重庆市第十八中学2022-2023学年高二数学下学期4月期中试题（Word版附解析）

重庆市第十八中学2022—2023学年（下）

中期学习能力摸底高二数学试题

考试说明：

1．考试时间120分钟

2．试题总分150分

3．试卷页数2页

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为，所以，所以.

故选：C

2. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数和偶数互不相邻的个数为（    ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 24

【答案】B

【解析】

【分析】利用插空法结合加法原理即可求解.

【详解】先排，形成三个空位，然后将排入前两个空位或者后两个空位，

所以符合题意的四位数的个数为.

故选：B.

3. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解.

【详解】因为，

由题意可知：存在，使得，整理得，

且在上单调递减，则，可得，

所以实数的取值范围是.

故选：A.

4. 曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的导数，在点处的切线的斜率即为处的导数.

【详解】令，，

故在点处的切线的斜率为.

故选：A

5. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A. 的极大值为，极小值为

B. 的极大值为，极小值为

C. 的极大值为，极小值为

D. 的极大值为，极小值为

【答案】C

【解析】

【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值.

【详解】由图象可知，当和时，，则；

当时， ，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.

所以，上单调递减；在上单调递增；

所以的极小值为，极大值为.

故选：C.

6. 设球的半径为时间t的函数．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C

C. 成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C

【答案】D

【解析】

【详解】由题意可知球的体积为,

则，由此可得,

而球的表面积为，

所以.

故选：D.

【点晴】本题考查球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力.求出球的表达式，然后求球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球的半径的比例关系.本题是将几何体的表面积和导数的知识结合到一起，对学生的能力考查比较着重，综合性较强.

7. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（    ）

A.

B.

C

D.

【答案】B

【解析】

【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、蓝球、黑球的表达式，相乘即可.

【详解】第一步，5个无区别的红球都取出或都不取出，则有种不同的取法；

第二步，5个无区别的蓝球可能取出0个，1个，，5个，则有种不同的取法；

第三步，5个有区别的黑球可以看作5个不同编号的黑球，则从5个不同编号的黑球中任取出0个，1个，，5个，则有:种不同的取法；

所以根据分步计数原理，所有的红球都取出或都不取出的所有取法为：

.

故选：B.

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：利用导数可求得，分别代入和，整理可得的大小关系.

【详解】方法一：（构造函数）

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即，所以，则，即；

令，则，

当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以（当且仅当时取等号），所以，

即（当且仅当时取等号），所以，即，

综上所述：.

故选：B.

方法二：（帕德逼近）

，

，

，所以．

故选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，部分选对的2分，有选错的0分.

9. 已知函数，则下列选项错误的有（    ）

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减

C. 存在最小值 D. 存在最大值

【答案】D

【解析】

【分析】化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断.

【详解】，由得，

故函数的定义域为；

令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线，

所以上单调递增，在上单调递减，所以，

又函数在上单调递增；

由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减；故A、B错误；

因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值；

故C错误，D正确.

故选：D.

10. 从七个组合数，，，，，，中任取三个组合数，则（    ）

A. 三个组合数中含有最大的组合数的取法有种

B. 三个组合数中含有最小的组合数的取法有种

C. 三个组合数中同时含有最大与最小的组合数的取法有种

D. 三个组合数中有相等的组合数的取法有种

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直接法结合组合数的运算判断AD，根据间接法结合组合数的运算判断B，根据加法原理和组合运算判断C.

【详解】七个组合数，，，，，，即，，，，，，，

最大的组合数为，最小的组合数为，

相等的组合数有，，，

对于A，从七个组合中任取三个组合数，含有最大的组合数的取法有种结果，正确；

对于B，从七个组合中任取三个组合数，含有最小的组合数的取法有种结果，正确；

对于C，从七个组合中任取三个组合数，同时含有最大与最小的组合数的取法有种结果，

错误；

对于D，从七个组合中任取三个组合数含有相等的组合数的取法有种结果，正确.

