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2022-2023学年广东省佛山市顺德区卓越高中联考高二（上）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省佛山市顺德区卓越高中联考高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y+2）²＝B．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
C．（x+1）²+（y+2）²＝D．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
3．（5分）甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
4．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
5．（5分）设x，y∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
6．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
7．（5分）如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）直线l1，l2的方程分别为l1：x+ay+b＝0，l2：x+cy+d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，d＜0B．b＜0，d＞0C．a＞cD．a＜c
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1）
（多选）11．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系错误是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△BB1P的面积为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1∥l2，则实数m＝ ．
14．（5分）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则2x+y≥16的概率为 ．
15．（5分）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组（x，y，z）为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，1，1），则向量在基底下的坐标为 ．
16．（5分）过点P（﹣5，0）作直线（1+2m）x﹣（m+1）y﹣4m﹣3＝0（m∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，11），则|MN|的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，D（﹣3，1），A（﹣1，0），点E是线段BC的中点．
（1）求直线AE的方程；
（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x，y，z的值．
（2）求MN的长．
19．（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
20．（12分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，BC＝CD＝1，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求点A到直线CE的距离；
（3）求直线CE与平面PAB间的距离．
22．（12分）如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具），其中AD＝A1D1＝B1C1＝M2D1＝2，B1M1＝4，将AD与A1D1、BC与B1C1分别重合，并将两个三角板翻起，使点M1与点M2重合于点M，得到一几何体如图2．
（1）证明：AD⊥MC；
（2）求平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值；
（3）在正方形ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点N，使得直线MC与直线DN所成角为？试说明你的理由．
2022-2023学年广东省佛山市顺德区卓越高中联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
【解答】解：直线，即x+y＝3，
故直线的斜率是k＝﹣，
故倾斜角是：，
故选：D．
【点评】本题考查了求直线的倾斜角问题，是一道基础题．
2．（5分）以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y+2）²＝B．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
C．（x+1）²+（y+2）²＝D．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
【分析】由题意，利用两条平行直线间的距离公式，求得圆的半径，再根据圆的标准方程，得出结论．
【解答】解：∵两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离，
即两平行线2x﹣2y+2＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为＝，
∴以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，圆的标准方程，属于基础题．
3．（5分）甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
【分析】确定甲队以3：1获胜的情况有几种，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式，即可求得答案．
【解答】解：由题意知甲队以3：1获胜，则共比赛4场，甲队第四场获胜，前3场中获胜2场，
故甲队以3：1获胜的概率是P＝0.6×0.6×（1﹣0.3）×0.3+0.6×（1﹣0.6）×0.3×0.3+（1﹣0.6）×0.6×0.3×0.3＝0.1188，
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
4．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论．
【解答】解：对于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内；
对于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内；
对于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内；
对于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内．
