2024重庆市渝北中学高三9月月考数学试题含解析
展开渝北中学2023-2024学年高三9月月考质量监测
数学试题
（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. =（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知直线是曲线的切线，则（ ）
A B. 1 C. D. 2
4. 设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数是偶函数
D. 函数的递减区间为
10. 下列命题中的真命题有（ ）
A. 当时，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当时，最大值是5
D. 若关于的不等式的解集为，则
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处的切线方程为
B.
C. 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则
D. 有唯一零点
12. 已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（ ）
A. 是周期为2的周期函数 B. 为奇函数
C. 是周期为4的周期函数 D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13 设函数，则 _____________.
14. 已知，则______.
15. 已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.
16. 已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，求在上的最大值.
18. 某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为.
（1）求m，n的值（结果用分数表示）；
（2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值的独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？
| 有飞天宇航梦 | 无飞天宇航梦 | 合计 |
男 |
|
|
|
女 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.
附临界值表及参考公式：
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7879 | 10.828 |
，.
19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
20. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
周光照量x（单位：小时） | |||
光照控制仪最多可运台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元：若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式，参考数据．
21. 已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若在上没有零点，求的取值范围.
22. （1）求证：当时，；
（2）若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.
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