故选：ABD.

11. 在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A. 各项系数和为2

B. 不含字母的项的系数和为1

C. 不含字母的项的系数和为80

D. 不存在这样的项

【答案】BD

【解析】

【分析】，分别求出的展开式的通项，对B、C：在展开式的通项分别令、的次数为0求解；对D：展开式的通项令的次数均为1求解；

【详解】，

的展开式的通项为 ，

的展开式的通项为 ，

对A：在中，令得各项系数和为，故A错误；

对B：在中令得不含字母的项的系数为，

因为，所以在中每项均含有项，

故的展开式中不含字母的项的系数和为1，故B正确；

对C：在中令得不含字母的项的系数为，

在中令得不含字母的项的系数为，

故的展开式中不含字母的项的系数和为，故C错误；

对D：在中要含有的项需令，无解，

在中要含有的项需令，无解，

故的展开式中不存在这样的项，故D正确.

故选：BD

12. 已知函数，过点作曲线的切线，则（    ）

A. 当时，若恰能作两条切线，则

B 当时，若能作三条切线，则

C. 当时，对任意实数，至少能作一条切线

D. 当时，存在实数，至少能作一条切线

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程为，将代入化简得到，令，求得，得出函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合选择，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数，可得，

设切点为，可得切线的斜率为，

则切线方程为，

将代入切线方程得，

可得，

令，可得

若，令，解得或，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值，

且当时，，当时，，

作出函数的图象，如图所示，

对于A中，若恰能作两条切线，即函数与的图象有两个交点，

则或，所以A错误；

对于B中，若能作三条切线，即函数与的图象有三个交点，

则，所以B正确；

对于C中，由令，可得

令，解得或，

当时，可得，当时，可得，

且当时，，当时，，

由A中函数的单调性，可得：

当时，函数的极小值为，极大值为，

此时函数的值域为；

当时，，函数单调递减，此时函数的值域；

当时，函数的极大值为，极小值为，

此时函数的值域为；

当时，函数的极大值为，极小值为，

此时函数的值域为；

所以函数与函数的图象，至少有一个公共点，

所以当时，对任意实数，至少能作一条切线，所以C正确.

对于D中，当时，由，

可得当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值，

且当时，，当时，，

由，可得，

所以当时，存在实数，至少能作一条切线，所以D正确；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：根据函数的零点的个数求参问题求解策略:

1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过求解不等式（组），确定参数的取值范围；

2、极值（最值）法：利用导数求得函数单调性，求得函数的极值（最值），结合极值（最值），确定函数的图象与轴的交点个数，列出不等式（组），确定参数的取值范围；

3、参数分离法：先将参数分离，得到，转化为求解函数的值域，进而确定参数的取值范围；

4、数形结合法：化简函数为，转化为和函数的图象的交点个数，从而确定参数的取值范围.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的最小值是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数的性质进行求解即可.

【详解】由，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

因此，

故答案为：

14. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）.

【答案】140

【解析】

【详解】先从7人中任取6人，共有种不同的取法．

再把6人分成两部分，每部分3人，共有种分法．

最后排在周六和周日两天，有种排法，

∴按照分步计数原理可知有种．

故答案为140

15. 已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】因为，，结合的单调性分析可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，利用切线法结合图象分析求解.

【详解】因为，，

且在上单调递增，可知在上单调递增，

由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，

又因为，

设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，

若切线过原点，则，解得，

结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 设函数在上的导函数为，已知，，则不等式的解集是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用求导法则构造新函数，解出代入不等式，运算即可得解.

【详解】解：由题意得，

∴，令，

则，

∵，∴

∴，

∴，

则有，解得，

所以，所求解集为.

