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新高考物理一轮复习重难点练习难点24 动量观点在电磁感应中的应用（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点练习难点24 动量观点在电磁感应中的应用（含解析），共36页。试卷主要包含了动量定理在电磁感应中的应用，动量守恒定律在电磁感应中的应用，解答题等内容，欢迎下载使用。
难点24 动量观点在电磁感应中的应用
一、动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
（一）“单棒＋电阻”模型
情景示例1
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q
－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝
求位移x
－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
应用技巧
初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度
情景示例2
间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v
求运动时间
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt
－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt
应用技巧
用动量定理求时间需有其他恒力参与．若已知运动时间，也可求q、x、v中的一个物理量
【例1】（多选）（2022·山西大同·高三阶段练习）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距，左端接一电阻，磁感应强度的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在导体棒的中点施加一个垂直棒的水平拉力，使其从静止开始运动，运动速度达到了最大，则从开始运动到达到最大速度过程中（ ）
A．导体棒做匀加速直线运动 B．导体棒最大速度为
C．电路中的最大电流为 D．通过导体棒的电荷量为
【答案】BC
【详解】BC．速度最大时，感应电动势最大为
最大感应电流
此时安培力
安培力与拉力相等
联立解得
故BC正确；
A．导体棒的加速度
随着速度增大，加速度逐渐减小，直到最后做匀速运动，故A错误；
D．通过导体棒的电荷量
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
（二）不等间距上的双棒模型
【例2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，宽为L的两固定光滑金属导轨水平放置，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量均为m、电阻值均为r的两导体棒ab和cd静止置于导轨上，其间距也为L，现给cd一向右的初速度v0，对它们之后的运动过程说法正确的是（ ）
A．ab的加速度越来越大，cd的加速度越来越小
B．回路产生的焦耳热为mv
C．通过ab的电荷量为
D．两导体棒间的距离最终变为L＋
【答案】BCD
【详解】A．由题知，ab、cd受到大小相等的安培力，且cd棒受到的安培力向左，其做减速运动，根据安培力公式和牛顿第二定律得
解得
其中v为cd棒的速度，故所以两棒的加速度均减小，故A错误；
B．棒ab和cd在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统动量守恒，以向右的方向为正方向，当两者共速时有
mv0＝2mv1
解得
v1＝v0
由能量守恒定律得
解得回路产生的焦耳热为
故B正确；
C．设整个过程中通过ab的电荷量为q，对ab棒，由动量定理得
又
所以
故C正确；
D．对cd棒，由动量定理得
解得
两导体棒间的距离最终变为，故D正确。
故选BCD。
（三）“电容器＋棒”模型
1．无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器充电
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动
运动特点和最终特征
棒做加速度a减小的加速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零
最终速度
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压U＝BLv
对棒应用动量定理：
mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq
v＝.
v－t图像
2．无外力放电式
基本模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电流的特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm
运动特点及最终特征
做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
最大速度vm
电容器充电电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLvm
电容器放电电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t图像
【例3】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则( )
A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝
D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势
【答案】ACD
【详解】当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab两端的电压U＝＝，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝，由于杆ab速度减小，则电流减小，所受安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Bl·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝，C正确；杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确．
【例4】(2017·天津卷·12)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．
【答案】(1)垂直于导轨平面向下 (2) (3)
【详解】(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下．
(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有
I＝①
设MN受到的安培力为F，有F＝IlB②
由牛顿第二定律，有F＝ma③
联立①②③式得a＝④
(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q0，有
Q0＝CE⑤
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝Blvmax⑥
依题意有E′＝⑦
设在此过程中流经MN的平均电流为，MN受到的平均安培力为，有＝lB⑧
由动量定理，有Δt＝mvmax－0⑨
又Δt＝Q0－Q⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝.
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型(不计摩擦力)
双棒无外力
双棒有外力
示意图
F为恒力
动力学观点
导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动
导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点
系统动量守恒
系统动量不守恒
能量观点
棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热
外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
【例5】(多选)(2019·全国卷Ⅲ·19)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是( )
【答案】AC
【详解】棒ab以初速度v0向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可知棒ab受到与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，这时两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝，选项A、C正确，B、D错误．
【例6】(2021·重庆北碚西南大学附中高三月考) 如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行且相距d，构成一矩形回路．导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计．设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，求：
(1)当cd棒速度减为0.6v0时，ab棒的速度v及加速度a的大小；
(2)ab、cd棒间的距离从d增大到最大的过程中，通过回路的电荷量q及两棒间的最大距离x.
