（数学理科）高考数学复习大卷答案

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第三部分　仿真模拟冲刺卷
仿真模拟冲刺卷（一）
1．答案：C
解析：由题意，全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，故∁UB＝{0，2，4，6}，则A∩（∁UB）＝{2，4}．故选C.
2．答案：C
解析：z＝＋3＝＋3＝5＋i，则＝5－i.故选C.
3．答案：C
解析：3744（8）＝4×80＋4×81＋7×82＋3×83＝2020.故选C.
4．答案：A
解析：将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了

＝≈≈10%，故选A.

5．答案：C
解析：如图，由题意可得抛物线的准线m的方程为x＝－，
过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于D，过A，B分别作AA′⊥m于点A′，BB′⊥m于点B′，则|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝2，
因为弦AB的中点为G，
所以|GD|＝（|AA′|＋|BB′|）＝|AB|＝1，
所以点G的横坐标是1－＝，故选C.
6．答案：B

解析：根据三视图知，该几何体是棱长为2的正方体截去四个角得出的正四面体ABCD，它的体积等于正方体的体积减去正方体四个角处三棱锥的体积．记每一个角处三棱锥的体积为V1，则V＝V正方体－4V1＝8－4××2×2×2×＝，故选B.
7．答案：D
解析：由杨辉三角知（1－x）4＝1－4x＋6x2－4x3＋x4，（x－）（1－x）4＝（x－）（1－4x＋6x2－4x3＋x4）的展开式的x2项有x·（－4x）＋（－）·（－4x3）＝4x2，所以展开式中含x2项的系数为4.故选D.
8．答案：A
解析：设AB＝2AD＝2a（a>0），则·＝2a×a×cos 60°＝a2，由条件可得＝＋，＝－＝λ－，由AE⊥DF可得·＝0，即·（λ－）＝0，即·＋·2－2＝a2＋2λa2－a2＝a2＝0.故λ＝.故选A.
9．答案：C
解析：f（x）＝sin 2x＋－＝sin 2x－cos 2x＝sin ，∵x∈，∴2x－∈，∴sin ∈，∴f（x）的值域为.故选C.
10．答案：A
解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k（x＋y）－2y－2＝0，求得定点P（1，－1），又P（1，－1）在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m.∴mn＝（2－m）m＝－（m－1）2＋1，∴mn的取值范围是（－∞，1].故选A.
11．答案：D
解析：由题设有f（x）＝＋sin ωx－＝sin ，令f（x）＝0，则有ωx－＝kπ，k∈Z即x＝，k∈Z.因为f（x）在区间（π，2π）内没有零点，故存在整数k，使得≤π<2π<，即，因为ω>0，所以k≥－1且k＋≤＋，故k＝－1或k＝0，所以0<ω≤或≤ω≤，故选D.

12．答案：A
解析：因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体，所以其体积为××1×1××＝.设正四面体ABCD内切球的半径为r，则4×××1×1××r＝，得r＝.如图，取AD的中点为E，则·＝（＋）·（＋）＝2＋·（＋）＋·＝2－.显然，当PE的长度最小时，·取得最小值．设正四面体内切球的球心为O，可求得OA＝OD＝.因为球心O到点E的距离d＝＝＝，所以球O上的点P到点E的最小距离为d－r＝－＝，
即当·取得最小值时，点P到AD的距离为.故选A.
13．答案：
解析：在△ACD中，由余弦定理可得：cos ∠ADC＝＝＝，
所以sin ∠ADC＝，
所以△ACD的面积为：AD·CD sin ∠ADC＝××3×＝，
因为CD＝3AB.
所以△ABC的面积为×＝.
14．答案：54
解析：因为f（x＋2）＝3f（x），
所以f（7）＝3f（5）＝32f（3）＝33f（1）＝54.
15．答案：
解析：对任意的x1、x2∈（m，＋∞），且x1 则x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，所以，x1（ln x2＋2），
令f（x）＝，则f（x2）x1>m，则函数f（x）在（m，＋∞）上为减函数，
因为f′（x）＝－，由f′（x）<0，可得x>，
所以函数f（x）的单调递减区间为，
所以，（m，＋∞）⊆，所以，m≥，因此，实数m的最小值为.
16．答案：3
解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），A（－1，0），
由＝2，可得xQ＋1＝2（1－xQ），解得xQ＝，可得Q（，），
由－yB＝2（0－），解得yB＝2，
直线AQ的方程为：y＝（x＋1），与抛物线y2＝4x联立，可得x2－x＋＝0，
由xPxQ＝1，得xP＝3，则P（3，2），所以PB⊥AB，
由抛物线定义得PB＝PF，且PB∥AF，所以＝＝2，
所以＋＝2＋1＝3.
17．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由S4＝4S2可得4a1＋6d＝4（2a1＋d），即6d＋4＝4（d＋2），解得d＝2，
所以，an＝a1＋（n－1）d＝1＋2（n－1）＝2n－1，
又3b2＝3q＝a5＝9，∴q＝3，则bn＝b1qn－1＝3n－1；
（2）anbn＝（2n－1）·3n－1，
则Tn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋（2n－1）·3n－1　①，
可得3Tn＝1·31＋3·32＋…＋（2n－3）·3n－1＋（2n－1）·3n　②，
①－②得：－2Tn＝1＋2（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）·3n＝1＋－（2n－1）·3n＝（2－2n）·3n－2，
因此，Tn＝（n－1）·3n＋1.
18．解析：（1）由题意得z＝ln y＝ln ebx＋a＝bx＋a，
∴＝＝＝0.5，
∴＝－＝3.5－0.5×4＝1.5，
∴z关于x的线性回归方程为＝0.5x＋1.5，
∴y关于x的回归方程为＝e0.5x＋1.5，当x＝8时，＝e5.5≈244.69，
∴第8天使用扫码支付的人次为2 447.
（2）由题意得ξ的所有可能取值为0.5，0.7，0.9，1，
P（ξ＝0.5）＝×30%＝0.10，P（ξ＝0.7）＝60%＋×30%＝0.75，
P（ξ＝0.9）＝×30%＝0.05，P（ξ＝1）＝10%＝0.10，
∴ξ的分布列为

ξ
0.5
0.7
0.9
1
P
0.10
0.75
0.05
0.10
∴E（ξ）＝0.5×0.10＋0.7×0.75＋0.9×0.05＋1×0.10＝0.72.
19．解析：（1）

证明：连接PD且交CE于点T，连接FT.
由题意可知，PD，CE为中线，
所以T为重心，＝＝，
所以FT∥BD，又FT⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，
所以BD∥平面CEF.
（2）因为PA⊥AC，AC＝1，PC＝，所以PA＝2.
又因为AB＝AC，PB＝PC，所以PA2＋AB2＝PB2，即PA⊥AB.
所以AB，AC，AP两两垂直．
故以A为原点，，，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

