新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题12 圆锥曲线中的“设而不求”（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题12 圆锥曲线中的“设而不求”（含解析），共28页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题12 圆锥曲线中的“设而不求”
一、考情分析
研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.
【例1】（2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中）已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.

(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）由题意得，
设，的长分别为，，
则，当且仅当时取等号，
从而，得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）得，，
设，，
设直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
则，
，
同理可得，
所以.
所以为定值.

【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，
椭圆的方程为，
当直线与轴垂直时与题意不符，
设直线的方程为，，，
将直线的方程代入椭圆的方程化简得，
则，，
∴，解得.
∴直线的方程为；
（2）当轴时，，不符合题意，
当与轴不垂直时，设：，则，
设，，联立方程组得，
∴，，
又直线：，直线：，
由可得，即，
，
，
，
，
，即，得，
∴点坐标为，
∴，
所以为定值.
(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.
【例3】（2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测）已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）椭圆离心率，，则，
当为椭圆右焦点时，；
，解得：，，
椭圆的方程为：.

（2）由题意可设直线，，，
则，，，直线；
由得：，
，则，
，；
，又，
，则，
为定值.
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中）作斜率为的直线l与椭圆交于两点，且在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设，，中点坐标为，
所以有，联立，得，得，得，由韦达定理可知，，所以，所以，化简得：，所以线段AB的中点在直线上.
（2）由题可知，的斜率分别为，，所以，因为得
由（1）可知，，所以，又因为在直线l的左上方，所以的角平分线与轴平行，所以的内切圆的圆心在这条直线上.
(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为,,其离心率为,P为椭圆C上一动点,面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,因离心率为,则,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线的距离最大,
则有,于是得,又,联立解得,
所以椭圆C的方程为：.
（2）由(1)知,点,
当直线斜率存在时,不妨设,,,
由消去y并整理得,,,,
假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点,
则

,
当,即时,,
当直线l斜率不存在时,直线l：与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令,
当点坐标为时,,,
所以存在定点,使得为定值.
(四) 中点弦问题中的设而不求
与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标代入圆锥曲线方程作差,得到关于的关系式,再结合题中条件求解.
【例6】中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为.
选①：由题意可知,双曲线的两个焦点分别为、,
由双曲线的定义可得,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
选②：圆的标准方程为,圆心为,半径为,
双曲线的渐近线方程为,由题意可得,解得,
即,因为,则,,
因此,双曲线的标准方程为.
选③：由勾股定理可得,
所以,,则,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
(2)假设满足条件的直线存在,设点、,则,
由题意可得,两式作差得,
所以,直线的斜率为,所以,直线的方程为,即.
联立,整理可得,,
因此,直线不存在.
三、跟踪检测
1．（2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程.
（2）为定值，理由如下：
由（1）可得，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，
联立方程，消去y得，
则，
，
∵，，则，可得，
（定值）.
2．（2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考）如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，当直线的斜率为时，.

(1)求椭圆的方程.
(2)试问是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可知，则椭圆方程即，
当直线的斜率为时，，
故设 ， ，解得，
将 代入得，即，
故 ，所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设，则，
则 ，
由椭圆方程可得 ，∴直线方程为︰ ，
令 可得 ，
直线方程为： ，令得 ，
假设存在定点，使得，则定点必在以为直径的圆上，
以为直径的圆为 ,
即 ，
∵ ，即
∴ ，
令 ，则 ，解得，
∴以为直径的圆过定点 ，即存在定点，使得 ．
3．（2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于轴的对称点为点E，证明：直线与轴交于定点.
【解析】（1）由双曲线得焦点，得，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程为；.
（2）设直线，点，则点.
由，得，，解得，
从而，，
直线的方程为，令得，
又∵，，
则，即，
故直线与轴交于定点.
4．（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
5．（2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考）平面内一动点到定直线的距离，是它与定点的距离的两倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，（直线不与轴垂直）.其中，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线与直线交于点，若直线，，的斜率，，构成等差数列，求的值.
【解析】（1）设点，由题，有，即，解得，
所以所求点轨迹方程为
（2）由题，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
与曲线联立方程组得，解得，
设，，则有，
依题意有直线的斜率为，则直线的方程为，
令，则有点的坐标为，
由题，，



，
因为，
所以
解得，则必有，
所以.
6．（2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试）在平面直角坐标系中，已知点，直线，点M到l的距离为d，若点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．
【解析】（1）设点，则，
由，得，两边平方整理得，
则所求曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立方程，消去并整理得，
因为直线与交于两点，故，此时，
所以，而.
又，
所以

