2024年数学高考大一轮复习第八章 培优课 §8.9　 空间动态问题突破

§8.9　空间动态问题突破

空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等．

题型一　空间位置关系的判定

例1 (1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是(　　)

A．AB⊥PQ

B．平面BPQ∥平面ADD1A1

C．四面体ABPQ的体积为定值

D．AP∥平面CDD1C1

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(2)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是(　　)

①直线MN∥平面A′BC；

②当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB；

③在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC；

④当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.

A．①②  B．①③  C．②③  D．③④

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思维升华 解决空间位置关系的动点问题

(1)应用“位置关系定理”转化．

(2)建立“坐标系”计算．

跟踪训练1 (2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是(　　)

A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关

B．A1P与平面ACD1相交

C．平面PDB1⊥平面A1BC1

D．AP⊥D1C

题型二　轨迹问题

例2 (1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是(　　)

A．圆的一部分   B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分   D．椭圆的一部分

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(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．

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思维升华 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定．

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．

跟踪训练2 (1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　)

A．圆   B．椭圆

C．双曲线的一部分   D．抛物线的一部分

(2)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f() ＝________.

题型三　最值、范围问题

例3 (1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　)

A.  B.  C．1  D.

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(2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．

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思维升华 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．

跟踪训练3 (1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________．