【答案】(1)0.4v0 (2) d＋
【详解】(1)两棒系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有
mv0＝0.6mv0＋mv
解得v＝0.4v0
回路感应电动势E＝0.6BLv0－0.4BLv0
此时回路电流I＝
因此加速度a＝
整理得a＝
(2)ab、cd棒间有最大距离时两棒速度相等，根据动量守恒定律可得mv0＝2mv共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv共
而q＝Δt
解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BLΔ
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝
解得最大距离x＝d＋.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2的，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（ ）
A．S拨到2的瞬间，L1中的电流大于L2的
B．S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2
C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【答案】D
【详解】A．电源给电容器充电，稳定后，S拨到2的瞬间，电容器相当于电源，和导体棒L1和L2组成闭合电路，由于L1的电阻大于L2，则L1中的电流小于L2中的电流，故A错误；
B．S拨到2的瞬间，L1中的电流小于L2中的电流，根据
F=BIL
可得，L1受到的安培力小于L2受到的安培力，根据牛顿第二定律，L1的加速度小于L2的加速度，故B错误；
C．S拨到2后，由于导体棒L1和L2受到安培力的作用，则导体棒运动，产生电动势，当产生的电动势等于电容器两端的电压时，电路稳定，此时电容器C的电荷量不为零，故C错误；
D．S拨到2的瞬间，电容器放电，两棒均有向下的电流，导体棒会受到安培力作用，由以上分析可知，开始时，a1
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒bc、de静止在导轨上。t=0时，棒bc以初速度v0向右运动且不会与de相碰。运动过程中，bc、de始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别为vbc、vde，两者的加速度分别为abc、ade，通过bc横截面的电荷量为q，回路中的电流为I。下列图像中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．导体棒bc切割磁感线产生由b到c的感应电流，则导体棒bc受到向左的安培力，做减速运动，导体棒de受到向右的安培力，向右做加速运动，则感应电流
两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，每个导体棒所受的安培力大小
F=BIL
F随着电流的减小而减小，bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，设导体棒质量为m，当两者速度相等时，电流为零，由动量守恒定律得
mv0=2mv
两导体棒的速度最终为
v=
故A错误；
B．加速度随着电流的减小而减小，当两者速度相等时，电流为零，加速度为零，故B错误；
C．感应电流
两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，且bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，电流变化也越来越慢，最终为零，故C正确；
D．对bc棒用动量定理有
BILt=mv0-m
则
q=It=
电荷量应该是随时间的增加而增加，最后达到最大值，因为电流随时间减小，所以q-t图线的斜率也应该是减小，故D错误。
故选C。
3．（2022·全国·高三专题练习）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（ ）
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
【答案】B
【详解】A．图1中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电电流不断减小，安培力减小，则导体棒做变减速运动，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动，故A错误；
BD．图2中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终ab棒静止，故B正确，D错误；
C．根据
有
得
电荷量跟导体棒ab的动量变化量成正比，因为图1中导体棒的动量变化量小于图2，所以图1中通过R的电荷量小于图2中通过R的电荷量，故C错误。
故选B。
4．（2022·青海·海东市第一中学二模）如图，轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中心，O为圆心，轨道的电阻不计。OM是有一定电阻、可绕O点转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间有一与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使金属杆从OQ位置以恒定的角速度逆时针转过θ角到OM位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小从B增加到B1（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，且，则θ角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设半圆弧的半径为r，过程Ⅰ回路中磁通量变化
