2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，2.一元二次方程的根是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.我国新能源汽车产业发展取得了明显成效，逐渐进入市场化驱动阶段下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.用配方法将二次函数化为的形式为(    )A.  B.
C.  D. 5.一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定6.二次函数的图象的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 7.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为(    )A.  B.  C.  D. 8.如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 9.将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移下单位长度，所得到的抛物线的解析式为(    )A.  B.
C.  D. 10.如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：
；
；
；
．
其中说法正确的是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______．12.函数中自变量的取值范围是______．13.方程的一个根为，则 ______ ．14.二次函数的最小值是______ ．15.如果函数是二次函数，那么的值为______ ．16.二次函数的图象与轴交点坐标是______ ．17.如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，且，，则的值为______ ．
 18.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则 ______ ．19.在中，，，，点是边所在直线上的点，且，则 ______ ．20.如图，在正方形中，点为上点一点，连接，点在上，，连接，，连接，则 ______ ．
 三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.本小题分
用指定的方法解下列方程：
公式法；
因式分解法．22.本小题分
如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，．
将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的；
画出关于原点对称的；
在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标．
23.本小题分

如图，已知抛物线的二次项系数为，且经过点和，请回答下列问题：
求抛物线的解析式；
若抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，求的面积．
24.本小题分
如图，在四边形中，，，，交于点，过点作交于点，连接．
求证：四边形是菱形．
若，，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有等于的角．

 25.本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件，若将每件商品售价定为元，日销售量设为件．
求与的函数表达式；
当为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？26.本小题分
如图，在四边形中，对角线，交于点，，．
求证：；
过点作，垂足为点，求证：；
点为上一点，连接，，，，若，，求线段的长．

 27.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、左右，与轴交于点，直线经过点、．
求抛物线的解析式；
如图，点为第一象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，如图，交轴于点，，点为轴上点右侧一点，，将线段绕着点逆时针旋转至，，连接交抛物线于点，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故选：．
根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：，
，
，，
，，
故选D．3.【答案】 【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．4.【答案】 【解析】解：

．
故选：．
直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．5.【答案】 【解析】解：一元二次方程根的判别式，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
算出一元二次方程根的判别式即可判断根的情况．
本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．6.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．7.【答案】 【解析】解：设根据题意得：．
故选：．
利用年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．9.【答案】 【解析】解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移下单位长度，所得到的抛物线的解析式为：，即．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10.【答案】 【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，，正确，符合题意．
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，正确，符合题意．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
时，，错误，不符合题意．
从图象看，抛物线和轴有个交点，故正确，
故正确，符合题意．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线对称性可得时，从而判断，由抛物线开口方向及对称轴判断判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征和抛物线与坐标轴的交点，能够灵活运用图象上的点是解答本题的关键．11.【答案】 【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，填空即可．
本题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握好对称点的坐标规律是关键．12.【答案】 【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13.【答案】 【解析】【分析】
本题就是考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值．
【解答】
解：把代入方程得：，解得．
故答案为．14.【答案】 【解析】解：由于，
所以当时，函数取得最小值为．
故答案为：．
根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
本题考查了二次函数的最值，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．15.【答案】 【解析】解：函数是二次函数，
，且，
解得：．
故答案为：．
根据二次函数的定义结合二次项系数不能为零，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．16.【答案】 【解析】解：，当时，，
二次函数的图象与轴交点坐标是；
故答案为：．
求出二次函数，当时的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握轴上点的坐标特征是解题的关键．17.【答案】 【解析】解：连接，

由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，
，
在中，，
，
故答案为：．
连接，根据旋转的性质可得，，，，从而求出，，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18.【答案】 【解析】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
，
解得：舍去，．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
故答案为：．
设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染，然后可列方程进行求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．19.【答案】或 【解析】解：分两种情况：
如图，当点在边上时，

，，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负值已舍去，
；
如图，当点在延长线时，过点作于点，

则，
由得：，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况，当点在边上时，易证是等边三角形，得出，由勾股定理求出即可；
当点在延长线时，过点作于点，先求出，再由勾股定理求得，即可得出答案．
本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20.【答案】 【解析】解：如图，作于，交的延长线于，交的延长线于，
，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作于，交的延长线于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，由正方形的性质可得，，根据同角的余角相等可得，证明≌得到，证明得到，再由，可得，最后由三角形面积公式进行计算即可．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．21.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
解得，． 【解析】方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22.【答案】解：如图所示，即为所求：
如图所示，即为所求：
如图所示，点即为所求：
． 【解析】根据旋转的性质画出图形解答即可；
根据关于原点对称的性质画出图形解答即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求．
本题是三角形综合题，考查旋转的性质和轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】解：由题意得，设抛物线的解析式为，
把和分别代入得：，
解得．
抛物线的解析式为；
当时，，
解得，．
，，
．
当时，，

．
． 【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式；
根据二次函数图象上点的坐标特征求得点、、的坐标；然后由坐标与图形的性质求得线段、的长度；最后由三角形的面积公式作答即可．
本题考查了运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．抛物线与轴的交点．24.【答案】证明：，，
为的垂直平分线，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
图中所有等于的角为：、、、． 【解析】先证为的垂直平分线得出，，再证≌得出，则四边形为平行四边形，然后由即可得出结论；
由得四边形是菱形，则，，，再证，得出，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．25.【答案】解：，
答：与的函数表达式为；
设每个月的销售利润为元．
依题意得：，
整理得：，
化成顶点式得，
当为元时．每天的销售利润最大，最大利润是元．
答：当为元时．每天的最大利润是元． 【解析】设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件；
根据日利润每件利润日销售量，后把二次函数关系式整理为顶点式可得答案．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键．26.【答案】证明：，，
，
，
，即，
；
证明：在上截取，连接，如图：

由知：，，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：延长至点，使，连接，，过作于，过作于，如图：

由，设，则，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
线段的长为． 【解析】由，，可得，根据，可得，即，故AB；
在上截取，连接，由，，可得≌，有，可得，即得，从而；
延长至点，使，连接，，过作于，过作于，设，则，求出，，得≌，有，从而≌，，由，知，故AG，即可得，，求出，，，可得，故线段的长为．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．27.【答案】解：直线经过点、，
当时，，
，
当时，，
，
，
把，代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
在抛物线上，点的横坐标为，
，
过点作于，

，
当时，，
解得，，
，
，
，
；
过点作轴于点，

，
，，
≌，
，
，
，
当时，，
，
，，
由勾股定理得，，，
过点作于点，连接，
，
即，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
过点作于点，
，，，
≌，
，，
过点作轴于点，
，，
，
设直线的解析式为，
把点代入得，
解得，
的解析式为，
，
解得，
点在第二象限，
 【解析】先求出点、的坐标，再运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
过点作于，求出，，则可得出答案；
过点作轴于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出，，证明≌，得出，，过点作于点，求出，，过点作轴于点，得出，求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形和全等三角形．