【点睛】本题考查函数的导数的应用和一元二次不等式的解法，关键在于恰当构造函数.构造函数的主要思路有：

（1）条件中出现和时，适当转换后考虑根据商的求导法则令；

（2）条件中出现和时，适当转换后考虑根据积的求导法则令.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17. 已知二项式的展开式中的系数为，常数项为，且．

（1）求的值；

（2）求展开式中系数最小的项．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，代入求解即可；

（2）结合（1）中的值，先由不等式组解出展开式中系数绝对值最大的项，再结合通项判断系数的正负，即可求解.

【小问1详解】

由题意根据二项展开式的通项，得：

令，得展开式中的系数为：，

令，得展开式中的常数项为：，

又，，解得：或或，

又，故.

【小问2详解】

由（1）知，故原二项式为：

则展开式中第项、第项、第项的系数绝对值分别为、、，

若第项的系数绝对值最大，则有，解得：，

又，，且展开式中系数的绝对值最大的项是第项，

，其系数为负数，此时该项的系数最小，

故展开式中系数最小的项为：.

18. 已知是函数的极小值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）求的极大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点，即可得结果；

（2）根据（1）中的单调性可得函数的极大值.

【小问1详解】

因为，

令，解得或，

当，即时，在上单调递增，无极值点，不合题意；

当，即时，令，解得或；令，解得；

则在，上单调递增，在上单调递减，

所以是函数的极大值点，不合题意；

当，即时，令，解得或；令，解得；

则在，上单调递增，在上单调递减，

所以是函数的极小值点，符合题意；

综上所述：实数的取值范围.

【小问2详解】

由（1）可知：在，上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为.

19.

设函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

【解析】

【详解】若 则 列表如下

 (2) 在 两边取对数, 得,由于所以

(1)

由(1)的结果可知,当时, ,

为使(1)式对所有成立,当且仅当,即

20. 请先阅读：对等式（，为常数）的两边求导有：，由求导法则得，再在上式中令得.借助上述想法，结合等式（，正整数），解答以下问题：

（1）求的值；

（2）化简.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，，可求得所求代数式的值；

（2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立.

【小问1详解】

在等式（，正整数），

两边对求导得：①，

令，，可得.

【小问2详解】

①式两边同时乘以得②，

②式两边对求导得：，

令，得.

21. 已知函数，．

（1）若恒成立，求实数的取值集合；

（2）设为整数，若对任意正整数都有，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性，并求函数是否有最小值，根据最小值大于等于0，求实数的取值集合；

（2）根据（1）的结果可知，，根据条件代入数值，并利用累乘法，即可求解.

【小问1详解】

，

当时，恒成立，所以在上单调递增，，

所以时，，时，，所以不恒成立；

当时，，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，取得最小值，，

若恒成立，则，即，

设，，

，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，取得最小值，，

所以只有，能使，

综上可知，的取值集合为；

【小问2详解】

由（1）可知，当时，，只有当时，等号成立，

所以，，，……，，

这个式子相乘得，

的值随着的变大而变大，所以当趋向于无穷大时，趋向于，

所以，

若对任意正整数都有，为整数，

所以的最小值为.

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，不等式等的综合应用，本题的关键是第一问，第一问的关键是当时，通过构造函数，，利用导数求解最小值大于等于0的的取值.

22. 已知，.证明：

（1）函数在上单调递减，且存在唯一，使得；

（2）存在唯一，使得，且对（1）中的有：.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求导，再判断得当时，故在上为减函数，再利用零点存在定理即可证得结论；

（2）结合区间先构造，再令，记，则，利用第一问中的的符号，从而可判断函数的单调性，进而确定函数的零点，再寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式.

【小问1详解】

当时，，

函数在上为减函数，

又，

所以存在唯一，使.

【小问2详解】

考虑函数，

令，则时，，

记，

则，

有（1）得，当时，，

当时，.

在上是增函数，

又，从而当时，，

所以在上无零点.

在上是减函数，

又，

所以存在唯一的，使.

所以存在唯一的使.

因此存在唯一的，使.

因为当时，，

故与有相同的零点，

所以存在唯一的，使.

因，所以.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.