设OM的电阻为R，流过OM的电荷量
过程Ⅱ回路中磁通量变化
流过OM的电荷量
由于
联立解得
故B正确，ACD错误。
故选B。
5．（2022·上海奉贤·二模）如图所示，两光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为d，其左端接阻值为R的定值电阻，整个装置处于竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。一质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，且接触良好。现给导体棒一水平向右的初速度v1，经过时间t，导体棒MN向右运动的距离为x，速度为v2。不计金属导轨和导体棒MN的电阻。甲、乙两位同学根据以上条件，分别求解在时间t内通过电阻R的焦耳热Q，具体过程如下（ ）
甲同学：
在这段时间内，导体棒ab切割磁感线的感应电动势
所以
乙同学：
在导体棒向右运动的过程中，导体棒损失的动能最终转化为电阻R的焦耳热，则有
A．甲乙解法都正确 B．甲解法正确，乙解法错误
C．甲乙解法都错误 D．甲解法错误，乙解法正确
【答案】D
【详解】导体棒向右运动，切割磁感线产生感应电流 ，受到向左的安培力而做减速运动，随着速度的减小，感应电动势和感应电流减小，导体棒所受的安培力减小，导体棒做加速度减小的减速运动，安培力的平均值不断变化，不能用平均值求克服安培力做功，故甲同学的解法是错误的；根据功能关系，在导体棒向右运动的过程中，导体棒损失的动能最终转化为电阻 R 的焦耳热，与导体棒的运动的过程无关，可以用来求解产生的焦耳热，故乙同学的解法是正确的，故D 正确，ABC 错误 。
故选D。
6．（2022·湖南·长郡中学一模）如图，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度，经过一段时间后两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中a、b两棒组成的系统动量守恒
B．达到稳定状态时，a、b两棒的速度之比为2：1
C．金属棒b稳定时的速度大小为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
【答案】D
【详解】A．金属棒a、b长度不等，则所受安培力大小不等，即金属棒a、b棒组成的系统合外力不为0，故动量不守恒，A错误；
BC．对金属棒a、b分别由动量定理可得
，
联立可得
两金属棒最后匀速运动，回路中电流为0，则有
即
则
，
达到稳定状态时，速度之比为，BC错误；
D．由能量守恒知，回路产生的焦耳热为
则金属棒a产生的焦耳热为
D正确。
故选D。
7．（2021·江苏南京·高三阶段练习）如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（ ）
A．v的大小等于
B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右
C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右
D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为
【答案】C
【详解】A．根据动能定理可知
根据AB棒上产生的焦耳热可知
可解得
A错误；
BC．最终稳定后，则有
分别对两根导体棒列动量定理，则有
，
根据公式
，，
联立可解得
，
AB的速度方向向左，CD的速度方向向右，B错误、C正确；
D．根据能量守恒可知
D错误。
故选C。
8．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B，方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻，一根与导轨接触良好、有效阻值为R的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则（不计导轨电阻）（ ）
A．通过电阻R的电流方向为P→R→M
B．a、b两点间的电压为BLv
C．a端电势比b端高
D．外力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【答案】C
【详解】AC．根据右手定则可知，金属导线ab中的电流由，a相当于电源的正极，所以a端电势比b端高，所以通过电阻R的电流方向为M→R→P，故A错误，C正确；
B．电路中产生的感应电动势
a、b两点间的电压为
故B错误；
D．外力F做的功等于克服安培力做功，即等于电路中产生的总焦耳热，故D错误。
故选C。
9．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）如图甲所示，左侧接有定值电阻的水平平行且足够长的粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，导轨间距L=1m。一质量m=1kg、接入电路的阻值r=1Ω的金属棒在拉力F的作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v一x图像如图乙所示。若金属棒与导轨垂直且接触良好，与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，取g=10m/s2，则金属棒从静止开始向右运动的位移为x1=1m的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒中感应电流的方向为D→C B．通过电阻的电荷量为0.25C