故选：B．
【点评】本题考查平面的法向量和空间向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）设x，y∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】先根据求出x，再根据求出y，故可求．
【解答】解：因为，故x﹣1+1＝0，故x＝0，
因为，故，故y＝﹣1，故，，
故，故．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量平行、垂直的充要条件与模长的计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，
∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，
∵PA的斜率为＝﹣1，PB的斜率为＝1，
∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先确定逆时针和顺时针移动的概率，再确定3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：由题意可知，逆时针方向移动的概率为，顺时针移动的概率为，
由A点出发，3次移动后到达点B，则3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，
所以概率．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，注意分析“3次移动”中，顺时针和逆时针的次数，属于基础题．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，作出辅助线，得到P的轨迹为以B1为圆心，为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的，求出轨迹长度．
【解答】解：根据题意，直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
连接B1P，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PB1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥PB1，故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
则∠BPB1＝60°，
因为BB1＝1，所以，
故点P的轨迹为以B1为圆心，为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的，
故轨迹长度为l＝．
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及正方体的结构特征，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）直线l1，l2的方程分别为l1：x+ay+b＝0，l2：x+cy+d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，d＜0B．b＜0，d＞0C．a＞cD．a＜c
【分析】首先把直线的一般式，转换为斜截式，进一步利用直线的斜率和直线的截距的大小关系确定结果．
【解答】解：根据直线l1的方程：x+ay+b＝0，
所以，
根据直线在坐标系中的位置，
所以，，
故a＜0，b＜0；
直线l2：x+cy+d＝0，所以；
根据直线在坐标系中的位置；
所以，
所以c＜0，d＞0．
由于，
所以c＜a．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，直线的一般式方程和斜截式直线方程的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1）
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D．
【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），
∵A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），
∴，，，
对于A：若存在实数λ使得，则，该方程组无解，∴不存在λ使得，
∴与不共线，故A错误；
对于B：∵，∴与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面ABC的法向量，
则，取x＝1，得，
∴平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量共线定理、单位向量、向量夹角余弦公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系错误是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【分析】计算得出P（AB）＝P（A）•P（B），由此可得出结论．
【解答】解：由题意可得P（A）＝1﹣P（）＝，因为P（AB）＝，P（B）＝，
所以，P（AB）＝P（A）•P（B），故事件A与B相互独立．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△BB1P的面积为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
【分析】对于A，当λ＝1时，点P在线段CC1上，可判断A；对于B，当μ＝1时，可得点P在线段B1C1上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断B；对于C，当时，取BC的中点E，B1C1的中点F，可得点P在线段EF上，设EP＝x（0≤x≤1），根据勾股定理计算即可判断C；对于D，当时，取CC1的中点为M，BB1的中点为N，可得点P在线段NM上，当P在点M处时，可证A1B⊥平面AMB1，根据过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，可判断D正确．
【解答】解：对于A，当λ＝1时，，得，得，
因为μ∈[0，1]，所以点P在线段CC1上，
由棱柱性质可知，BB1∥CC1，
所以△BB1P在BB1上的高为定值，所以△BB1P的面积为定值，A正确；
对于B，当μ＝1时，，，得，
因为λ∈[0，1]，
所以点P在线段B1C1上，
因为B1C1∥BC，
所以△PBC的面积为定值，
又三棱锥，点A1到平面PBC的距离为定值，
所以三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，取BC的中点E，B1C1的中点F，则，
则＝＝，
则，则，则点P在线段EF上，
设EP＝x（0≤x≤1），则PF＝1﹣x，
则，，，
若A1P⊥BP，则，则，则x（x﹣1）＝0，
所以x＝1或x＝0，则点P与E、F重合时，A1P⊥BP，
即当时，存在两个点P，使得A1P⊥BP，故C错误；
对于D，当时，取CC1的中点为M，BB1的中点为N，
由＝，
得，得，
因为λ∈[0，1]，则点P在线段NM上，
当P在点M处时，取AC的中点G，连A1G，BG，