由图可知，E（0，0，1），C（0，1，0），F（，0，），B（1，0，0），
所以＝（0，1，－1），＝，
＝，
设平面CEF的法向量为n1＝（x，y，z），
则有即可令x＝1，y＝z＝2，
所以n1＝（1，2，2），
设平面CFB的法向量为n2＝（x1，y1，z1），
则有即，可令x1＝y1＝2，z1＝1，
所以n2＝（2，2，1），
因为＝＝＝，
所以sin 〈n1，n2〉＝ ＝，
即二面角E ­ CF ­ B的正弦值为.
20．解析：（1）由题得△ABF的面积S＝（a＋c）·b＝·＝＋1，解得a＝2，
即椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）已知点A（－2，0），设直线PQ的方程为x＝ty＋，点P（x1，y1），Q（x2，y2）.
直线AP的方程为y＝（x＋2），直线AQ的方程为y＝（x＋2），
将x＝2代入直线AP、AQ的方程，
可得M，N.
设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则·＝0，
即·＝（2－m）2＋
＝（2－m）2＋·－n＋n2
＝（2－m）2＋·－n＋n2
＝（2－m）2＋＋n2
＝（2－m）2＋＋n2
联立椭圆＋＝1和直线PQ的方程为x＝ty＋，
可得（ty＋）2＋2y2－4＝0，
化简得（t2＋2）y2＋2ty－2＝0，即y1＋y2＝，y1y2＝.
代入上式化简得＝（2－m）2＋＋n2
＝（2－m）2－2＋nt＋n2＝0，由此可知，若上式与t无关，
则n＝0，又·＝0，（2－m）2－2＝0，m＝2±，
因此MN为直径的圆恒过定点（，0）和（3，0）.
21．解析：（1）h（x）＝a ln x－x2，所以h′（x）＝－x＝（x>0），
因为a>0，所以00，x>时，h′（x）<0，
所以f（x）的增区间为，减区间为.
（2）当a＝1，f（x）＝ln x.
由m[g（x1）－g（x2）]>x1f（x1）－x2f（x2）恒成立，即mg（x1）－x1f（x1）>mg（x2）－x2f（x2）恒成立，
设t（x）＝mg（x）－xf（x）＝x2－x ln x（x>0）.
由题意知x1>x2>0，故当x∈（0，＋∞）时函数t（x）单调递增，
所以t′（x）＝mx－ln x－1≥0恒成立，即m≥恒成立，
因此，记y＝，得y′＝，
∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
∴函数h（x）在x＝1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max＝h（1）＝1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m＝1.
（3）不等式f（x）＋2g′（x）<（a＋3）x－g（x）在x∈[1，e]上有解．
即为a ln x＋2x≤（a＋3）x－x2，化简得：a（x－ln x）≥x2－x，在x∈[1，e]上有解．
由x∈[1，e]知x－ln x>0，因而a≥，设y＝，
由y′＝＝，
∵当x∈（1，e）时x－1>0，x＋1－ln x>0，∴y′>0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin＝－，即实数a的取值范围是.
22．解析：（1）由可得sin 3θ＝，所以3θ＝2kπ＋或3θ＝2kπ＋（k∈Z），
所以θ＝＋或θ＝＋（k∈Z）.
因为θ∈[0，π），所以θ＝，，，，
所以交点的极坐标为，，，.
（2）由（1）可得圆M的极坐标方程为ρ＝，转化为直角坐标方程为x2＋y2＝.
直线l：ρcos ＝的直角坐标方程为x－y＝2，
所以点P到直线l的距离的最大值为＋＝.
23．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝|x－2|－|x＋2|；
当x≤－2时，f（x）＝2－x＋x＋2＝4>1，解集为∅；
当－2－，∴－ 当x≥2时，f（x）＝x－2－x－2＝－4<1恒成立，∴x≥2；
综上所述：f（x）<1的解集为；
（2）当x∈（0，2）时，f（x）＋x＝2－x－|ax＋2|＋x＝2－|ax＋2|，
则f（x）＋x>0恒成立等价于|ax＋2|<2恒成立，
∴－2 当x∈（0，2）时，－<－2，∴－2≤a<0，即实数a的取值范围为[－2，0）.
仿真模拟冲刺卷（二）
1．答案：D
解析：由＝i得z－i＝（z＋1）i，整理得z·（1－i）＝2i，所以z＝＝＝＝－1＋i.故选D.
2．答案：C
解析：∵A＝＝{x|x≥0}，B＝＝{y|y>0}，
∴A∩B＝（0，＋∞）.故选C.
3．答案：A
解析：命题p：当x＝时，2sin ＋cos ＝2>，故命题p为假命题；
命题q：若a>b>0，则0<<，又c<0，所以>，故命题q为真命题．
故p∨q，¬p∧q为真命题．¬p∧¬q，p∧¬q，为假命题．故选A.
4．答案：D
解析：当x<0时，－x>0，
则f（－x）＝（－x）2＋（－x）ln （－x）＝x2－x ln （－x），
此时g（x）＝－f（－x）＝－x2＋x ln （－x），
则g′（x）＝－2x＋ln （－x）＋1，则g（－1）＝－1，g′（－1）＝3，
所求切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.故选D.

5．答案：B
解析：∵D1E＝＝17，AF＝＝2≠D1E，
如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，
故AMFD1共面，点E在面AMFD1外，
故直线D1E经过面AMFD1内一点和平面外一点，
故直线D1E和平面内直线AF异面．故选B.
6．答案：C
解析：从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有CC＝90种选法．
语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有CC＝30，
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90－30＝60，故选C.
7．答案：D
解析：由图可知，＝－＝，所以T＝π，即＝π，所以ω＝2.
所以f（x）＝2sin （2x＋φ），又2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，
所以φ＝，所以f（x）＝2sin ，
y＝2cos 2x＝2sin ，
将其图象向左平移个单位长度即可得到y＝f（x）的图象．故选D.
8．答案：B
解析：因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P＝＝，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－＝.故选B.
9．答案：B
解析：设AC＝x，则BC＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos ∠BAC，
即（x－40）2＝x2＋1002－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝15°＋30°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，
由正弦定理得：
＝，即＝，解得CH＝140.故选B.
10．答案：B
解析：因为f（1）＝e－4<0，f＝e＋ln －4＝＋ln －4>＋ln －4>0，
所以b∈，因为＝log2b.g′（x）＝3x2－x－1，
令g′（x）＝0，得x＝.
因为g（x）在，上单调递增，在上单调递减，
所以c＝，又因为<1，所以cb>c.故选B.
11．答案：D
解析：由题意可知e＝＝，又a2＝b2＋c2，故b2＝a2，
设过点P的直线斜率为k，则直线方程为：y＋2＝k（x－2），即y＝kx－2k－2.
则被y轴反射后的切线方程为：y＝－kx－2k－2.
由得（3＋4k2）x2＋16k（k＋1）x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
∴Δ＝[16k（k＋1）]2－4（3＋4k2）（16k2＋32k＋16－3a2）＝0，
化简得：4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，即，解得，故选D.
12．答案：C
解析：由x－4ex－a ln x≥x＋1得，
a ln x≤x－4ex－x－1对∀x∈（1，＋∞）恒成立，
即a≤对∀x∈（1，＋∞）恒成立，从而求y＝，x∈（1，＋∞）的最小值，
设g（x）＝ex－x－1，则g′（x）＝ex－1，令g′（x）＝0得x＝0，
所以x∈（－∞，0），g′（x）<0，x∈（0，＋∞），g′（x）>0，
所以g（x）min＝g（0）＝0，即ex≥x＋1恒成立，
所以x－4ex＝eln x－4ex＝ex－4ln x≥x－4ln x＋1，
故x－4ex－x－1≥x－4ln x＋1－x－1＝－4ln x，
即≥＝－4，
当x－4ln x＝0时，等号成立，方程x－4ln x＝0在（1，＋∞）内有根，
故min＝－4，所以a≤－4.故选C.
13．答案：
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线C的方程为－＝1（a>0，b>0），则其渐近线方程为y＝±x，所以＝2，
所以e＝＝＝＝.
14．答案：
解析：由|2a＋3b|＝|2a－3b|，平方得到a·b＝0，所以a，b夹角为.
15．答案：
解析：因为a cos B－b cos A＝c，
所以由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝（sin A cos B＋sin B cos A），则sin A cos B＝－4sin B cos A，
因为A为钝角，sin B≠0，
所以cos A<0，cos B≠0，则·＝－4，
所以＝－4，
因为tan B＝tan [π－（A＋C）]＝－tan （A＋C），
所以tan A＝4tan （A＋C），即＝，
所以tan C＝－＝－＝，
因为tan A<0，
所以－tan A＋≥4，即tan C＝≤，当且仅当tan A＝－2时取等号．