C．拉力F做的功为8J D．导体棒产生的焦耳热为0.75J
【答案】C
【详解】A．由右手定则知金属棒中感应电流的方向为C→D，故A错误；
B．流过电阻的电荷量为
故B错误；
C．金属棒在运动为的过程中，克服摩擦力做功为
安培力的大小为
结合图像可知，安培力的大小与位移成正比，则金属棒克服安培力做功为
由动能定理得
解得
故C正确；
D．安培力做功转化为电路中的焦耳热，则电路中的焦耳热
导体棒产生的焦耳热为
故D错误。
故选C。
10．（2018·全国·高三专题练习）如图所示，两光滑平行长直导轨，水平放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场与导轨所在平面垂直．已知金属棒MN能沿导轨自由滑动，导轨一端跨接一个定值电阻R，金属棒与导轨电阻不计．金属棒在恒力F作用下从静止开始沿导轨向右运动，在以后过程中，下列表示金属棒速度v、加速度a、感应电动势E以及通过电阻R的电荷量q随时间t变化关系的图象错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．金属棒受到的安培力
由牛顿第二定律得
解得其加速度
金属棒做加速运动，速度不断增大，则加速度不断减小，直到零，金属棒开始做加速度减小的加速度运动，当加速度为零时，最后做匀速直线运动，故A错误；
B．由于金属棒做加速度减小的加速运动，的变化率越来越小，由
可知，减小的越来越慢，图象的斜率越来越小，故B正确；
C．根据电动势
由于金属棒做加速度减小的加速运动，则E逐渐增大，但E增加的越来越慢，即图象斜率逐渐减小，最后金属棒做匀速运动，E保持不变，故C正确；
D．通过电阻R的电荷量
由于金属棒做加速度越来越小的加速运动，金属棒的位移随时间增大，增加的越来越慢，通过R的电荷量随时间增加，但在相等时间内的增加量逐渐减小，故D正确．
此题选择不正确的选项，故选A。
二、多选题
11．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，整个空间区域存在着磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b始终垂直于导轨，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。金属导体棒a、b中点间连接一处于原长状态的轻质绝缘弹簧。某时刻给导体棒b一瞬时冲量，使其获得水平向右的初速度v0，经过足够长的时间后，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两棒最终将以大小为的共同速度向右匀速运动
B．a、b两棒最终都向右运动，但速度大小将周期性交替增减而不会共速
C．a棒上产生的焦耳热最终为mv
D．a棒上产生的焦耳热最终为mv
【答案】AC
【详解】AB．根据动量守恒有
mv0＝2mv共
可得
v共＝
所以经过足够长的时间后，a、b两棒最终都将以大小为的共同速度向右匀速运动，A正确，B错误；
CD．整个电路产生的焦耳热为
a棒上产生的焦耳热最终为
故C正确，D错误。
故选AC。
12．（2022·宁夏·吴忠中学三模）如图所示，两段均足够长、不等宽的光滑平行导轨固定在水平面上，较窄导轨的间距L1=1m，较宽导轨的间距L2=1.5m。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.5T、方向竖直向上的匀强磁场中，导体棒MN、PQ的质量分别为m1=0.4kg、m2=1.2kg，长度分别为1m、1.5m，电阻分别为R1=0.3Ω、R2=0.9Ω，两导体棒静止在水平导轨上。t=0时刻，导体棒MN获得v0=7m/s水平向右的初速度。导轨电阻忽略不计，导体棒MN、PQ始终与导轨垂直且接触良好，导体棒MN始终在较窄导轨上，取g=10m/s2则（ ）
A．t=0时刻，回路中的电流为
B．导体棒MN最终做匀速直线运动，速度大小为3m/s
C．通过导体棒MN的电荷量最大值为3.4C
D．导体棒PQ中产生的焦耳热最大值为4.2J
【答案】ABD
【详解】A．t=0时刻，回路中的电流为
故A正确；
BC．导体棒MN与PQ切割磁感线产生的电动势相互削弱，当两导体棒产生的电动势相等时，感应电流为零，安培力为零，两导体棒将做匀速直线运动，此时有
设从导体棒MN开始运动至导体棒MN、PQ做匀速运动所用的时间为，对导体棒MN由动量定理得
对导体棒PQ由动量定理得
又因为
解得
故B正确，C错误；
D．由能量守恒定律得
解得
故D正确。
故选ABD。
13．（2022·四川遂宁·模拟预测）如图所示，两导电性良好的光滑平行导轨倾斜放置，与水平面夹角为，间距为L。导轨中段正方形区域内存在垂直于轨道面向上的匀强磁场。电阻相等的金属棒a和b静止放在斜面上，a距磁场上边界为L。某时刻同时由静止释放a和b，a进入磁场后恰好做匀速运动；a到达磁场下边界时，b正好进入磁场，并匀速穿过磁场。运动过程中两棒始终保持平行，两金属棒与导轨之间导电良好，不计其他电阻和摩擦阻力，导轨足够长。则（ ）
A．a、b通过磁场区域的时间之比为
B．a、b质量之比为
C．a进入磁场时b两端的电压与b进入磁场时b两端的电压之比为1：1
D．a穿过磁场和b穿过磁场回路产生的焦耳热之比为2：1
【答案】AB
【详解】A．某时刻同时由静止释放a，a进入磁场后恰好做匀速运动，刚进入磁场前，由动能定理得
解得
则得
由电磁感应定律可知，金属棒a在磁场中产生的感应电动势为
设金属棒的电阻为R，由闭合电路欧姆定律，得回路中的电流
金属棒a处于平衡态，受力分析可知
可得
a到达磁场下边界时，b正好进入磁场，并匀速穿过磁场，所用时间为
对b从开始下到磁场上边界的总时间
此时
a、b通过磁场区域的时间之比为
A正确；
B．由于b匀速穿过磁场，则
又
a、b质量之比为
B正确；
C．a进入磁场时b两端的电压