因为△ABC为正三角形，所以BG⊥AC，
由正棱柱性质可知，平面ABC⊥平面ACC1A1，
又平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BG⊂平面ABC，
所以BG⊥平面ACC1A1，
又AM⊂平面ACC1A1，所以BG⊥AM，
在正方形ACC1A1中，由△ACM，△A1AG为全等的直角三角形易知AM⊥A1G，
又BG∩A1G＝G，BG，A1G⊂平面A1BG，
所以AM⊥平面A1BG，
又A1B⊂平面A1BG，
所以AM⊥A1B，
在正方形ABB1A1中，A1B⊥AB1，又AM⋂AB1＝A，AM，AB1⊂平面AMB1，
所以A1B⊥平面AMB1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且只有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1∥l2，则实数m＝ ﹣1 ．
【分析】由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝﹣1或3．经过验证两条直线是否重合，进而得出．
【解答】解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝﹣1或3．
m＝3时，两条直线重合，舍去．
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则2x+y≥16的概率为 ．
【分析】由已知先列举出（x，y）的可能情况，然后求出满足不等式的情况，结合古典概率公式可求．
【解答】解：抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，
则（x，y）的所有可能情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36种情况，
由2x+y≥16可得x+y≥4，则有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共33种情况，
故概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
15．（5分）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组（x，y，z）为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，1，1），则向量在基底下的坐标为 （2，0，2） ．
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可．
【解答】解：是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，
∵向量在基底下的坐标为（1，1，1），
∴，
∴向量在基底下的坐标为（2，0，2）．
故答案为：（2，0，2）．
【点评】本题考查基底的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）过点P（﹣5，0）作直线（1+2m）x﹣（m+1）y﹣4m﹣3＝0（m∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，11），则|MN|的最大值为 ．
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点Q（1，﹣2），可知M点轨迹为圆，并求得圆的方程；根据圆上点到直线距离最大值的求法可求得结果．
【解答】解：直线方程可化为：（2x﹣y﹣4）m+（x﹣y﹣3）＝0，
由得：，∴直线恒过定点Q（1，﹣2），
∵PM与直线垂直，垂足为M，∴M点轨迹是以PQ为直径的圆，
则圆心C（﹣2，﹣1），半径，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点的求解，还考查了圆性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，D（﹣3，1），A（﹣1，0），点E是线段BC的中点．
（1）求直线AE的方程；
（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．
【分析】（1）根据题意可设C（﹣1，t），利用|AD|＝|CD|，求出B，C的坐标，利用中点坐标公式求出E的坐标，进而可求AE的方程；
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为﹣1求出直线DE斜率，进而可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，∴AC⊥x轴，∴可设C（﹣1，t），
∵|AD|＝|CD|，∴，
解得：t＝0（舍）或t＝2，∴C（﹣1，2）．
∴A，C中点坐标为（﹣1，1），∴B点坐标为（1，1），
由中点坐标公式得，∴，
∴直线AE的方程为，即3x﹣2y+3＝0．
（2）可求，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：﹣6，
∴所求直线方程为：y＝﹣6x﹣6，即6x+y+6＝0．
【点评】本题考查直线方程的性质，属于中档题．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x，y，z的值．
（2）求MN的长．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出，即得解．
（2）化简即得解．
【解答】解：（1），
所以．
（2）因为，
所以，
所以，
所以MN的长为．
【点评】本题考查利用空间向量的线性运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19．（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
【分析】（1）由表可得，超过50岁的5G手机用户有25+6+12+16+8+8＝75人，再结合概率公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
（3）根据已知条件，结合分层抽样的方法，以及列举法，即可求解．
【解答】解：（1）超过50岁的5G手机用户有25+6+12+16+8+8＝75人，
则所求概率．
（2）由题意，样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分为．
（3）由题意，用分层抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为a，b；女用户有3人，分别记为1，2，3．
从这5人中不放回地依次随机挑选2人，
样本空间Ω＝{（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（b，a），（b，1），（b，2），（b，3），（1，a），（1，b），（1，2），（1，3），（2，a），（2，b），（2，1），（2，3），（3，a），（3，b），（3，1），（3，2）}，n（Ω）＝20，
设事件A＝“第2次才挑选到了女用户”，则A＝{（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}，n（A）＝6，
