2024年数学高考大一轮复习第六章 §6.6　数列求和(二)（附答单独案解析）

§6.6　数列求和(二)

考试要求　掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法．

知识梳理

1．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

2．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

常用结论

常见的裂项技巧

(1)＝－.

(2)＝.

(3)＝.

(4)＝－.

(5)

＝.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当n≥2时，＝.(　　)

(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得．(　　)

(3)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数). (　　)

(4)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝. (　　)

教材改编题

1．数列{an}的前n项和为Sn.若an＝，则S5等于(　　)

A．1  B.  C.  D.

2．Sn＝＋＋＋…＋等于(　　)

A.   B.

C.   D.

3．已知数列{an}满足：an>0，a1＝2，且 an＋1＝2an，令bn＝(n＋2)an，设数列{bn}的前n项和为Sn，则S7＝________.

题型一　错位相减法求和

例1 (12分)(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．

(1)求{an}和{bn}的通项公式； [切入点：设基本量q]

(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. [关键点：bn＝n·n]

思维升华 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．

(2)错位相减法求和时，应注意：

①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两

式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．

②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.

跟踪训练1 (2023·喀什模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，a＝3a＋2anan＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若an，，nan成等差数列，求数列{bn}的前n项和Sn.

题型二　裂项相消法求和

例2 (2022·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：＋＋…＋<2.

思维升华 裂项相消法的原则及规律

(1)裂项原则

一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律

消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．

跟踪训练2 (2023·长春模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1，b4＋b6＝18.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an＋，求数列{cn}的前n项和Tn.