b进入磁场时b两端的电压
则比值为
选项C错误；
D．由于b匀速穿过磁场，产生的感应电动势为E2，由闭合电路欧姆定律，得回路中的电流
由焦耳定律公式
可得金属棒a产生的焦耳热
金属棒b产生的焦耳热
可得
Qa∶Qb=1∶1
D错误。
故选AB。
14．（2022·河北·模拟预测）如图所示，电阻不计的两平行光滑金属导轨固定在竖直平面内，导轨上、下两端分别连接阻值为R1=0.6Ω、R2=1.2Ω的定值电阻，两导轨之间的距离为L=1m。矩形区域abcd内存在磁感应强度大小为B=1T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，ab、cd之间的距离为h1=1.5m。在cd下方有一垂直于导轨、长为L的导体棒MN，其质量为m=2kg，电阻为r=0.1Ω，最初MN与cd之间的距离为h2=2m，导体棒在竖直向上的恒力F=28N的作用下由静止开始运动。已知MN与导轨始终垂直且接触良好，取。则导体棒MN在磁场中运动的过程中（ ）
A．导体棒MN两端的电势差UMN=0.8V B．导体棒MN的热功率为6.4W
C．R1上产生焦耳热的最大值为8J D．流过R2的电荷量的最大值为1C
【答案】BD
【详解】A．导体棒MN在恒力F作用下向上匀加速的进入磁场，设进入磁场时速度为v，由牛顿第二定律
运动过程有
代入可解得
进入磁场，导体棒切割磁感线，产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律
电路中R1与R2的并联电阻为
导体棒MN的电流
则
可知进入磁场后导体棒匀速运动，产生的电动势恒定，电流恒定，则
导体棒MN两端的电势差
A错误；
B．导体棒MN的热功率为
B正确；
C．导体棒通过磁场所用时间
R1上产生焦耳热的最大值为
C错误；
D．流过R2的电荷量的最大值为
D正确。
故选BD。
三、解答题
15．（2022·重庆·模拟预测）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行导电导轨、，导轨间距离，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为，两根导体棒、放置在导轨上，并与导轨垂直，它们的质量均为，电阻均为，两导体棒与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数均为。时，分别给两导体棒平行导轨向左和向右的速度，已知导体棒的速度，导体棒的速度，重力加速度，导轨电阻可忽略，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力。
（1）求时刻，导体棒的加速度；
（2）求当导体棒向左运动的速度为零时，导体棒的速率；
（3）已知导体棒向左运动的速度为零后，向右运动速度变为零，求该过程经历的时间和导体棒产生的焦耳热。
【答案】（1），方向水平向右；（2）；（3），
【详解】（1）时刻，两导体棒和导轨构成回路，回路中的总电动势为
根据闭合电路欧姆定律可知回路中的电流为
对导体棒，根据牛顿第二定律可得
解得
时刻，导体棒的加速度大小为，方向水平向右；
（2）在导体棒、运动时，两导体棒受到的摩擦力大小相等，方向相反，根据左手定则可知两导体棒受到的安培力也等大反向，两导体棒组成的系统合力为零，满足动量守恒，以向右为正方向，当导体棒向左运动的速度为零时，根据动量守恒可得
解得导体棒的速率为
（3）导体棒的速率为时，回路的感应电动势为
导体棒受到的安培力为
由题意最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，则有
可知导体棒的速度为零后，不再运动，从导体棒的速度为零至导体棒的速度为零的过程，导体棒受到的安培力冲量为
对导体棒根据动量定理可得
解得
设导体棒产生的焦耳热为，根据能量守恒可得
解得
16．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求：
（1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0；
（2）电容器C释放的电荷量q；
（3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属棒ab落到斜面底端时，在竖直方向上有
解得
由几何关系
解得
（2）金属棒ab弹出瞬间，根据动量定理得
又因为
联立解得电容器C释放的电荷量为
（3）金属棒ab落在水平轨道时，根据动能定理有
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，所以金属棒ab和金属棒cd产生的感应电动势相等，即
此过程中，对金属棒ab根据动量定理得
对金属棒cd分析，根据动量定理得
解得
该过程中ab、cd产生的总热量为
解得
因cd棒接入电路中的电阻为ab棒的二分之一，则ab棒上产生的热量为
17．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，光滑导体轨道PMN和P′M′N′是两个完全一样的轨道，都是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和M′点相切，两轨道并列平行放置，MN和M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP′之间有一个阻值为R的电阻，开关S是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN′M′是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如图乙所示。金属棒a和b质量均为m、电阻均为R.在水平轨道某位置放上金属棒b，静止不动，a棒从圆弧顶端由静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终不接触，当两棒的速度稳定时，两棒距离x=，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，b棒离开轨道做平抛运动，在b棒离开轨道瞬间，开关S闭合。不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为g。求：