故第2次才挑选到了女用户的概率为．
【点评】本题主要考查了列举法，以及平均数公式，属于基础题．
20．（12分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得N，利用直线的两点式方程即可得出结果．
【解答】解：（1）由A（4，0），B（0，4），得直线AB的斜率为，线段中点D（2，2）
所以kCD＝1，直线CD的方程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x，
联立，解得，即C（3，3），
所以半径，
所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；
（2）由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C（3，3），
设点M关于直线y＝﹣x的对称点N（x，y），
则直线MN与直线y＝﹣x垂直，且线段MN的中点在y＝﹣x上，
则有，解得，所以N（﹣1，﹣4），
所以直线CN即为直线l1，且，
直线l1方程为，即7x﹣4y﹣9＝0．
【点评】本题考查圆的方程与直线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，BC＝CD＝1，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求点A到直线CE的距离；
（3）求直线CE与平面PAB间的距离．
【分析】（1）转化为平面OCE∥平面PAB问题，利用三角形中位线和平行四边形性质可证．
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到直线的距离公式和点到平面距离即可．
【解答】解：（1）证明：记AD的中点为O，连接OE，OC，
因为BC∥AD，CD⊥AD，
所以底面ABCD为直角梯形，
又底面ABCD的面积为，BC＝CD＝1，
所以，得AD＝2，
所以AO＝1，
所以AO＝BC，
所以ABCO为平行四边形，
所以AB∥OC，
因为OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以OE∥平面PAB，
因为O，E分别为AD，PD的中点，
所以OE∥AP，
同理OC∥平面PAB，
又OE∩OC＝O，OE，OC⊂平面OCE，
所以平面OCE∥平面PAB，
又CE⊂平面OCE，所以CE∥平面PAB．
（2）因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AD＝2，
所以，PO⊥AD，
由（1）可知，OB∥CD，CD⊥AD，
所以BO⊥AD
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥OB，故OB，OD，OP两两垂直，
以OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，
得，
设与的夹角为θ，
所以cs＜，＞＝csθ＝＝＝，0≤θ≤π，
所以sin＜，＞＝sinθ＝＝，
所以点A到直线CE的距离．
（3）由（2）可得，
设为平面PAB的法向量，
则，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，
所以，
所以点C到平面PAB的距离为，
由（1）知，CE∥平面PAB，
所以直线CE与平面PAB间的距离即为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，空间中的距离，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（12分）如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具），其中AD＝A1D1＝B1C1＝M2D1＝2，B1M1＝4，将AD与A1D1、BC与B1C1分别重合，并将两个三角板翻起，使点M1与点M2重合于点M，得到一几何体如图2．
（1）证明：AD⊥MC；
（2）求平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值；
（3）在正方形ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点N，使得直线MC与直线DN所成角为？试说明你的理由．
【分析】（1）通过证明AD⊥平面MCD即可证明．
（2）作正方体如下，过点M作MH⊥DC，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值．
（3）可设N（m，s，0），再建立关于m，s的方程组，解方程组即得解．
【解答】解：（1）证明：由题意可得AD⊥MD，AD⊥DC，且MD∩DC＝D，MD，DC⊂平面MCD，
所以AD⊥平面MCD，
而MC⊂平面MCD，
所以AD⊥MC．
（2）由（1）知AD⊥平面MCD，可作正方体如下，过点M作MH⊥DC，
如下图，
以点D为原点建立空间直角坐标系，显然，点M在坐标平面yz内，
由题得，
，
所以，
所以，
所以，
由题得，
所以，，
设平面MAD的法向量为，
则，
令z1＝1，则y1＝，x1＝0，
所以．
设平面MBC的法向量为，
则，
令y2＝1，则z2＝，x2＝0，
所以，
所以平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值为＝＝＝．
（3）存在．如上图可知：C（0，2，0），
所以，
因为点N在坐标平面xOy内，可设N（m，s，0），
则，
由题意知，
所以，
又在坐标平面xOy内，以点D为圆心，半径为2的一段圆弧的方程是x2+y2＝4，
因为点N在圆弧上，
所以有m2+s2＝4，结合，可得，
所以点N的坐标是（，，0），
所以存在符合题意的点N．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，异面直线所成角，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．
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25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
男
女
男
女
男
女
满意
20
21
35
16
25
6
一般
20
20
25
19
12
16
不满意
15
9
10
15
8
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满意程度
25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
男
女
男
女
男
女
满意
20
21
35
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25
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一般
20
20
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不满意
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10
