专题35.新高考视角下的全概率与贝叶斯公式（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题35.新高考视角下的全概率与贝叶斯公式

一．基本原理

1．全概率公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有.

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．

2.贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，

有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．

二．典例分析

例1.（2022长沙新高考适应性考试）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；

（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．

解析：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则

，由题意可得，的取值有

，

，所以

（2）设表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，表示事件“甲小组抢到最后一道题”，表示事件“乙小组抢到最后一道题”，则有：

，

则

该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为

点评：本题第二问即考察了全概率公式与贝叶斯公式，后者虽然不做高考要求，但是可以看到，它实际就是条件概率的应用，完全可以现场依据具体情况得出.再举一道贝叶斯公式的例子

例2．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______．

解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则，，，，，，

，

由全概率公式得：

；

如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：

. 故答案为：0.4；0.3

三．全概率公式与随机游走

虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者

（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：

另一方面，由于，代入上式可得：

.

进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：

例3．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

解析：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，

；；

则的分布列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得： 

是以为首项，为公比的等比数列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把给出，并没有让考生推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模型.

例4．足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（1）求（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．

（2）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，

第次触球者不是甲的概率为，则，

从而，又，是以为首项，公比为的等比数列．

则，∴，，

，故第19次触球者是甲的概率大