（1）两棒速度稳定时，两棒的速度；
（2）两棒落到地面后的距离；
（3）整个过程中，两棒产生的焦耳热。
【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得
解得a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时的速度
a棒向b棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，产生感应电流。a棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，b棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动；从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等，方向相反，所以两棒的总动量守恒，由动量守恒定律得
mv0=2mv1
解得两棒以相同的速度做匀速运动的速度
（2）经过一段时间，b棒离开轨道后，a棒与电阻R组成回路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道过程中a棒受到安培力的冲量
取向右为正方向，对a棒由动量定理
－IA=mv2－mv1
解得
v2=
由平抛运动规律得：两棒落到地面后的距离
（3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等
Qa=Qb
由能量守恒定律可知
解得
b棒离开轨道后，a棒与电阻R通过的电流大小总是相等，a棒与电阻R产生的焦耳热相等，由能量守恒定律可知
解得
所以整个过程中，a棒产生的焦耳热
18．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）小明是一个科技发明爱好者，疫情期间对连锁反应小开关很感兴趣，于是自己设计了一个，可以用于延时控制家里用电器的开关。如图所示，与水平方向成夹角，轨道间距为的两平行金属导轨，左端连接电容为的电容器，右端用绝缘光滑圆弧连接水平金属导轨，，并在轨道上放置静止的金属导体棒。在水平轨道末端两点安装绝缘的无摩擦固定转轴开关，若导体棒经过两点（无能量损失），转轴开关会顺时针转动90°以挡住后面的金属棒，金属导体棒则水平抛出，进入半圆形导轨，，若金属棒与轨道发生碰撞，金属棒不反弹，继续沿轨道运动，导轨半径为与水平面垂直，两点略高于两点，金属棒可无碰撞通过。半圆形导轨末端与水平面相切于（导体棒通过无能量损失），水平面动摩擦因数为，末端放置接触式开关。，长度为，a、b棒质量相同均为，电阻之比为2∶1，导轨摩擦均不计，磁感应强度。现将导体棒自静止释放，求：
（1）导体棒a运动至时的速度大小；
（2）水平金属导轨足够长，a、b棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，在该过程中棒上生热；
（3）接触式开关S放在何位置导体棒才能打开开关所控制的用电器。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对导体棒a受力分析
有
又电容两端电压等于导体棒产生的感应电动势
则流经导体棒的电流为
求得
根据
求得
（2）因为两根导体棒在磁场中所受安培力大小相等方向相反，可视为一对相互作用力，所以两棒系统动量守恒
求得
根据能量守恒定律
（3）若导体棒恰好通过位置
所以导体棒进入半圆型轨道先做平抛运动
导体棒与轨道恰好在与半圆轨道碰撞，根据几何关系
导体棒自运动至开关位置过程中，动能定理
接触式开关放在距离半圆型轨道末端
位置，导体棒才能打开开关所控制的用电器。
难点24 动量观点在电磁感应中的应用
一、动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
（一）“单棒＋电阻”模型
情景示例1
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q
－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝
求位移x
－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
应用技巧
初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度
情景示例2
间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v
求运动时间
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt
－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt
应用技巧
用动量定理求时间需有其他恒力参与．若已知运动时间，也可求q、x、v中的一个物理量
【例1】（多选）（2022·山西大同·高三阶段练习）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距，左端接一电阻，磁感应强度的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在导体棒的中点施加一个垂直棒的水平拉力，使其从静止开始运动，运动速度达到了最大，则从开始运动到达到最大速度过程中（ ）