15
8
8
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y+2）²＝B．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
C．（x+1）²+（y+2）²＝D．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
3．（5分）甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
4．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
5．（5分）设x，y∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
6．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
7．（5分）如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）直线l1，l2的方程分别为l1：x+ay+b＝0，l2：x+cy+d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，d＜0B．b＜0，d＞0C．a＞cD．a＜c
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1）
（多选）11．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系错误是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△BB1P的面积为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1∥l2，则实数m＝ ．
14．（5分）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则2x+y≥16的概率为 ．
15．（5分）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组（x，y，z）为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，1，1），则向量在基底下的坐标为 ．
16．（5分）过点P（﹣5，0）作直线（1+2m）x﹣（m+1）y﹣4m﹣3＝0（m∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，11），则|MN|的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，D（﹣3，1），A（﹣1，0），点E是线段BC的中点．
（1）求直线AE的方程；
（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x，y，z的值．
（2）求MN的长．
19．（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
20．（12分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，BC＝CD＝1，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求点A到直线CE的距离；
（3）求直线CE与平面PAB间的距离．
22．（12分）如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具），其中AD＝A1D1＝B1C1＝M2D1＝2，B1M1＝4，将AD与A1D1、BC与B1C1分别重合，并将两个三角板翻起，使点M1与点M2重合于点M，得到一几何体如图2．
（1）证明：AD⊥MC；
（2）求平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值；
（3）在正方形ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点N，使得直线MC与直线DN所成角为？试说明你的理由．
2022-2023学年广东省佛山市顺德区卓越高中联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
【解答】解：直线，即x+y＝3，
故直线的斜率是k＝﹣，
故倾斜角是：，
故选：D．
【点评】本题考查了求直线的倾斜角问题，是一道基础题．
2．（5分）以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y+2）²＝B．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
C．（x+1）²+（y+2）²＝D．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
【分析】由题意，利用两条平行直线间的距离公式，求得圆的半径，再根据圆的标准方程，得出结论．
【解答】解：∵两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离，
即两平行线2x﹣2y+2＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为＝，
∴以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，圆的标准方程，属于基础题．
3．（5分）甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
【分析】确定甲队以3：1获胜的情况有几种，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式，即可求得答案．
【解答】解：由题意知甲队以3：1获胜，则共比赛4场，甲队第四场获胜，前3场中获胜2场，
故甲队以3：1获胜的概率是P＝0.6×0.6×（1﹣0.3）×0.3+0.6×（1﹣0.6）×0.3×0.3+（1﹣0.6）×0.6×0.3×0.3＝0.1188，
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
4．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论．
【解答】解：对于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内；
对于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内；
对于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内；
对于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内．
故选：B．
【点评】本题考查平面的法向量和空间向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）设x，y∈R，向量，且，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】先根据求出x，再根据求出y，故可求．