16．答案：
解析：∵r2＋（R－h）2＝R2，又S＝2πRh，
∴r2＝R2－＝－＝.
∵2πr＝C，∴r＝，∴＝，即R2C2＝4πR2S－S2，
∴R2＝，∴＝＝＝＝.
17．解析：（1）由题意，2Sn＝a＋an－2（n∈N*），
2Sn－1＝a＋an－1－2（n≥2），
两式相减，化简整理得（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0（n≥2），
由an>0，故an－an－1＝1（n≥2），
又n＝1时，2S1＝a＋a1－2，得a1＝2，
故数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得an＝n＋1，
故bn＝＝＝－，
从而Tn＝＋＋…＋＝－.
18．解析：（1）在图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，
故四边形ABCE为正方形，
所以BE⊥AC，
即在图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC＝O，
所以BE⊥平面A1OC.
又BC∥DE，BC＝DE，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由（1）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1 ­ BE ­ C的平面角，
所以∠A1OC＝.

如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
A1（0，0，），B（，0，0），C（0，，0），D（－2，，0）.
设平面A1BC的一个法向量为n1＝（x，y，z），A1B＝（，0，－），A1C＝（0，，－），
∴，令z＝1，∴x＝1，y＝1，
故平面A1BC的一个法向量为n1＝（1，1，1），
设平面A1CD的一个法向量为n2＝（x1，y1，z1），A1D＝（－2，，－），A1C＝（0，，－），
∴，令z1＝1，∴x1＝0，y1＝1，
平面A1CD的一个法向量为n2＝（0，1，1）.
不妨设二面角B ­ A1C ­ D的平面角为θ，
从而|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，由图得二面角为钝角，
故二面角B ­ A1C ­ D的余弦值为－.
19．解析：（1）①μ＝40×＋50×＋60×＋70×＋80×＋90×＝61；
②σ＝＝14，所以19＝μ－3σ，47＝μ－σ，
所以P（ξ≤19或ξ≥47）＝1－＝1－＝0.842 7；
（2）P（ξ<μ）＝P（ξ≥μ）＝，由题意可知随机变量X的可能取值有30、50、60、80、100，
P（X＝30）＝×＝，P（X＝50）＝×＝，P（X＝60）＝××＝，
P（X＝80）＝×＝，P（X＝100）＝××＝，

