皖豫名校联盟2024届高中毕业班高三上学期10月大联考数学试题

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

3.已知一容器中有A，B两种菌，为A菌的个数，为B菌的个数，且在任何时刻A，B两种菌的个数均满足.若分别用和来表示A菌､B菌个数的指标，则当时，（    ）

A.    B.    C.    D.

4.函数的部分图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.如图，在四边形中，，为其外接圆的直径，且，P为边的中点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（    ）

A.    B.5    C.    D.9

7.已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知定义在上的函数满足，且，，，.若，恒成立，则a的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知某地区秋季的昼夜温差，且，该地区某班级秋季每天感冒的人数y关于昼夜温差的经验回归方程为，秋季某天该班级感冒的学生有9人，其中有4位男生，5位女生，则下列结论正确的是（    ）

（参考数据：，）

A.若，则

B.从这9人中随机抽取2人，其中至少有一位女生的概率为

C.从这9人中随机抽取2人，其中男生人数的期望为

D.昼夜温差每提高1℃，该班级感冒的学生大约增加2人

10.已知函数的一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为，将的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.在区间上单调递增

C.为奇函数

D.若在区间上的值域为，则.

11.定义为不小于的最小整数，设函数，则下列结论正确的是（    ）

A.的值为0或1    B.单调递增

C.函数有2个零点    D.

12.如图，在正三棱台中，，，棱，的中点分别为D，E，点P在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（    ）

A.平面

B.正三棱台的体积为

C.与平面所成角的正切值为

D.动点P形成的轨迹长度为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数，则当时；的最大值为______.

14.已知复数z满足，则z的实部为______.

15.若函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______.

16.已知椭圆的离心率为，上顶点为A，过左焦点的直线与C交于D，E两点，过右焦点的直线经过A点，且.若四边形的面积为，则C的长轴长为______.

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知.

（1）证明：；

（2）若，求周长的最大值.

18.（12分）

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）判断曲线过坐标原点的切线的条数，并说明原因.

19.（12分）

如图所示的几何体是一个圆柱沿轴截面切开后剩余的一半，，，O，分别为底面直径，的中点，G是的中点，H是上的动点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20：（12分）

已知为等差数列的前n项和，，.

（1）求的通项公式；

（2）若求数列的前项和.

21.（12分）

已知双曲线上一点到C的两条渐近线的距离之积为.

（1）求C的标准方程；

（2）若直线与C有两个不同的交点A，B，且的内心恒在直线上，求在y轴上的截距的取值范围.

22.（12分）

已知函数，.

（1）当时，讨论函数的零点个数；

（2）当时，证明：.

数学･答案

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案B

命题意图本题考查集合的运算.

解析由可得，故，因为，所以，所以.

2.答案A

命题意图本题考查充分条件与必要条件的判断.

解析因为，所以，而，所以“”是“”的充分不必要条件.

3.答案D

命题意图本题考查函数模型的应用.

解析由题可知，则，又，所以，.

4.答案C

命题意图本题考查函数的图象与性质.

解析由题可知，的定义域为，且为偶函数.当时，，当时，，当时，，故选C.

5.答案D

命题意图本题考查平面向量的数量积的计算.

解析由题意，，建立平面直角坐标系如图，则，，，，所以，所以，又，所以.

6.答案C

命题意图本题考查圆的切线方程的计算及基本不等式的应用.

解析易知圆在点处的切线的方程为，所以，，，所以，当且仅当，时，等号成立.

7.答案A

命题意图本题考查二项式定理.

解析的展开式的通项为，由题可知

解得，故解得.

8.答案B

命题意图本题考查导数在函数不等式问题中的应用.

解析由可得，故的图象关于点对称.由题可得在上单调递增，故在上单调递增.因为，所以，所以，即，.令，，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案ABD

命题意图本题考查正态分布､线性回归及概率的计算.

解析由，可得，，所以，故A正确；因为，故B正确；服从超几何分布，其中，，，所以，故C错误；因为，，所以，所以，故D正确.

10.答案BD

命题意图本题考查三角函数的图象与性质.

解析设的最小正周期为T，由题意，，得，所以，，又点在的图象上，所以，所以，，即，，又，所以，即，故A错误；因为的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确；因为，所以为偶函数，故C错误；当时，，所以，解得，故D正确.