【解答】解：因为，故x﹣1+1＝0，故x＝0，
因为，故，故y＝﹣1，故，，
故，故．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量平行、垂直的充要条件与模长的计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
【解答】解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，
∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，
∵PA的斜率为＝﹣1，PB的斜率为＝1，
∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）如图，一动点沿圆周在均匀分布的A，B，C三点之间移动，每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍，假设现在该点从A点出发，则移动三次之后到达B点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先确定逆时针和顺时针移动的概率，再确定3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：由题意可知，逆时针方向移动的概率为，顺时针移动的概率为，
由A点出发，3次移动后到达点B，则3次移动中有2次逆时针，1次顺时针，
所以概率．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，注意分析“3次移动”中，顺时针和逆时针的次数，属于基础题．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P为正方形A1B1C1D1内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，作出辅助线，得到P的轨迹为以B1为圆心，为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的，求出轨迹长度．
【解答】解：根据题意，直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
连接B1P，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PB1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥PB1，故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成角，
则∠BPB1＝60°，
因为BB1＝1，所以，
故点P的轨迹为以B1为圆心，为半径，位于平面A1B1C1D1内的圆的，
故轨迹长度为l＝．
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及正方体的结构特征，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）直线l1，l2的方程分别为l1：x+ay+b＝0，l2：x+cy+d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，d＜0B．b＜0，d＞0C．a＞cD．a＜c
【分析】首先把直线的一般式，转换为斜截式，进一步利用直线的斜率和直线的截距的大小关系确定结果．
【解答】解：根据直线l1的方程：x+ay+b＝0，
所以，
根据直线在坐标系中的位置，
所以，，
故a＜0，b＜0；
直线l2：x+cy+d＝0，所以；
根据直线在坐标系中的位置；
所以，
所以c＜0，d＞0．
由于，
所以c＜a．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，直线的一般式方程和斜截式直线方程的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1）
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D．
【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），
∵A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，1，1），
∴，，，
对于A：若存在实数λ使得，则，该方程组无解，∴不存在λ使得，
∴与不共线，故A错误；
对于B：∵，∴与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面ABC的法向量，
则，取x＝1，得，
∴平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，1），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量共线定理、单位向量、向量夹角余弦公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系错误是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【分析】计算得出P（AB）＝P（A）•P（B），由此可得出结论．
【解答】解：由题意可得P（A）＝1﹣P（）＝，因为P（AB）＝，P（B）＝，
所以，P（AB）＝P（A）•P（B），故事件A与B相互独立．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△BB1P的面积为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
【分析】对于A，当λ＝1时，点P在线段CC1上，可判断A；对于B，当μ＝1时，可得点P在线段B1C1上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断B；对于C，当时，取BC的中点E，B1C1的中点F，可得点P在线段EF上，设EP＝x（0≤x≤1），根据勾股定理计算即可判断C；对于D，当时，取CC1的中点为M，BB1的中点为N，可得点P在线段NM上，当P在点M处时，可证A1B⊥平面AMB1，根据过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，可判断D正确．
【解答】解：对于A，当λ＝1时，，得，得，
因为μ∈[0，1]，所以点P在线段CC1上，
由棱柱性质可知，BB1∥CC1，
所以△BB1P在BB1上的高为定值，所以△BB1P的面积为定值，A正确；
对于B，当μ＝1时，，，得，
因为λ∈[0，1]，
所以点P在线段B1C1上，
因为B1C1∥BC，
所以△PBC的面积为定值，
又三棱锥，点A1到平面PBC的距离为定值，
所以三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，取BC的中点E，B1C1的中点F，则，
则＝＝，
则，则，则点P在线段EF上，
设EP＝x（0≤x≤1），则PF＝1﹣x，
则，，，