X
30
50
60
80
100
P





E（X）＝30×＋50×＋60×＋80×＋100×＝57.
20．解析：（1）圆心为M（－4，0），半径为1，F（，0），所以＋4－1＝4，p＝2，
抛物线方程为y2＝4x；
（2）设直线AB方程为y＝k1（x－1）＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得kx2－（2k－2k1＋4）x＋（k1－1）2＝0，
Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
|TA||TB|＝|x1－1|·|x2－1|＝（1＋k）|x1x2－（x1＋x2）＋1|
＝（1＋k）＝，
设直线PQ方程为y＝k2（x－1）＋1（k2≠k1），同理可得|TP||TQ|＝，
由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，得＝，又k2≠k1，所以k2＝－k1，
所以k1＋k2＝0.
21．解析：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋ln x－a，
由f′（x）<0，得00，得x>ea－1，则f（x）在（0，ea－1）上单调递减，在（ea－1，＋∞）上单调递增，
即x＝ea－1时，f（x）取得最小值，故f（x）min＝f（ea－1）＝1－ea－1.
（2）要证ex（ln x＋）－（ex＋x）＋>0恒成立，即证ex（x ln x＋1）－x（ex＋x）＋4ex－2>0恒成立，
只需证ex（x ln x－x＋1）－x2＋4ex－2>0恒成立，即证x ln x－x＋1>－恒成立，
设g（x）＝x ln x－x＋1，函数g（x）是a＝1时的函数f（x），则由（1）可得g（x）min＝g（1）＝0，
设h（x）＝－（x>0）则h′（x）＝（x>0），
由h′（x）>0，得02，则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，
即x＝2时，h（x）取得最大值，故h（x）max＝h（2）＝0，
因为g（x）与h（x）的最值不同时取得，所以g（x）>h（x），即x ln x－x＋1>－，
故当x>0时，不等式ex（x ln x＋1）－x（ex＋x）＋4ex－2>0恒成立．故对任意的x∈（0，＋∞），ex（ln x＋）－（ex＋x）＋>0恒成立．
22．解析：（1）C1的普通方程为x2＋（y－1）2＝1，它表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，
C2的普通方程为＋y2＝1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
（2）由已知得P（0，2），设Q（2cos φ，sin φ），则M，
直线l：x－2y－4＝0，
点M到直线l的距离d＝＝，
所以d≥＝，即M到l的距离的最小值为.
23．解析：（1）当a＝2时，f（x）>5即2|x－2|＋|x＋2|>5
当，解得x<－2，
当，解得－2≤x<1，
当，解得x>，
故不等式f（x）>5解集为{x|x<1或x>}，即不等式的解集为（－∞，1）∪.
（2）若[3，6]⊆B则原不等式f（x）≤|2x＋1|在[3，6]上恒成立，
即|x＋a|＋2|x－2|≤|2x＋1|，
即|x＋a|≤2x＋1－2（x－2），
即|x＋a|≤5，
∴－5≤x＋a≤5，
即－5－a≤x≤5－a，所以，解得－8≤a≤－1，
故满足条件的a的取值范围是a∈[－8，－1].
仿真模拟冲刺卷（三）
1．答案：B
解析：A＝＝{x|x∈Z|（x－3）（x＋2）≤0且x≠－2}＝{－1，0，1，2，3}，
B＝＝R，
所以A∩B＝{－1，0，1，2，3}．故选B.
2．答案：A
解析：因为1＋i3＝1－i，所以z＝＝＝＝1＋2i.故选A.
3．答案：D
解析：由程序框图，其执行结果如下：
1、S＝0，n＝0：n＝2，S＝2，执行循环体；
2、S＝2，n＝2：n＝4，S＝6，执行循环体；
3、S＝6，n＝4：n＝6，S＝12，执行循环体；
4、S＝12，n＝6：n＝8，S＝20，执行循环体；
5、S＝20，n＝8：n＝10，S＝30，跳出循环体，输出S＝30；
∴框内条件应为n≥10？.故选D.
4．答案：C
解析：根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，
由题意知：右顶点坐标为（，0），一条渐近线方程为y＝x，
∴d＝＝＝，即顶点到渐近线的距离为.故选C.
5．答案：D
解析：由题意P（0 ∴落入阴影部分点的个数的估计值为10 000×0.341 3＝3 413，
∴落入阴影外部（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为10 000－3 413＝6 587.故选D.
6．答案：C
解析：∵a＋a＝a＋a，
∴a－a＋a－a＝0，
∴2d（a7＋a5）＋2d（a8＋a6）＝0，又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，
∴2（a7＋a6）＝0，
∴S12＝＝＝0，故选C.
7．答案：C
解析：因为f（x）＝x sin x定义域为R，
又f（－x）＝－x sin （－x）＝x sin x＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数，故排除AD，
结合选项BC，只需求解函数f（x）与直线y＝x在x>0时交点的横坐标，
令x sin x＝x，x≠0，解得sin x＝1即x＝＋2kπ，
当k＝0时，x＝，
所以函数f（x）与直线y＝x在x>0时的第一个交点的横坐标为，
结合函数图象可知，选项C符合题意，故选C.
8．答案：D
解析：因为f（x）＝－sin x，所以f（π－x）＝－sin （π－x）＝－sin x，所以f（π－x）≠f（x），故函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故①错误；f（π）＝－sin π＝－π，f′（x）＝－cosx，f′（π）＝－cosπ＝0，
切线的斜率为0，即切线与y轴垂直，故②正确；f′（x）＝－cos x＝＝.当x∈，sin x>0，sin 2x＋x>0，所以f′（x）>0，即函数f（x）在区间上单调递增，故③正确；因为f（x）＝－sin x，所以定义域为，f（－x）＝－sin （－x）＝－＋sin x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，取x→＋∞时，因为cos x∈[－1，0）∪（0，1]，sin x∈（－1，1），当x＝2kπ，k∈Z时，cos x＝1，sin x＝0，所以f（x）＝x→＋∞，当x＝π＋2kπ，k∈Z时，cos x＝－1，sin x＝0，所以f（x）＝－x→－∞，故f（x）既无最大值，也无最小值，即④正确；故选D.
9．答案：D
解析：将函数y＝2sin 2x图象向左平移个单位长度得到y＝2sin 2＝2sin 的图象，
再向上平移1个单位长度可得到f（x）＝2sin ＋1的图象，故A错误；T＝＝π，故B错误；
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝π，故C错误；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f（x）在上单调递减，故D正确，故选D.
10．答案：C
解析：由题意，a＝2ln 3－－1，b＝2ln － －1，c＝2ln 4－－1，
构选函数f（x）＝2ln x－－1（x≥3），则
f′（x）＝－＝2·＝2·＝2·≤0，
所以函数f（x）在[3，＋∞）上单调递减，所以f（3）>f>f（4），即a>b>c.故选C.

11．答案：D
解析：①当F为C1B1的中点，将CF平移至EM，则M为A1D1的四等分点，即D1M＝A1D1，过M点作MN⊥AD，设AD＝4，则MN＝4，BN＝5，BD＝4，
所以BE＝6，BM＝，ME＝，
所以在△BEM中，BM2＝BE2＋ME2，故ME⊥BE，
所以CF⊥BE，
所以过CF的平面与直线EB垂直，
②过D1作D1Q∥BE，易知Q为BB1的中点，此时D1Q和D1F相交，所以D1F和BE异面，故②错误；
③当F为B1时，△BEF的主视图和侧视图的面积相等，故③成立；
④因为C1B1∥BC，故C1B1∥平面EBC，故B1C1上任一点到平面EBC距离相等，且△EBC的面积固定，故VE­BFC＝S△BFC×d为定值，故④正确，故选D.
12．答案：A
解析：由题意eλx－≥0得eλx≥，设g（x）＝eλx，h（x）＝，
可得g（x）与h（x）互为反函数，且g（x）与h（x）的图象关于y＝x对称，
所以函数g（x）＝eλx的图象与直线y＝x相切时λ的值是不等式eλx－≥0恒成立时λ的最小值，设函数g（x）＝eλx与直线y＝x相切的切点为（x0，y0），可得，可得eλx0＝x0，同时对g（x）＝eλx求导可得：g′（x）＝λeλx，可得g′（x0）＝λeλx0＝1，
联立可得，解得：λ＝，
则λ的最小值为，故选A.
13．答案：－35
解析：在（1－x）＋（1－x）2＋（1－x）3＋（1－x）4＋（1－x）5＋（1－x）6的展开式中，
x3的系数为－C－C－C－C＝－35.
14．答案：
解析：由a·（a＋b）＝，得a·a＋a·b＝，
所以a·b＝－22＝，
∵b＝（3，－4），∴|b|＝5，
故cos 〈a，b〉＝＝＝.
15．答案：＋1
解析：设|PF1|＝m，∴|QF1|＝m，由椭圆的定义可知：|PF2|＝2a－m，∴|QF2|＝2a－m，
所以|PQ|＝4a－（＋1）m，因为PQ⊥PF1，所以|PF1|2＋|QP|2＝|QF1|2，即m2＋[4a－（＋1）m]2＝（m）2⇒（＋1）m2－4（＋1）ma＋8a2＝0，
解得m＝（4－2）a或m＝2a，
当m＝2a时，|QF2|＝2a－m<0，所以不符合题意，故舍去，
因此m＝（4－2）a，所以|PF2|＝（2－2）a，|QF2|＝（6－4）a，
∵∠PF2F1＋∠QF2F1＝π，∴sin ∠PF2F1＝sin ∠QF2F1，
△PF1F2与△QF1F2的面积之比为：
＝＝＝＝＝＋1.
16．答案：
解析：当l与CD重合时，P′H＝0，由题意得△P′GH为直角三角形，
且斜边PG2＝为定值，所以要求最大值，只需GH最小，GH最小值为，
所以P′Hmax＝＝.
17．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
所以有a2＝a1＋d，a5＝a1＋4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5，即
（a1＋d）2＝a1（a1＋4d）⇒a＋2a1d＋d2＝a＋4a1d⇒d2－2a1d＝0⇒d（d－2a1）＝0，∵d≠0，∴d＝2a1，
又∵S3＝＝＝3（a1＋d）＝9，∴a1＋d＝3，
即3a1＝3⇒a1＝1，d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝1＋2（n－1）＝2n－1；
（2）由题意知bn＝2an＋1＝22n－1＋1＝22n＝4n，b1＝4，＝4，∴{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列．记数列{bn}的前n项和为Mn，则Mn＝＝，
数列{an}的前n项和Sn＝＝＝n2，
Tn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝（b1＋b2＋…＋bn）－（a1＋a2＋…＋an）＝Mn－Sn＝－n2.
18．解析：（1）证明：在直角梯形AEFB中，AE⊥EF，且直角梯形D1EFC1是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，所以D1E⊥EF，
又AE∥BF，所以BF⊥EF，C1F⊥EF，
因为BF∩C1F＝F，所以EF⊥平面BC1F，
因为EF⊂平面C1D1EF，
所以平面C1D1EF⊥平面BC1F，
（2）由（1）可知BF⊥EF，C1F⊥EF，
因为二面角C1­EF­B的大小为，所以∠C1FB＝，过点F作平面AEFB的垂线，