所以，即以P，Q为直径的圆经过点A.
7．（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求椭圆方程为.
（2）由已知及（1）可得，
设点，则.
设过点P与相切的直线l的方程为，
与联立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根据题意和为方程③的两个不等实根，
所以，
即为定值.
8．（2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，
依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，
，
因此，解得，
所以直线的方程为或.
（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，
则，，
而，，则，，
两式相加得：，而，
则，因此，两式相减得：
，而，则，即，
所以直线与交于定点.
9．（2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考）已知双曲线：的焦距为4，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
【解析】（1）由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2），设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
10.（2022届北京市海淀区高三上学期期末）已知点在椭圆：上.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线于点M,N.当的面积为时,求的值.
【解析】（1）将点代入,解得,所以椭圆的方程为
又,离心率
（2）联立,整理得
设点E,F的坐标分别为,
由韦达定理得：,
直线AE的方程为,令,得,即
直线AF的方程为,令,得,即


所以的面积
即,解得或
所以的值为或
11.（2022届天津市第二中学高三上学期12月月考）已知椭圆的长轴长是4,且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意,得,,
所以椭圆的标准方程为；
（2）设,,
联立,得,
即,
则,
因为直线恒过椭圆的左顶点,
所以,,
则,,
因为点B始终在以PQ为直径的圆内,
所以,即,
又,,
则,
即,
即,
解得,
所以实数k的取值范围为.
12.（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟）已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
【解析】（1）设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=,则C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,
则有,所以a=2,b=,
所以椭圆C1的方程为=1,抛物线C2的方程为y2=8x.
（2）依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,
由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,
且y1+y2=,y1y2=.
根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).
因为kNQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).
当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),
所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).
13．（2022届河北省高三上学期省级联测）已知椭圆P焦点分别是和,直线与椭圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为的重心,求的面积.
【解析】（1）根据题意,,,
又因为,
解得：,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意得椭圆Q的方程为,
当直线斜率存在时,设方程为：,,,,
联立可得：,
则
因为坐标原点为的重心,
所以
由,
得
将代入椭圆方程可得：,
化简得：,
又O到直线的距离为：,
则,
因为原点O为的重心,
所以,
当直线斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB的方程为,
此时,
所以.
综上：的面积为.
14．（2022届广东省佛山市高三上学期期末）已知双曲线C的渐近线方程为,且过点.
（1）求C的方程；
（2）设,直线不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线与C交于另一点D,求证：直线过定点.
【解析】（1）因为双曲线C的渐近线方程为,
则可设双曲线的方程为,
将点代入得,解得,
所以双曲线C的方程为；
（2）显然直线的斜率不为零,
设直线为,,
联立,消整理得,
依题意得且,即且,
,
直线的方程为,
令,
得





.
所以直线过定点.
15．（2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟）设双曲线的右顶点为,虚轴长为,两准线间的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设动直线与双曲线交于两点,已知,设点到动直线的距离为,求的最大值.
【解析】（1）依题意可得,解得,所以双曲线方程为
（2）由（1）可知,依题意可知,设,,,,则有,,所以,,所以,,
作差得,又的方程为,所以过定点,所以,即的最大值为；
16．（2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测）如图,已知椭圆,椭圆,、.为椭圆上动点且在第一象限,直线、分别交椭圆于、两点,连接交轴于点.过点作交椭圆于,且.

（1）证明：为定值；
（2）证明直线过定点,并求出该定点；
（3）若记、两点的横坐标分别为、,证明：为定值.
【解析】（1）证明：设,则,可得,
则,,则；
（2）证明：当直线的斜率存在时,设的方程为,
则,代入消元得.
则,
设、,则,,
由,
得,
约去,并化简得,解得（不符合题意,舍去）；
当直线的斜率不存在时,设的方程为,其中,
联立,解得,则、,
所以,,可解得.
综上,直线过定点.
（3）证明：设的方程为,
则可解得点的坐标为.
由,则点的坐标为.
同理,记的斜率为,则点的坐标为.
由,则点的坐标为,
则的斜率,
所以直线的方程为.
令,得,故.
17．（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考）已知圆：,椭圆：的离心率为,是上的一点,是圆上的一点,的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是上异于的一点,与圆相切于点,证明：.
【解析】（1）,所以
设的焦距是,则,解得,则,
所以的方程是.
（2）证明：①当直线斜率不存在时,的方程为或.
当时,,,此时,即；
当时,同理可得.
②当直线斜率存在时,设方程为,即.
因为直线与圆相切,所以,即
联立得.
设,,则,
所以

代入整理可得,即
综上,,又与圆相切于点,所以,易得,
所以,即
所以上存在定点满足题意,其中的坐标为.
18．已知双曲线：（,）的实轴长为,离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线相交于,两点,弦的中点坐标为,求直线的方程.
【解析】 (1)由题意可得,解得：,所以双曲线的方程为：.
(2)设,,
因为弦的中点坐标为,所以,,
将点,代入双曲线可得：
,两式相减可得：
即,所以,
所以直线的斜率为：,
所以直线的方程为：即.