若A1P⊥BP，则，则，则x（x﹣1）＝0，
所以x＝1或x＝0，则点P与E、F重合时，A1P⊥BP，
即当时，存在两个点P，使得A1P⊥BP，故C错误；
对于D，当时，取CC1的中点为M，BB1的中点为N，
由＝，
得，得，
因为λ∈[0，1]，则点P在线段NM上，
当P在点M处时，取AC的中点G，连A1G，BG，
因为△ABC为正三角形，所以BG⊥AC，
由正棱柱性质可知，平面ABC⊥平面ACC1A1，
又平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BG⊂平面ABC，
所以BG⊥平面ACC1A1，
又AM⊂平面ACC1A1，所以BG⊥AM，
在正方形ACC1A1中，由△ACM，△A1AG为全等的直角三角形易知AM⊥A1G，
又BG∩A1G＝G，BG，A1G⊂平面A1BG，
所以AM⊥平面A1BG，
又A1B⊂平面A1BG，
所以AM⊥A1B，
在正方形ABB1A1中，A1B⊥AB1，又AM⋂AB1＝A，AM，AB1⊂平面AMB1，
所以A1B⊥平面AMB1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且只有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线l1：x+my+6＝0，l2（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1∥l2，则实数m＝ ﹣1 ．
【分析】由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝﹣1或3．经过验证两条直线是否重合，进而得出．
【解答】解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得：m＝﹣1或3．
m＝3时，两条直线重合，舍去．
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则2x+y≥16的概率为 ．
【分析】由已知先列举出（x，y）的可能情况，然后求出满足不等式的情况，结合古典概率公式可求．
【解答】解：抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，
则（x，y）的所有可能情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36种情况，
由2x+y≥16可得x+y≥4，则有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共33种情况，
故概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
15．（5分）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组（x，y，z）为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，1，1），则向量在基底下的坐标为 （2，0，2） ．
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可．
【解答】解：是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，
∵向量在基底下的坐标为（1，1，1），
∴，
∴向量在基底下的坐标为（2，0，2）．
故答案为：（2，0，2）．
【点评】本题考查基底的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）过点P（﹣5，0）作直线（1+2m）x﹣（m+1）y﹣4m﹣3＝0（m∈R）的垂线，垂足为M，已知点N（3，11），则|MN|的最大值为 ．
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点Q（1，﹣2），可知M点轨迹为圆，并求得圆的方程；根据圆上点到直线距离最大值的求法可求得结果．
【解答】解：直线方程可化为：（2x﹣y﹣4）m+（x﹣y﹣3）＝0，
由得：，∴直线恒过定点Q（1，﹣2），
∵PM与直线垂直，垂足为M，∴M点轨迹是以PQ为直径的圆，
则圆心C（﹣2，﹣1），半径，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点的求解，还考查了圆性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，D（﹣3，1），A（﹣1，0），点E是线段BC的中点．
（1）求直线AE的方程；
（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．
【分析】（1）根据题意可设C（﹣1，t），利用|AD|＝|CD|，求出B，C的坐标，利用中点坐标公式求出E的坐标，进而可求AE的方程；
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为﹣1求出直线DE斜率，进而可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，∴AC⊥x轴，∴可设C（﹣1，t），
∵|AD|＝|CD|，∴，
解得：t＝0（舍）或t＝2，∴C（﹣1，2）．
∴A，C中点坐标为（﹣1，1），∴B点坐标为（1，1），
由中点坐标公式得，∴，
∴直线AE的方程为，即3x﹣2y+3＝0．
（2）可求，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：﹣6，
∴所求直线方程为：y＝﹣6x﹣6，即6x+y+6＝0．
【点评】本题考查直线方程的性质，属于中档题．
18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x，y，z的值．
（2）求MN的长．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出，即得解．
（2）化简即得解．
【解答】解：（1），
所以．
（2）因为，
所以，
所以，
所以MN的长为．
【点评】本题考查利用空间向量的线性运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19．（12分）第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
【分析】（1）由表可得，超过50岁的5G手机用户有25+6+12+16+8+8＝75人，再结合概率公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
（3）根据已知条件，结合分层抽样的方法，以及列举法，即可求解．
【解答】解：（1）超过50岁的5G手机用户有25+6+12+16+8+8＝75人，
则所求概率．
（2）由题意，样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分为．
（3）由题意，用分层抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为a，b；女用户有3人，分别记为1，2，3．
从这5人中不放回地依次随机挑选2人，