如图，建立空间直角坐标系F­xyz.
设BF＝EF＝2AE＝4，则E（4，0，0），C1（0，2，2），D1（4，1，），B（0，4，0），A（4，2，0）.
所以＝（－4，2，0），C1B＝（0，2，－2），FD1＝（4，1，）.
设平面ABC1的法向量n＝（x，y，z），
则即
令z＝1，则y＝，x＝，于是n＝.
所以直线D1F与平面ABC1所成角的正弦值为＝＝.
19．解析：（1）将“产品通过检验”记为事件A，
则P（A）＝×＋C×××＝＋＝.
即这批产品通过检验的概率为.
（2）由题意，X的可能取值为200，300，400.
P（X＝200）＝＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝400）＝C××＝，则X的分布列如下：
X
200
300
400
P



因此，E（X）＝200×＋300×＋400×＝328.
20．解析：（1）不妨设B在第二象限，则渐近线OP的方程为y＝－bx，
则直线PF的方程为y＝（x＋c），
由得：xp＝－＝－，yp＝，∴P，
∴|OP|＝ ＝＝＝1；
（2）证明：设直线PF的倾斜角为θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝，
又A（1，0），∴直线AP的斜率为＝－，
则直线AP的方程为y＝（x－1），
由得：（c2＋2c）x2＋2x－（c2＋2c＋2）＝0，
∴xB＝xAxB＝－，
yB＝－（xB－1）＝，
又F（－c，0），∴直线BF的斜率为
＝＝＝＝＝tan 2θ，故PF平分∠BFA.
21．解析：（1）依题意，f′（x）＝2me2x－ex＋1，令t＝ex，则由f′（x）＝0可得2mt2－t＋1＝0，则Δ＝1－8m；
当m≥时，Δ≤0，此时f′（x）≥0，
故函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，无极值点，不合题意；
当00，f′（x）＝0，得ex＝，
则令x1＝ln ，x2＝ln ，
则当x∈（－∞，x1）时，f′（x）>0，当x∈（x1，x2），f′（x）<0，
当x∈（x2，＋∞）时，f′（x）>0，此时函数f（x）有2个极值点，符合题意；
综上所述，实数m的取值范围为；
（2）依题意，ex（mex－1）＋x＝a，记g（x）＝ex（mex－1）＋x－a，g′（x）＝f′（x）；
①由（1）可知当m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）在（－∞，＋∞）上单调递增；
可知当x→－∞时，g（x）→－∞，当x→＋∞时，g（x）→＋∞，
故当m≥时，函数g（x）恰有1个零点，此时a∈R；
②当0 在（x2，＋∞）上单调递增，g′（x1）＝2me2x1－ex1＋1＝g′（x2）＝2me2x2－ex2＋1＝0，
则m＝＝，所以极大值＝g（x1）＝me2x1－ex1＋x1－a＝－＋x1－－a，
极小值＝g（x2）＝me2x2－ex2＋x2－a＝－＋x2－－a，
因为当x→－∞时，g（x）→－∞，当x→＋∞时，g（x）→＋∞，
故只需g（x1）<0或g（x2）>0；令h（x）＝－＋x－，则h′（x）＝－＋1，
故当x∈（－∞，ln 2）时，h′（x）>0，当x∈（ln 2，＋∞），h′（x）<0，
又x1＝ln ＝ln ，x2＝ln ，
又0 所以h（x1）∈（－1，－＋ln 2），h（x2）∈，故a≥－＋ln 2；
综上所述，实数a的取值范围为.
22．解析：（1）曲线C1的普通方程为cos α·y－sin α·x＝0，
即极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝3，
即（x－1）2＋y2＝4.
（2）曲线C2的极坐标方程为ρ2－2cos θ·ρ－3＝0，代入θ＝α，
可得ρ1·ρ2＝－3，
则|OA|·|OB|＝|ρ1ρ2|＝3.
23．解析：（1）当a＝b＝c＝1时，f（x）＝＋|x＋2|，
易得f（x）＝＋|x＋2|≥＝.
（2）由绝对值三角不等式可得：
f（x）＝＋|x＋b＋c|≥＝＝3，
∵a，b，c均为正实数，
∴＋b＋c＝3，
∵（a2＋b2＋c2）≥＝9，
∴a2＋b2＋c2≥4，
当且仅当2a＝b＝c，即a＝，b＝c＝时等号成立，
∴a2＋b2＋c2的最小值是4.
仿真模拟冲刺卷（四）
1．答案：A
解析：B＝{x|－1 所以A∩（∁RB）＝{－2，－1，1}．故选A.
2．答案：B
解析：由题意，
z1z2＋＝z1＝（3＋i）＝（3＋i）＝（3＋i）＝＝＝4＋3i.故选B.
3．答案：D
解析：因为a＝（1，2），b＝（－1，3），所以ma＋nb＝（m－n，2m＋3n），又因为（ma＋nb）⊥b，所以（ma＋nb）·b＝－（m－n）＋3（2m＋3n）＝0，化简得＝－2.故选D.
4．答案：A
解析：对于A，若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，当p，q中只有一个为真命题时，p∧q为假命题，A不正确；
对于B，命题“∃x0>0，ln x0＝x0－1”是特称命题，其否定为“∀x>0，ln x≠x－1”，B正确；
对于C，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，则其逆否命题是真命题，C正确；
对于D，当x0>0时，函数y＝xx0在（0，＋∞）上单调递增，若a>b>0，则ax0>bx0，
反之，若ax0>bx0，当x0＝2时，a，b可以都为负数，即a>b>0不一定成立，
所以“ax0>bx0”是“a>b>0”的必要不充分条件，D正确．故选A.
5．答案：B
解析：由随机变量X～N（1，σ2），且P（X<0）＝P（X≥a），则a＝2，
则（x2＋2）＝x2＋2，
由的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Cx6－r＝（－1）rCx6－2r，0≤r≤6，r∈N，
令6－2r＝－2，解得r＝4，令6－2r＝0，解得r＝3，
所以（x2＋2）的展开式中的常数项为：C－2C＝－25.故选B.
6．答案：B
解析：因lg （sin A＋sin C）＝2lg sin B－lg （sin C－sin A），则有lg （sin2C－sin2A）＝lg sin2B，
即有sin2C－sin2A＝sin2B，于是得sin2C＝sin2A＋sin2B，
在△ABC中，由正弦定理＝＝得：c2＝a2＋b2，
所以△ABC是直角三角形．故选B.
7．答案：C
解析：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右侧，所以－c>0，c＜0，f（0）＝＞0，
∴b>0，由f（x）＝0，∴ax＋b＝0，即x＝－，即函数的零点x＝－>0，∴a<0，
∴a＜0，b＞0，c<0.故选C.
8．答案：B
解析：由题意，得nan＝n·2n，
Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，则
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1②，
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，
所以Sn＝n×2n＋1－2n＋1＋2＝（n－1）×2n＋1＋2，
当n＝6时，Sn＝642，
当n＝7时，Sn＝1 538，
所以要使Sn<1 000成立的最大正整数为n＝6.故选B.
9．答案：B
解析：对于①中，若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，
可得P，Q，R⊂α且P，Q，R⊂平面ABC，所以P，Q，R三点必在两平面的交线上，
所以P，Q，R三点共线，所以①正确；
对于②中，若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c可能相交，平行或异面，所以②错误；
对于③中，若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确；
对于④中，例如：若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则满足若a⊥c，b⊥c，此时a与b相交，所以④错误．
其中所有真命题的序号是①③.故选B.
10．答案：D
解析：由辅助角公式可得：f（x）＝a sin （ωx＋φ）＋cos （ωx＋φ）＝sin （ωx＋φ＋β）.因为T＝＝π，ω>0，所以ω＝2.又f（x）最小值为－2，所以a＝±.
又tan β＝＝±，所以β＝±.因为f（x）＝－f，所以f（x）关于对称，所以f＝2sin ＝2cos （φ＋β）＝0.因为|φ|<，所以φ＋β＝±，φ＝±.故选D.
11．答案：C
解析：由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长PF1交椭圆另一交点为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|QF2|＝|F1A|，
所以|PF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|F1A|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当|PA|垂直x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，
所以ab≤2b2，
解得0 12．答案：C
解析：由题意得：f′（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∵x＝1是f（x）的极值点，∴f′（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝0，
∴an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an＋1－an}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴an＋1－an＝2·3n－1，
又an－an－1＝2·3n－2，an－1－an－2＝2·3n－3，…，a3－a2＝2×31，a2－a1＝2×30，
∴an－a1＝2×（30＋31＋…＋3n－2）＝2×＝3n－1－1，∴an＝3n－1；
∴bn＝log3an＋1＝log33n＝n，∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝2020×＝，
∴Sn＝＝，
∵≤，∴≤1 010，∴2 020－≥1 010，∴（Sn）min＝1 010.
∵Sn≥t对∀n∈N*恒成立，∴t≤（Sn）min＝1 010，则实数t的最大值为1 010.故选C.
13．答案：
解析：因为四条曲线均是y＝sin x在x∈[0，π]的图象，
所以空白部分的面积为S1＝4sin xdx＝4（－cos x）|＝4（－cos π＋cos 0）＝8，
又正方形区域的面积为S＝π2，
所以阴影部分的面积为S－S1＝π2－8，
因此在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率P＝.