A．导体棒做匀加速直线运动 B．导体棒最大速度为
C．电路中的最大电流为 D．通过导体棒的电荷量为
【答案】BC
【详解】BC．速度最大时，感应电动势最大为
最大感应电流
此时安培力
安培力与拉力相等
联立解得
故BC正确；
A．导体棒的加速度
随着速度增大，加速度逐渐减小，直到最后做匀速运动，故A错误；
D．通过导体棒的电荷量
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
（二）不等间距上的双棒模型
【例2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，宽为L的两固定光滑金属导轨水平放置，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量均为m、电阻值均为r的两导体棒ab和cd静止置于导轨上，其间距也为L，现给cd一向右的初速度v0，对它们之后的运动过程说法正确的是（ ）
A．ab的加速度越来越大，cd的加速度越来越小
B．回路产生的焦耳热为mv
C．通过ab的电荷量为
D．两导体棒间的距离最终变为L＋
【答案】BCD
【详解】A．由题知，ab、cd受到大小相等的安培力，且cd棒受到的安培力向左，其做减速运动，根据安培力公式和牛顿第二定律得
解得
其中v为cd棒的速度，故所以两棒的加速度均减小，故A错误；
B．棒ab和cd在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统动量守恒，以向右的方向为正方向，当两者共速时有
mv0＝2mv1
解得
v1＝v0
由能量守恒定律得
解得回路产生的焦耳热为
故B正确；
C．设整个过程中通过ab的电荷量为q，对ab棒，由动量定理得
又
所以
故C正确；
D．对cd棒，由动量定理得
解得
两导体棒间的距离最终变为，故D正确。
故选BCD。
（三）“电容器＋棒”模型
1．无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器充电
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动
运动特点和最终特征
棒做加速度a减小的加速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零
最终速度
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压U＝BLv
对棒应用动量定理：
mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq
v＝.
v－t图像
2．无外力放电式
基本模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电流的特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm
运动特点及最终特征
做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
最大速度vm
电容器充电电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLvm
电容器放电电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t图像
【例3】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则( )
A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝
D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势
【答案】ACD
【详解】当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab两端的电压U＝＝，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝，由于杆ab速度减小，则电流减小，所受安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Bl·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝，C正确；杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确．
【例4】(2017·天津卷·12)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．
【答案】(1)垂直于导轨平面向下 (2) (3)
【详解】(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下．
(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有
I＝①
设MN受到的安培力为F，有F＝IlB②
由牛顿第二定律，有F＝ma③
联立①②③式得a＝④
(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q0，有
Q0＝CE⑤
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝Blvmax⑥
依题意有E′＝⑦
设在此过程中流经MN的平均电流为，MN受到的平均安培力为，有＝lB⑧
由动量定理，有Δt＝mvmax－0⑨
又Δt＝Q0－Q⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝.