样本空间Ω＝{（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（b，a），（b，1），（b，2），（b，3），（1，a），（1，b），（1，2），（1，3），（2，a），（2，b），（2，1），（2，3），（3，a），（3，b），（3，1），（3，2）}，n（Ω）＝20，
设事件A＝“第2次才挑选到了女用户”，则A＝{（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}，n（A）＝6，
故第2次才挑选到了女用户的概率为．
【点评】本题主要考查了列举法，以及平均数公式，属于基础题．
20．（12分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x+y﹣6＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）根据点关于直线对称的特征列方程可得N，利用直线的两点式方程即可得出结果．
【解答】解：（1）由A（4，0），B（0，4），得直线AB的斜率为，线段中点D（2，2）
所以kCD＝1，直线CD的方程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x，
联立，解得，即C（3，3），
所以半径，
所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；
（2）由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C（3，3），
设点M关于直线y＝﹣x的对称点N（x，y），
则直线MN与直线y＝﹣x垂直，且线段MN的中点在y＝﹣x上，
则有，解得，所以N（﹣1，﹣4），
所以直线CN即为直线l1，且，
直线l1方程为，即7x﹣4y﹣9＝0．
【点评】本题考查圆的方程与直线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，BC＝CD＝1，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求点A到直线CE的距离；
（3）求直线CE与平面PAB间的距离．
【分析】（1）转化为平面OCE∥平面PAB问题，利用三角形中位线和平行四边形性质可证．
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到直线的距离公式和点到平面距离即可．
【解答】解：（1）证明：记AD的中点为O，连接OE，OC，
因为BC∥AD，CD⊥AD，
所以底面ABCD为直角梯形，
又底面ABCD的面积为，BC＝CD＝1，
所以，得AD＝2，
所以AO＝1，
所以AO＝BC，
所以ABCO为平行四边形，
所以AB∥OC，
因为OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以OE∥平面PAB，
因为O，E分别为AD，PD的中点，
所以OE∥AP，
同理OC∥平面PAB，
又OE∩OC＝O，OE，OC⊂平面OCE，
所以平面OCE∥平面PAB，
又CE⊂平面OCE，所以CE∥平面PAB．
（2）因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AD＝2，
所以，PO⊥AD，
由（1）可知，OB∥CD，CD⊥AD，
所以BO⊥AD
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥OB，故OB，OD，OP两两垂直，
以OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，
得，
设与的夹角为θ，
所以cs＜，＞＝csθ＝＝＝，0≤θ≤π，
所以sin＜，＞＝sinθ＝＝，
所以点A到直线CE的距离．
（3）由（2）可得，
设为平面PAB的法向量，
则，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，
所以，
所以点C到平面PAB的距离为，
由（1）知，CE∥平面PAB，
所以直线CE与平面PAB间的距离即为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，空间中的距离，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22．（12分）如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具），其中AD＝A1D1＝B1C1＝M2D1＝2，B1M1＝4，将AD与A1D1、BC与B1C1分别重合，并将两个三角板翻起，使点M1与点M2重合于点M，得到一几何体如图2．
（1）证明：AD⊥MC；
（2）求平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值；
（3）在正方形ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点N，使得直线MC与直线DN所成角为？试说明你的理由．
【分析】（1）通过证明AD⊥平面MCD即可证明．
（2）作正方体如下，过点M作MH⊥DC，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值．
（3）可设N（m，s，0），再建立关于m，s的方程组，解方程组即得解．
【解答】解：（1）证明：由题意可得AD⊥MD，AD⊥DC，且MD∩DC＝D，MD，DC⊂平面MCD，
所以AD⊥平面MCD，
而MC⊂平面MCD，
所以AD⊥MC．
（2）由（1）知AD⊥平面MCD，可作正方体如下，过点M作MH⊥DC，
如下图，
以点D为原点建立空间直角坐标系，显然，点M在坐标平面yz内，
由题得，
，
所以，
所以，
所以，
由题得，
所以，，
设平面MAD的法向量为，
则，
令z1＝1，则y1＝，x1＝0，
所以．
设平面MBC的法向量为，
则，
令y2＝1，则z2＝，x2＝0，
所以，
所以平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值为＝＝＝．
（3）存在．如上图可知：C（0，2，0），
所以，
因为点N在坐标平面xOy内，可设N（m，s，0），
则，
由题意知，
所以，
又在坐标平面xOy内，以点D为圆心，半径为2的一段圆弧的方程是x2+y2＝4，
因为点N在圆弧上，
所以有m2+s2＝4，结合，可得，
所以点N的坐标是（，，0），
所以存在符合题意的点N．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，异面直线所成角，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/31 9:10:58；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942满意程度
25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
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男
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