14．答案：
解析：由约束条件可得可行域如图阴影部分所示：
当z＝ax＋by（a>b>0）时，直线y＝－x＋在y轴截距最大，
∵a>b>0，∴－<－1，则由图形可知：当y＝－x＋过A时，在y轴截距最大，
由得：，即A（1，1），∴zmax＝a＋b＝4，
∴＋＝（a＋b）＝≥＝（当且仅当＝，即a＝2b＝时取等号），∴＋的最小值为.
15．答案：1
解析：设圆的圆心为C（1，0），
因为点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，
所以当点P到点C的距离最小时，∠APB取得最大值，此时CP与直线3x－4y＋7＝0垂直，
因为∠APB为，所以∠APC＝，
点C到直线的距离为d＝＝2，
在Rt△APC中，r＝|AC|＝d＝1.
16．答案：－1
解析：如图，取A1D1的中点O，连接EO，FO，
则EO⊥平面A1B1C1D1，由|EF|＝，OE＝2，

可得OF＝1，则F在以O为圆心，以1为半径的圆上，
取CD中点K，连接BK，在正方形ABCD中，
由E为AD的中点，K为CD的中点，
可得CE⊥BK，取C1D1的中点H，连接KH，B1H，
由BB1∥KH，BB1＝KH，得四边形BB1HK为平行四边形，则BK∥B1H，得G在线段B1H上．
过O作OG⊥B1H，交半圆弧于F，则|FG|为要求的最小值．
由已知可得B1H＝，设|OG|＝h，
由等面积法可得，××h＝2×2－×2×1－×1×1－×2×1＝，
可得h＝，∴|FG|的最小值为－1.
17．解析：因为S5＝＝＝5a3＝25，所以a3＝5，
所以a2＝＝＝3，所以b2＝a2＝3.
可得：d＝a2－a1＝3－1＝2，
若选①，
因为q·d＝1，所以q＝＝，可得b1＝＝3×2＝6，
所以Tn＝＝12>0
若m|Tn|<12，可得m×12<12，可得m<＝＝1＋，
当n＝1时，1＋最大为2，所以1<1＋≤2，
所以m≤1，又m>0，所以m的取值范围为（0，1]；
若选②，
因为a2＋b3＝0，
所以b3＝－a2＝－3，所以q＝＝＝－1，所以b1＝＝＝－3，
所以当n为偶数时，Tn＝0，则m>0；
当n为奇数时，Tn＝－3，由m|Tn|<12得m<4
综上得m的取值范围为（0，4）；
若选③，
由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1，
所以q＝＝3，所以Tn＝＝－，
由指数函数的性质可知Tn无最大值，
所以不存在正数m，使得m|Tn|<12.
18．解析：（1）由题意，O1，O2分别是圆台上下底面的圆心，可得O1O2⊥底面O2，
因为AP⊂底面O2，所以AP⊥O1O2，
又由点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点，可得AP⊥O2P，
又因为O1O2∩O2P＝O2，且O1O2，O2P⊂平面PO1O2，所以AP⊥平面PO1O2，
因为AP⊂平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2.

