第三章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]（教师版+学生课时教案+课时作业+配套PPT）

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函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
命题点1　利用f(x)与x构造
例1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>b
因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ .
跟踪训练1　(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是A.(－∞，1) B.(－1,1)C.(－∞，0)∪(0,1) D.(－1,0)∪(0,1)
又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，即当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以x∈(－1,0)∪(0,1).
命题点2　利用f(x)与ex构造例2　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C. D.(－∞，1)
因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，
所以F(x)>F(0)，解得x<0.
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ .
跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
命题点3　利用f(x)与sin x，cs x构造
即g(x)也是偶函数.
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
设φ(x)＝f(x)·sin x，则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x，∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
例4　(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a由指数和对数的运算性质可得2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b.令f(x)＝2x＋lg2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋lg2b<22b＋lg2b＋1＝22b＋lg22b，∴2a＋lg2a<22b＋lg22b，即f(a)(2)(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为_____.
∵xa＝ ＝ealn x，∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x，∵a>0且x>1，∴aln x>0，设y＝ex－x，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数.
跟踪训练4　(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cs α，则A.sin α>sin β B.cs α>cs βC.cs αcs β
∴cs βcs α.
(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae　　　B.b>ea　　　C.ab由已知aea0，则bln b>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以eaA.a则有f(3)2.若2x－2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.
3.(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－∞，－1)∪(0,1)
令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
4.(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，则下列说法正确的是
由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sin x，则g(x)为偶函数， 又x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cs x>0，即[f(x)sin x]′>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
令函数g(x)＝ln x·f(x)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
由题意可知，m>0，n>0，则ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，构造函数f(x)＝2x2－x＋ln x，其中x>0，
故A对，B错，无法判断C，D选项的正误.
7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)f(1)，f(2)>ef(1)B.ef(2)>f(1)，f(2)ef(1)D.ef(2)由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)所以g(x)在R上单调递增，
即f(2)>ef(1)，故D错误.
由题意得lg2m＋2m＝2n＋1＋n，lg2m＋2m＝2×2n＋n＝lg22n＋2×2n，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，
9.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是___________.
根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以02，所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).
10.(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为_______.
由题意，得eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，则f′(t)＝(t＋1)·et>0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(λx)≥f(ln x)，即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，