广东省深圳市东北师范大学深圳坪山实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市东北师范大学深圳坪山实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，若＝，则的值为，图中，有三个矩形，其中相似的是，若关于x的方程等内容，欢迎下载使用。
东北师大深圳坪山实验学校2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2y＝0 B．2﹣x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝2
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝7
5．图中，有三个矩形，其中相似的是（　　）

A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
6．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
8．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（　　）

A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
9．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜0
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程x（x﹣7）＝0的解是 　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．

13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第三象限的概率是 　 　．
14．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　 　．
15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 　 　．

三．解答题（共55分）
16．解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
17．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值．
18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，EF∥BC，FD∥AB．设AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，求BD的长．

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，
（1）求证：AC＝DE；
（2）求△BDE的面积．

20．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　 　名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 　 　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　件，每件盈利 　 　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝　 　．
（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEFM是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（4）在线段AC上找一点G，使值最小，请直接写出最小值．

东北师范大学深圳坪山实验学校10月月考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2y＝0 B．2﹣x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝2
【解答】解：A．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝3，
∴BD＝2OA＝6，
故选：D．
3．若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：A．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝7
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：A．
5．图中，有三个矩形，其中相似的是（　　）

A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3，
∴甲和丙相似，
故选：B．
6．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据＝得：
＝
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选：A．
7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（　　）

A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝AC，GH＝AC，
∴EF＝GH，同理EH＝FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
当对角线AC、BD互相垂直时，如图所示，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
故选：D．

9．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜0
【解答】解：当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝；
当m+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，解得m≤0且m≠﹣1，
综上所述，m的取值范围为m≤0．
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴∠FDP＝90°﹣75°＝15°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BHC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCH＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠DHF＝∠BHC＝75°，
∴∠DHF＝5∠FDP，故①错误；
∵∠PBC＝60°，∠DBC＝45°，
∴∠PBD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDC＝75°，∠DHP＝75°，
∴∠DHP＝∠CDP，
又∵∠DPH＝∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴
∴PD2＝PH⋅PC，
∵PC＝CD，
∴PD2＝PH•CD，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∵∠PCD＝30°，
∴，，
∵S△BPD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝＝＝，
∴，故④错误；
综上，正确的是②③，有2个，
故选：B．

二．填空题（共5小题）
11．一元二次方程x（x﹣7）＝0的解是 　x1＝0，x2＝7　．
【解答】解：x＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝0，x2＝7．
故答案为x1＝0，x2＝7．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　．

【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．
故答案为：4．
13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第三象限的概率是 　　．
【解答】解：从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，共有以下6种情况：
则点P在第三象限的概率是：P＝＝．
故答案为：．

14．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于 　﹣2　．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1．
∴+＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 　2　．

【解答】解：设AD＝2a，AB＝2b，
∵将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，
∴AE＝BE＝EO＝b，DG＝AG＝GO＝a，∠CEG＝∠AEB＝90°，∠GOE＝∠A＝90°，
∴∠CEO+∠GEO＝∠CEO+∠OCE＝90°，
∴∠OEG＝∠OCE，
∴△EOG∽△COE，
∴OE2＝OG•OC，
∴b2＝a•2a，
∵a＞0，b＞0，
∴b＝a，
设DF＝OF＝x，则CF＝CD﹣DF＝2a﹣x，
在Rt△COF中，由勾股定理得，x2+（2a）2＝（2）2，
解得x＝，
∴OF＝，
∴＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0（配方法）；
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x+1＝3，
即（x+1）2＝3，
∴x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x1＝﹣1﹣；
（2）x（x﹣3）＝x﹣3，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
即x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x1＝1．
17．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值．
【解答】解：∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴（﹣2）2+2×（﹣2）+m＝0，即m＝0，
∴一元二次方程x2+2x+m＝0为x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴方程的另一个根是x＝0，m的值为0．
18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，EF∥BC，FD∥AB．设AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，求BD的长．

【解答】解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∴DF＝BE＝2.4，
∵DF∥AB，
∴＝，
又∵AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，
∴AB＝6，BC＝2.8+BD，
∴＝，
解得BD＝4.2．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，
（1）求证：AC＝DE；
（2）求△BDE的面积．

【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE；

（2）∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠BOC＝90°，
∵AB＝5，AC＝6，
∴AO＝3，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵DE＝AC＝6，
∴．
20．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　100　名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 　18°　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
故答案为：100．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：

（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°．
故答案为：18°．
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
21．诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　（20+2x）　件，每件盈利 　（40﹣x）　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；

（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
∵要扩大销售量，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；

（3）不能，理由如下：
（20+2x）（40﹣x）＝2000，
整理，得：x2﹣30x+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝﹣1500＜0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝　4　．
（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEFM是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（4）在线段AC上找一点G，使值最小，请直接写出最小值．
【解答】（1）解：如图，由题意得△AQH折叠得到△DQH，

∴QH⊥AC，△AQH≌DQH，
∴QH∥BC，
∴△AQH∽△ACB，
∴△DQH∽△ACB，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴，
∴，
∴QH＝4．
故答案为：4；
（2）证明：由题意得△AEF≌△MEF，
∴AE＝AF，ME＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEFM是菱形；

（3）解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵△AQH∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∴．
设菱形AEFM边长为4m，
∵FM∥AC，
∴△BFM∽△BAC，
∴，
即，
∴BM＝3m，BF＝5m，
∴AB＝AF+BF＝4m+5m＝20，
∴，
∴，
∴．
设PQ＝x，
当△HQP∽△MCP时，，
即，
解得；
当△HQP∽△MPC时，，
即，
解得；
经检验，或x＝8或都是原方程的解，
综上所述，满足条件的PQ的值为或8或；

（4）解：如图延长线段BC到D，使得DC＝CB＝12，作DM⊥AB于点M，交AC与点G，连接BG，
∴BD＝2BC＝24，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴AC为线段BD的垂直平分线，
∴DG＝BG，
又∵∠A＝∠A，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴△AMG∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∴，此时最小，
∵∠DMB＝∠ACB＝90°，∠DBM＝∠ABC，
∴△DMB∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∴最小值为．