（2）以O2为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为O1O2＝2，则AB＝2O1O2＝4，∠PAB＝45°，
可得A（0，－2，0），B（0，2，0），O1（0，0，2），P（1，－1，0），
所以＝（1，1，0），AO1＝（0，2，2），
设平面APO1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则，即，令y1＝1，可得x1＝－1，z2＝－1，所以n1＝（－1，1，－1），
又由PO1＝（－1，1，2），＝（－1，3，0），
设平面BPO1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则，即，令y2＝1，可得x2＝3，z2＝1，所以n2＝（3，1，1），
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，
因为二面角A­PO1­B为钝角，所以二面角A­PO1­B的余弦值为－.
19．解析：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＋C···＝，
P（X＝1）＝C···＝，
P（X＝2）＝C···＝，
P（X＝3）＝C···＋＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，
设第i场甲、乙两队积分分别为Xi，Yi，则Xi＝3－Yi，i＝1，2，
因两队积分相等，所以X1＋X2＝Y1＋Y2，即X1＋X2＝（3－X1）＋（3－X2），则X1＋X2＝3，
所以P（A）＝P（X1＝0）P（X2＝3）＋P（X1＝1）P（X2＝2）＋P（X1＝2）P（X2＝1）＋P（X1＝3）P（X2＝0）＝×＋×＋×＋×＝.
20．解析：（1）由题意知，|GF1|＋|GF2|＝4，又4>2，所以，动点G的轨迹是椭圆．
由椭圆的定义可知，c＝，a＝2，又因为a2－b2＝c2所以b2＝1，
故G的轨迹方程＋y2＝1.
（2）由题设可知，M、N一个在椭圆外，一个在椭圆内；P、Q一个在⊙F2内，一个在⊙F2外，在直线l上的四点满足：|NQ|－|MP|＝（|NQ|＋|NP|）－（|MP|＋|NP|）＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1，
由消去y得：（1＋4k2）x2－8k2x＋12k2－4＝0，Δ>0恒成立．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理，
得x1＋x2＝，x1x2＝
|PQ|＝＝.
所以|NQ|－|MP|＝|PQ|－1＝，O到l距离d＝，
T＝（|NQ|－|MP|）·d2＝＝＝≤＝1，
当且仅当4k2＝，即k＝±时等号成立．
验证可知k＝±满足题意．
∵k>0，∴k＝.
21．解析：证明：（1）由于f′（x）＝ln x，则f′＝－1，
又f＝－，所以f（x）在x＝处的切线方程为y＋＝－，
即y＝g（x）＝－x－，
令h（x）＝f（x）－g（x）＝x（ln x－1）＋x＋，则h′（x）＝ln x＋1，
于是当x∈时，h′（x）<0；
当x∈时，h′（x）>0，
所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，
故h（x）≥h＝0，即f（x）≥g（x）.
（2）不妨设x1 又由（1）知：f（x）≥g（x），则a＝－x0－＝f（x1）≥g（x1）＝－x1－，
从而x1≥x0＝－a－，当且仅当x0＝，a＝－时取等号．
下证：x2≤a＋e.
由于a＝f（x2），所以x2≤a＋e⇔x2≤f（x2）＋e，即证：f（x2）－x2＋e≥0，
令φ（x）＝f（x）－x＋e＝x ln x－2x＋e，则φ′（x）＝ln x－1，
当x∈（0，e）时，φ′（x）<0；
当x∈（e，＋∞），φ′（x）>0；
所以φ（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增；
故φ（x）≥φ（e）＝0，即x2≤a＋e成立，当且仅当x2＝e，a＝0时取等号．
由于等号成立的条件不能同时满足，
所以|x1－x2|＝x2－x1<（a＋e）－＝2a＋e＋.
22．解析：（1）因为曲线C1的参数方程为，
所以C1是圆心为（0，2），半径为2的右半圆，
所以C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝12（x≥0），
由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2－4ρsin θ＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
（2）设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），
∵θ＝γ，∴|OM|＝4sin γ，|ON|＝4cos γ，
|MN|＝||OM|－|ON||＝|4sin γ－4cos γ|，
|MA|＝|OA|sin ＝4cos γ，
因为|MN|＝|MA|，
所以|4sin γ－4cos γ|＝×4cos γ⇒tan γ＝或－（舍）.
∴tan γ＝.
23．解析：（1）∵f（x）＝2|x－1|－x且f（x）<2x－4，
即2|x－1|<3x－4，
即－（3x－4）<2（x－1）<3x－4，
解得：x>2，
故不等式f（x）<2x－4的解集为（2，＋∞）；
（2）证明：f（x）＝，
则m＝f（1）＝1－2＝－1，
则（a＋b）＋（b＋c）＝1，＋＝[（a＋b）＋（b＋c）]＝2＋＋≥4，
当且仅当＝时，取等号，
即＋≥4.
仿真模拟冲刺卷（五）
1．答案：D
解析：z＝＝＝＝1＋i，在复平面内所对应的点为（1，1），关于虚轴对称的点为（－1，1），所以A对应的复数为z＝－1＋i，故选D.
2．答案：C
解析：图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即[A∩（∁UB）]∪[B∩（∁UA）]＝[∁U（A∩B）]∩（A∪B），故选C.
3．答案：B
解析：根据二项分布期望的定义，可知E（X）＝a×＝2，得a＝4，

画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，
其中A（2，2），B（1，2），C（1，3），
平移直线z＝x－y，当直线经过点C（1，3）时，z取最小值，即b＝zmin＝1－3＝－2，
于是（a＋bx）5＝（4－2x）5，
令x＝1，可得展开式的各项系数之和为25.故选B.
4．答案：B
解析：A，若a∥b，b⊂α，且a⊄α，则a∥α，故A错误；B，若α∩β＝a，β∩γ＝b，a∥b，则b∥α，且b⊂γ，由α∩γ＝c，所以b∥c，故B正确；C，若b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，且b与c相交，则a⊥β，故C错误；D，若a⊂α，b⊂β，a∥b，且b与a相交，则α∥β，故D错误．故选B.
5．答案：C
解析：因为tan θ＝－2，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝－.故选C.
6．答案：C
解析：由题设，＝（＋），又＝2，＝λ，
∴＝（＋）＝＋，而N，D，C三点共线，
∴＋＝1，可得λ＝.故选C.
7．答案：D
解析：对于A选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）|x|的定义域为R，不满足条件；对于B选项，函数f（x）＝（2x－2－x）|x|的定义域为R，不满足条件；对于C选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）log|x|的定义域为{x|x≠0}，f（－x）＝（2－x＋2x）log|－x|＝（2x＋2－x）log|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，当00，则f（x）＝（2x＋2－x）log|x|>0，不满足条件；对于D选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）log2|x|的定义域为{x|x≠0}，f（－x）＝（2－x＋2x）log2|－x|＝（2x＋2－x）log2|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，当0 8．答案：C
解析：斐波那契数列满足递推关系：an＋2＝an＋1＋an（n∈N*），
对于A，斐波那契数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，
∴S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，A正确；对于B，a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，
各式相加得：a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2019＝a2020，B正确；对于C，a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，a6＝a7－a5，…，a2020＝a2021－a2019，
各式相加得：a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2020＝a2021－a1＝a2021－1，C错误；对于D，S2020＋S2019－S2018－S2017＝（S2020－S2018）＋（S2019－S2017）＝（a2020＋a2019）＋（a2019＋a2018）＝a2021＋a2020＝a2022，D正确．故选C.
9．答案：A
解析：因为x∈（0，＋∞）时，f（x）＝ln x，故f（x）为（0，＋∞）上的增函数，
因为4ln 3>41＝4，0<2－e<1，1f（ln π）>f（2－e），
而f＝f（ln π），故a>c>b.故选A.
10．答案：A
解析：由正弦定理可得a＝2b，设△ABC的外接圆半径为r，
则a cos B＋b cos A＝2r（sin A cos B＋cos A sin B）＝2r sin （A＋B）＝2r sin C＝c＝3，

