湖南省长沙市雅境中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

雅境中学2023年下学期八年级国庆作业数学情况摸底

姓名：________     得分：________

时量：120分钟  满分：120分  命题人：严平、刘琳、邓尔晟  审题人：李欣然、马阳春

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（    ）

A．雅     B．境     C．中     D．学

2．2018年我国大学生毕业人数将达到8200000人，这个数据用科学记数法表示为（    ）

A．     B．     C．     D．

3．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（    ）

A．     B．     C．     D．

5．如图，，要使，只要（    ）

A．     B．     C．     D．

6．下列说法错误的是（    ）

A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等     B．轴对称图形至少有一条对称轴

C．全等三角形一定能关于某条直线对称     D．角是轴对称的图形
7．如图，，则的度数为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．如图，中，，边的垂直平分线交于点，则的周长是（    ）

A．8     B．9     C．10     D．11

9．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则（    ）．

A．90     B．135     C．180     D．270

10．在中，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）

A．8     B．     C．     D．10

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是，则的值为__________．

12．若一个正数的平方根是和，则__________．

13．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，分别在的位置上，与的交点为，若，则__________．

14．如图，内一点分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是__________．

15．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是__________．

16．如图，，则下列结论正确的是：__________．（填序号）

①平分；②；③；④．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

19．（6分）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级；；；，并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：__________，__________；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为__________度；

（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．

20．（8分）如图，，垂足分别为．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

21．（8分）如图，在中，平分平分于点．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的面积．

22．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个奖品共需130元；购买5个奖品和4个奖品共需230元．

（1）求两种奖品的单价；

（2）学校准备购买两种奖品共40个，且奖品的数量不少于奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．

23．（9分）小雅同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；

（2）求两堵木墙之间的距离．

24．（10分）对于平面直角坐标系中任一点，规定以下三种“雅境变换”：

①．如：；

②．如：；

③．如：；

例如：．

请回答下列问题：

（1）利用“雅境变换”化简：__________；__________；__________；

（2）通过以上“雅境变换”得到的坐标叫做“YJ”坐标，规定“YJ”坐标可以进行如下运算：

当时，且．

①“YJ”坐标中横坐标为整数，满足：

（常数t为正整数），求存在的点P的坐标．

②“YJ”坐标在第四象限，满足：

，当为正整数时，求点Q的坐标．

25．（10分）如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．

（1）如图1，点在边上，若，求的长．

（2）若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：．

（3）若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于．

①求证：；

②若，求的面积．

       图1                      图2            图3

雅境中学八年级国庆作业数学情况摸底

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．  12．1  13．  14．  15．  16．①②④

【选填选讲】

6．【解答】解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确；

B、轴对称图形至少有一条对称轴，正确；

C、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误；

D、角是轴对称的图形，正确．

故选：C．
10．【解答】解：，

，

由尺规作图可知，平分又，，

，又，，

∴的周长，

故选：D．

15．【解答】解：由作图痕迹得点在的平分线上，

点到轴和轴的距离相等，

，，

即．

故答案为：．

16．【解答】解：延长，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则，过点作，交的延长线于点，

，

，

，，，

，，

，

，，，

平分，故①正确；

，，

，

故②正确；

，

，

，

，

，

，，

故③错误；

，，

故④正确；

故答案为：①②④．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）【解答】解：

．

18．【解答】解：

当时，

原式．

19．（6分）【解答】解：（1），

，

；

故答案为：150，36；

（2）等级学生有：（人），

补全的频数分布直方图，如图所示：

（3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为；

故答案为：144；

（4）（人），

答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．

20．（8分）【解答】（1）证明：，

，

在和中，

；

（2）解：，，

又，．

21．（8分）【解答】解：（1）平分，

，，

，

平分，，

，，

在中，；

（2）过点作于点，

平分，，

，，

，．

22．（9分）【解答】解：（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，

依题意，得：，

解得：．

答：种奖品的单价为30元，种奖品的单价为20元．

（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，

依题意，得：，

解得：．

为整数，，

．

学校有三种购买方案，方案一：购买种奖品10个，种奖品30个；方案二：购买种奖品11个，种奖品29个；方案三：购买种奖品12个，种奖品28个．

23．（9分）【解答】（1）证明：由题意得：，

，

，

，

在和中，

；

（2）解：由题意得：，

，

，

，

答：两堵木墙之间的距离为．

24．（10分）【解答】解：

（1）

，

（2）①

是整数，为正整数

或2

解得或

或

②，

，

，

，

时，且，

，

坐标在第四象限，

，

，

，

是正整数，

．

25．（10分）【解答】证明：（1）

，

在和中

（2），

即

在和中

过点作

（全等三角形对应边上的高相等）

是的平分线

（“8”字型）

故

（3）①延长至使，连接。

由“”可证

又，

在和中

（周角等于）

即

②由①知：

故

      第（2）问                        第（3）问