湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期8月联考数学试题及参考答案

腾·云联盟2023—2024学年度上学期高三年级八月联考

数学试卷

命题学校：洪山高中   命题教师：付勇   审题教师：戴露

考试时间：2023年8月16日   试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 心理学家有时使用函数来测定在时间t分钟内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有100个单词需要记忆，心理学家测定出在5分钟内该学生记忆25个单词，则该学生记忆率k所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，且，则下列结论一定不正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（    ）

A. 病人甲体温的极差为

B. 病人乙的体温比病人甲的体温稳定

C. 病人乙体温的众数、中位数与平均数都为

D. 病人甲体温的上四分位数为

10. 已知点P为正方体底面ABCD的中心，用与直线垂直的平面截此正方体，所得截面可能是（    ）

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

11. 已知数列的通项为，，则（    ）

A. 数列的最小项为 B. 数列的最大项为

C. 数列的最小值为－0.8 D. 数列的最大值为2.4

12. 已知函数的定义域为，满足，且，则（    ）

A.   B. 为奇函数

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知且，若函数为奇函数，则______.

14. 有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为______.

15. 已知函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称，且函数在上单调递减，则______.

16. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知等比数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，证明：时，.

18.（12分）

在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求角A；

（2）若，AD为BC边上的中线，求.

19.（12分）

在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面PAB，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.

20.（12分）

如图，是正三角形，一点从A出发，每次投掷一枚骰子，若向上点数大于或等于5，则沿的边顺时针移动到下一个顶点；若向上的点数小于或等于4，则沿的边逆时针移动到下一个顶点.

（1）求投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率；

（2）若投掷4次骰子，记经过B点的次数为X，求EX.

21.（12分）

已知函数.

（1）证明：有唯一的极值点；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

22.（12分）

已知过点的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点.

（1）求该抛物线的标准方程；

（2）证明：直线MN过定点.

数学参考答案

一、单选题

1. D   2. A   3. B   4. C   5. A   6. C   7. B   8. D

二、多选题

9. BC   10. ABC   11. BCD   12. ACD

三、填空题

13. 4   14. 10   15.     16.

17. 解：（1）因为，所以时，，

所以，所以，……2分

因为，……3分

又因为为等比数列，所以，所以，……4分

所以.……5分

（2）要证时，，即证时，，

需证时，，……8分

因为，所以，所以原不等式成立.……10分

18. 解：（1）由正弦定理得，……1分

因为，所以，……2分

所以，

即，……3分

又，所以，……4分

即，又，……5分

所以，所以.……6分

（2）因为，所以由正弦定理得，……7分

设，则，……8分

因为AD为BC边上的中线，所以，

，……10分

，，

所以，即.……12分

19.（1）证明：过点D作，垂足为点F，……1分

因为平面平面PAB，平面平面，所以平面PAB，……3分

所以，因为，又，所以平面PAD，……4分

因为平面PAB，所以平面平面PAD.……5分

（2）如图，以点D为原点，DA为X轴，DC为Y轴建立空间直角坐标系，

则、、、，……6分

设，……7分

则，因为，所以，……8分

所以，，

因为异面直线BE与PA所成角为，所以，

化简得，解得（舍），所以；……10分

所以，平面ABCD，所以四棱锥的体积为.……12分

20. 解：顺时针移动到下一个顶点的概率为，逆时针移动到下一个顶点的概率为，

（1）投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率为：；……4分

（2）、1、2；……5分

；……6分

；……8分

；……10分

所有X得分布列为：

……11分

所以.……12分

21.（1）证明：定义域为，……1分

因为，

所以在定义域内单调递增，且值域为，

所以有唯一的零点，使得，……3分

当时，，单调递减；当时，，

单调递增，所以有唯一的极值点.……5分

（2）由（1）知，在取得极小值点，也是最小值点，……6分

由得，……7分

所以

，……8分

当时，，，所以；

当时，，，所以，

因为，所以.……10分

设，因为单调递减，……11分

所以，即.……12分

22. 解：（1）设直线AB方程为，，，

联立得，消x得，

得，，……2分

因为，所以，

即，，……4分

所以抛物线的解析式为：.……5分

（2）设，，，……6分

因为M、P、C三点共线，所以，即，①……7分

因为N、P、D三点共线，所以，即，②……8分

直线MN方程为：，即③……9分

由①②得，即，……10分