x，∴，解得1≤x，
原不等式的解集为{x|1≤x}．
（2）∵关于x的不等式f（x）＜4在[﹣1，1]上无解，
即（k﹣1）2x+2﹣x＜4在[﹣1，1]上无解，
∴k1在[﹣1，1]上无解，
令t＝2﹣x，则t∈[，2]，
y1＝t（4﹣t）+1＝﹣t2+4t+1＝﹣（t﹣2）2+5，t∈[，2]，
∴当t＝2时，ymax＝5，
∴k≥5，
∴实数k的取值范围为[5，+∞）．
21．（12分）广州地铁8号线部分通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20．经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人．记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的解析式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）经估算，该线路t分钟内的票价收入为载客量p（t）的12倍，t分钟内的运维成本为3000元．由于西村等站点未开通，列车飞站的损失是每分钟150元，当发车时间间隔t为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？（净收益＝票价收入﹣运维成本﹣飞站损失）
【解答】解：（1）当2≤t＜10时，设p（t）＝400﹣k（10﹣t）2，
则p（2）＝400﹣64k＝272，
解得k＝2，
由题意可得，p（t），
故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量为p（t）＝400﹣2×42＝368（人）；
（2）当2≤t＜10时，Q150＝330﹣（24t）90，
当且仅当，即t＝5时，等号成立，
当10≤t≤20时，Q，
此时函数单调递减，
则，当且仅当t＝10时，等号成立，
综上所述，当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大．
22．（12分）设函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．
（1）当m≥0时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（2）当m＝0时，有f（p）•f（q）＝25，g（x）＝|f（x）+x2﹣（a+2）x﹣1|，若对于任意x1，x2∈[0，1]，总存在p，q∈（0，+∞），使得|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝2mx2+（m+2）x+1＝（2x+1）（mx+1）≤0，
当m＝0时，原不等式变为2x+1≤0，解得x，
∴原不等式的解集为{x|x}，
当0＜m＜2时，，
∴原不等式的解集为{x|x}，
当m＝2时，原不等式变为（2x+1）2≤0，解得x，
∴原不等式的解集为{x|x}，
当m＞2时，，
∴原不等式的解集为{x|x}．
（2）m＝0时，函数f（x）＝2x+1，
∵f（p）•f（q）＝25，p，q∈（0，+∞），
∴（2p+1）（2q+1）＝25，即4pq+2（p+q）+1＝25，
∴p+q＝12﹣2pq≥2，
解得，02当且仅当p＝q时，取等号；
g（x）＝|f（x）+x2﹣（a+2）x﹣1|＝|x2﹣ax|，
∵对于任意x1，x2∈[0，1]，总存在p，q∈（0，+∞），使得|g（x1）﹣g（x2）|成立，
∴g（x）max﹣g（x）min，
而g（x）min＝0，∴g（x）≤2，x∈[0，1]恒成立，
即|x2﹣ax|≤2，x∈[0，1]恒成立，
∴﹣2≤x2﹣ax≤2，x∈[0，1]恒成立，
当x＝0时，显然成立，
当0＜x≤1时，恒成立，
而x在（0，1]上单调递增，∴当x＝1时，取最大值﹣1，
∴a≥﹣1；
x在（0，1]上单调递减，∴当x＝1时，取最小值3，
∴a≤3；∴﹣1≤a≤3．
∴实数a的取值范围是[﹣1，3]．
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