11.答案ACD

命题意图本题考查新定义题型及函数的图象与性质.

解析因为，所以当时，的值为0，当时，的值为1，故A正确；因为当时，，故B错误；当时，，当时，，故与的图象有两个交点和，其余情况的图象与直线无交点，故C正确；当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故，故D正确.

12.答案AD

命题意图本题考查正棱台的性质及空间中的角与线段长度的计算.

解析如图，延长正三棱台的侧棱，设其相交于点O，连接，则有，直线必过点O且，，由题可得，过点作，，则四边形和均是边长为2的菱形，在中，，即，解得，所以，所以是边长为6的等边三角形，所以，，所以，因为是边长为6的等边三角形且为的中点，所以，，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，解得，所以，所以，由，，，，平面，可得平面，又平面，所以，由，，，，平面，可得平面，故A正确；因为，所以三棱台的高为，所以三棱台的体积，故B错误；与平面所成的角为，因为，所以，所以，故C错误；因为点P在平面内的轨迹为以D为圆心的圆被四边形所截的弧，，设的长度为，则，所以动点P形成的轨迹长度为，故D正确.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案9

命题意图本题考查函数的最值与性质.

解析，当时，最大，为9.

14.答案

命题意图本题考查复数的运算.

解析由已知得，故z的实部为.

15.答案

命题意图本题考查函数的单调性.

解析因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.当时，，故有，当时，显然成立，当时，可得，即，解得，故的取值范围是.

16.答案4

命题意图本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系.

解析设椭圆C的半焦距为，，，则，椭圆.由题可知为等边三角形，因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以.由线段垂直平分线的性质可得，.直线的方程为，与C的方程联立化简可得，由根与系数的关系可得，，所以.所以，解得，则.故C的长轴长为.

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.命题意图本题考查正弦定理与余弦定理的应用.

解析（1）根据面积公式，可得，，，

要证，即证.

由可得，

由余弦定理可得，

整理可得，原式得证.

（2）因为，

所以，当且仅当时，等号成立，

故，

所以，的最大值为4.

故周长的最大值为6.

18.命题意图本题考查导数在函数单调性问题中的应用及导数的几何意义.

解析（1）由题可知，

令，可得，.

当时，，当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为和

（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，

则切线方程为.

将原点坐标代入切线方程有.

设，则.

令，可得或，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以为极小值点，且，为极大值点，且，

又，所以，使得，在其余区间上没有零点，

故只有一个零点，

即曲线过坐标原点的切线只有一条.

19.命题意图本题考查空间中面面垂直的证明及空间向量的应用.

解析（1）因为是的中点，所以.

根据圆柱的结构特征，可知平面平面，

又平面，平面平面，

所以平面.

又平面，故平面平面.

（2）如图，设M为的中点，连接，以为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，.

设平面的法向量为，

则即令，则，所以.

连接，，则，所以是等边三角形，故，则，所以.

设直线与平面所成的角为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20.命题意图本题考查等差数列与等比数列的性质及用错位相减法求前n项和.

解析（1）设的公差为d.

∵，

∴，解得.

∴.

（2）当n为奇数时，，当为偶数时，.

∴

设，①

则，②

，得

∴.

故.

21.命题意图本题考查双曲线的方程与性质及直线与双曲线的位置关系.

解析（1）根据题意得，即，①

渐近线方程为，

所以到C的两条渐近线的距离之积为，得，

结合①，解得，，

故C的标准方程为.

（2）由题意，的内心恒在直线上，在直线上，

所以直线和关于直线对称，则.

显然直线的斜率存在，设，，.

联立双曲线方程消去y并化简可得，

故，整理得.

，.

，

化简得，

故，

即.

而直线不过P点，故.

故.

作图可知，与C的右支相交于两点，且在点P的下方，故得.

即在y轴上的截距的取值范围是.

22.命题意图本题考查导数的综合应用.

解析（1）由题可知.

令，则在时恒成立，

所以在时单调递增，且，

所以的零点个数，等价于的零点个数.

，

令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减，

所以.

令，得，此时恒成立，没有零点；

令，得，此时有一个零点；

令，得，又，，当时，，

所以在，上各存在一个零点.

综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.

（2）由题可知，

令，，易知在上单调递增，则，

令，则.

记，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

所以单调递增，则.

又，

故.