第十一章 磁场 专题强化练二十二　带电粒子在立体空间中的运动

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A．电场力的瞬时功率为qEeq \r(v12＋v22)
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
2.如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10 m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球．若磁感应强度大小B＝eq \f(πm,q)，g取10 m/s2.求：
(1)小球离开磁场时的速度大小；
(2)小球离开磁场时的位置与抛出点的距离．
3.某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d＝4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场强度等大．现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)离子到达B点时速度的大小；
(3)Ⅱ区中磁感应强度的大小；
(4)Ⅱ区的长度L应为多大．
4.(2023·江苏省南京航空航天大学附属中学高三开学考试)在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序．如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆(硅片)．速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外．磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L.当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点(即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外)．整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小．当α很小时，有sin α≈tan α≈α，cs α≈1－eq \f(1,2)α2.求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示．
专题强化练二十二 带电粒子在立体空间中的运动
1．D
2．(1)10eq \r(2) m/s (2)eq \f(5,π)eq \r(π2＋16) m
解析 (1)小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)＝1 s，则离开磁场时在竖直方向上的速度vy＝gt＝10 m/s，故小球离开磁场时的速度大小为v＝eq \r(v02＋vy2)＝10eq \r(2) m/s.
(2)小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为y＝eq \f(1,2)gt2＝5 m，小球在水平方向做匀速圆周运动有qv0B＝eq \f(mv02,R)，解得R＝eq \f(mv0,qB)，水平方向位移为直径，即x＝2R＝eq \f(2mv0,qB)＝eq \f(20,π) m，则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \f(5,π)eq \r(π2＋16) m.
3．(1)eq \f(3mv02,16Rq) (2)eq \f(5,4)v0 (3)eq \f(2mv0,qR)
(4)nπR＋eq \f(3n2π2,32)R(n＝1,2,3，…)
解析 (1)离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛运动的规律有4R＝v0t，eq \f(3R,2)＝eq \f(1,2)at2，根据牛顿第二定律有a＝eq \f(Eq,m)，解得电场强度的大小为
E＝eq \f(3mv02,16Rq).
(2)类平抛过程由动能定理有eq \f(3EqR,2)＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，解得离子到达B点时速度的大小为v＝eq \f(5,4)v0.
(3)离子在Ⅱ区内做复杂的旋进运动．将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示．设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有(R－r)2＝r2＋eq \f(R2,4)，解得离子的轨迹半径为 r＝eq \f(3,8)R，离子沿y轴正方向的速度为 vy＝eq \r(v2－v02)＝eq \f(3,4)v0，则根据洛伦兹力提供向心力有 qvyB＝eq \f(mvy2,r)
解得Ⅱ区中磁感应强度大小为B＝eq \f(2mv0,qR).
(4)离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为 T＝eq \f(2πr,vy)，由题意知离子在Ⅱ区运动的时间为T的整数倍，离子在z轴正方向上做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得L＝v0nT＋eq \f(1,2)a(nT)2(n＝1,2,3，…)，联立解得 Ⅱ 区的长度为L＝nπR＋eq \f(3n2π2,32)R(n＝1,2,3，…)．
4．(1)eq \f(E,B) eq \f(2E,R1＋R2B2)
(2)(eq \f(3L2,R1＋R2)，0) (3)(0，eq \f(3L2,R1＋R2))
解析 (1)离子通过速度选择器时有qE＝qvB，故离子的速度v＝eq \f(E,B)
由题图知从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为R＝eq \f(R1＋R2,2)
离子在磁分析器中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由eq \f(mv2,R)＝qvB得eq \f(q,m)＝eq \f(v,RB)＝eq \f(2E,R1＋R2B2)
(2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离x1＝eq \f(1,2)×eq \f(qE,m)(eq \f(L,v))2
设离子出偏转电场时与竖直方向的夹角为θ，根据运动的合成与分解可得：
tan θ＝eq \f(at,v)＝eq \f(qEL,mv2)
离开电场后，离子在x方向偏移的距离x2＝Ltan θ＝eq \f(qEL2,mv2)
则离子沿x轴的偏转位移为
x＝x1＋x2＝eq \f(3qEL2,2mv2)＝eq \f(3L2,R1＋R2)
位置坐标为(eq \f(3L2,R1＋R2)，0)
(3)偏转系统仅加磁场时，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝eq \f(mv2,r)，离子进入磁场后做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)
离开磁场时速度方向偏转角为α，如图所示
则sin α＝eq \f(L,r)
经过磁场后，离子在y方向偏转距离y1＝r(1－cs α)≈eq \f(L2,R1＋R2)
离开磁场后，离子在y方向偏移距离y2＝Ltan α≈eq \f(2L2,R1＋R2)
则y＝y1＋y2＝eq \f(3L2,R1＋R2)
位置坐标为(0，eq \f(3L2,R1＋R2))