以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A，B，
设点C（x，y），由a＝2b，可得 ＝2，
化简可得＋y2＝4，
所以，△ABC的边AB上的高的最大值为2，因此，S△ABC≤c×2＝3.故选A.
11．答案：A
解析：因为函数f（x）＝cos 2x＋a（sin x－cos x）在区间上单调递增，所以f′（x）＝－2sin 2x＋a（cos x＋sin x）≥0在上恒成立，
所以a≥＝2×＝2×在上恒成立，
即a≥2在上恒成立，令t＝cos x＋sin x＝sin ∈[1，]，所以问题转化为a≥2在[1，]上恒成立，
而y＝t－在[1，]上单调递增，所以当t＝时，y＝t－有最大值，所以2有最大值，所以a≥，故选A.
12．答案：D
解析：f（x）＝0，得|logax|＝，即＝.由题意知函数y＝图象与函数y＝图象有两个交点．

当a>1时，y＝，y＝草图如下，显然有两交点．

当0 综上，a的取值范围为∪（1，＋∞）.故选D.
13．答案：11
解析：利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11.
14．答案：6
解析：在△ABC中，因为tan C＝，可得sin C＝，cos C＝，
又A＝，所以sin B＝sin （A＋C）＝sin ＝（cos C－sin C）＝，
由正弦定理＝，可得＝，解得c＝6，
故△ABC的面积S＝bc sin A＝6.
15．答案：甲
解析：由p∨q是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，
又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，
又¬q∨r是真命题，则¬q是真命题，即 q为假命题，故得第一名的是甲．
16．答案：4
解析：设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为x（x>0），
∴顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥P­ABC的体积为，
∴×x2×4＝，解得x＝2，
∴△ABC的外接圆半径为r1＝××2＝2，
∴球心O到底面ABC的距离为d1＝＝＝3，
又∵顶点P到底面ABC的距离为4，
∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面ABC和截面圆之间）且球心O到该截面圆的距离为d2＝1，
∵截面圆的半径r2＝＝＝2，
∴顶点P的轨迹长度是2πr2＝2π×2＝4π.
17．解析：（1）因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝2（an－an－1），得an＝2an－1，
所以an＝a1·2n－1＝2n－1，
所以bn＝Sn＝2an－1＝2×2n－1－1＝2n－1.
（2）因为＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＝1－，
因为{Tn}为单调递增数列，所以当n＝1时，Tn取得最小值1－＝，
又Tn<1，所以Tn的取值范围是.
18．解析：

（1）如图所示，取AB的中点为H，连接FH，
再取FH的中点为G，连接DG，
则DG∥EF.
理由如下：
∵△FBA是等边三角形，
∴FH⊥AB.
又平面FBA⊥底面ABCD，且平面FBA∩底面ABCD＝AB，
∴FH⊥底面ABCD.
又ED⊥底面ABCD，∴FH∥ED，即FG∥ED，
又FH＝AB＝CD＝×ED＝2ED，
∴FG＝ED，
∴四边形FGDE是平行四边形，
∴DG∥EF.
（2）由（1）可知DG∥EF，
∴直线DG与平面FBC所成角的正弦值等于直线EF与平面FBC所成角的正弦值．
连接HC，由题意可知HC⊥AB.
以H为坐标原点，HB，HC，HF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设菱形ABCD的边长为2，
则易知F（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），E
＝，＝（－1，0，），＝（－1，，0）.
设平面FBC的一个法向量为m＝（x，y，z），
则即令x＝，
则y＝1，z＝1，
∴m＝（，1，1），
|cos 〈m，〉|＝＝，
∴直线DG与平面FBC所成角的正弦值为.
19．解析：（Ⅰ）设“高三（1）班选拔的参赛选手均为男生”为事件A，则P（A）＝＝；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意P（ξ＝0）＝·（1－p）·[1－（1－p）]＝·（1－p）p＝，解得p＝；
（ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
所以P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝1）＝××＋××＋××＝，

P（ξ＝2）＝××＋××＋××＝，
P（ξ＝3）＝××＝，
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




所以ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解析：（1）设椭圆E与抛物线G的公共焦点为F（c，0），
所以焦点F（c，0）到直线x－3y＝0的距离为d＝＝，可得：c＝2，
所以＝2，p＝4，
由e＝＝，可得：a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E：＋y2＝1，抛物线G：y2＝8x；
（2）由（1）知：F（2，0），设直线l：y＝k（x－2），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由可得：（5k2＋1）x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝，
由可得：k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，
所以x3＋x4＝，
因为CD是焦点弦，所以|CD|＝x3＋x4＋4＝，
所以＋＝＋＝＝，
若＋为常数，则20＋λ＝4，所以λ＝－.
21．解析：（1）依题意知：x∈（0，＋∞），f′（x）＝a ln x＋a，
∴g（x）＝a ln x＋＋a，（x∈（0，＋∞）），
∴g′（x）＝，∵g（x）有两个极值点，
∴g′（x）在（0，＋∞）有两个变号零点，
令g′（x）＝0得：ax2＋（2a－1）x＋a＝0，（a≠0）……①，
∴关于x的一元二次方程有两个不等的正根，记为x1，x2，
∴，即，解得，

∴0 故a的取值范围为.
（2）依题意，要证x ln x ①当00，故原不等式成立，
②当x>1时，要证x ln x 即要证x ln x－ex－sin x＋1<0，
令h（x）＝x ln x－ex－sin x＋1，（x>1），则h′（x）＝ln x－ex－cos x＋1，
h″（x）＝－ex＋sin x，
先证ex>x＋1，（x>1），
即要证ex－x－1>0，（x>1），
令φ（x）＝ex－x－1，（x>1），则φ′（x）＝ex－1（x＞1），
当x>1时，φ′（x）>0，
∴φ（x）在（1，＋∞）单调递增，
∴φ（x）>φ（1）＝e－2>0，
即ex>x＋1，（x>1），
当x>1时，0<<1，sin x≤1，
h″（x）＝－ex＋sin x<－（x＋1）＋sin x＝＋（sin x－1）<0，
∴h′（x）在（1，＋∞）单调递减，∴h′（x） ∴h（x）在（1，＋∞）单调递减，
∴h（x） 即x ln x－ex－sin x＋1<0，故原不等式成立．
22．解析：（1）对直线l消参得y＝1＋·sin α，即直线l的普通方程为y＝1＋tan α·x，，
对于曲线C：ρ＝4sin θ，则ρ2＝4ρsin θ，从而x2＋y2＝4y，即直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4；
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l：代入曲线C：x2＋（y－2）2＝4，得t2－2t·sin α－3＝0，
所以t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－3，故|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
解得sinα＝±（舍负），故α＝或.
23．解析：（1）原不等式等价于f（x）＋x>0，不等式f（x）＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x<－1时，－（x－2）＋x>－（x＋1），解得x>－3，即－3 当－1≤x≤2时，－（x－2）＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；
当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，
综上所述，不等式f（x）>－x的解集为{x|－33}；
（2）由不等式f（x）＝a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，
∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈（－∞，－1]时等号成立，
∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.
∴实数a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.