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型(不计摩擦力)
双棒无外力
双棒有外力
示意图
F为恒力
动力学观点
导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动
导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点
系统动量守恒
系统动量不守恒
能量观点
棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热
外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
【例5】(多选)(2019·全国卷Ⅲ·19)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图像中可能正确的是( )
【答案】AC
【详解】棒ab以初速度v0向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可知棒ab受到与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，这时两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝，选项A、C正确，B、D错误．
【例6】(2021·重庆北碚西南大学附中高三月考) 如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行且相距d，构成一矩形回路．导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计．设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，求：
(1)当cd棒速度减为0.6v0时，ab棒的速度v及加速度a的大小；
(2)ab、cd棒间的距离从d增大到最大的过程中，通过回路的电荷量q及两棒间的最大距离x.
【答案】(1)0.4v0 (2) d＋
【详解】(1)两棒系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有
mv0＝0.6mv0＋mv
解得v＝0.4v0
回路感应电动势E＝0.6BLv0－0.4BLv0
此时回路电流I＝
因此加速度a＝
整理得a＝
(2)ab、cd棒间有最大距离时两棒速度相等，根据动量守恒定律可得mv0＝2mv共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv共
而q＝Δt
解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BLΔ
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝
解得最大距离x＝d＋.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2的，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（ ）
A．S拨到2的瞬间，L1中的电流大于L2的
B．S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2
C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【答案】D
【详解】A．电源给电容器充电，稳定后，S拨到2的瞬间，电容器相当于电源，和导体棒L1和L2组成闭合电路，由于L1的电阻大于L2，则L1中的电流小于L2中的电流，故A错误；
B．S拨到2的瞬间，L1中的电流小于L2中的电流，根据
F=BIL
可得，L1受到的安培力小于L2受到的安培力，根据牛顿第二定律，L1的加速度小于L2的加速度，故B错误；
C．S拨到2后，由于导体棒L1和L2受到安培力的作用，则导体棒运动，产生电动势，当产生的电动势等于电容器两端的电压时，电路稳定，此时电容器C的电荷量不为零，故C错误；
D．S拨到2的瞬间，电容器放电，两棒均有向下的电流，导体棒会受到安培力作用，由以上分析可知，开始时，a1
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒bc、de静止在导轨上。t=0时，棒bc以初速度v0向右运动且不会与de相碰。运动过程中，bc、de始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别为vbc、vde，两者的加速度分别为abc、ade，通过bc横截面的电荷量为q，回路中的电流为I。下列图像中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．导体棒bc切割磁感线产生由b到c的感应电流，则导体棒bc受到向左的安培力，做减速运动，导体棒de受到向右的安培力，向右做加速运动，则感应电流
两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，每个导体棒所受的安培力大小
F=BIL
F随着电流的减小而减小，bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，设导体棒质量为m，当两者速度相等时，电流为零，由动量守恒定律得
mv0=2mv
两导体棒的速度最终为
v=
故A错误；
B．加速度随着电流的减小而减小，当两者速度相等时，电流为零，加速度为零，故B错误；
C．感应电流
两导体棒的相对速度减小，感应电流减小，且bc将做加速度减小的减速运动，de将做加速度增大的加速运动，电流变化也越来越慢，最终为零，故C正确；
D．对bc棒用动量定理有
BILt=mv0-m
则
q=It=
电荷量应该是随时间的增加而增加，最后达到最大值，因为电流随时间减小，所以q-t图线的斜率也应该是减小，故D错误。
故选C。
3．（2022·全国·高三专题练习）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（ ）
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
【答案】B
【详解】A．图1中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电电流不断减小，安培力减小，则导体棒做变减速运动，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动，故A错误；
BD．图2中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终ab棒静止，故B正确，D错误；
C．根据
有
得
电荷量跟导体棒ab的动量变化量成正比，因为图1中导体棒的动量变化量小于图2，所以图1中通过R的电荷量小于图2中通过R的电荷量，故C错误。
故选B。
4．（2022·青海·海东市第一中学二模）如图，轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中心，O为圆心，轨道的电阻不计。OM是有一定电阻、可绕O点转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间有一与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使金属杆从OQ位置以恒定的角速度逆时针转过θ角到OM位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小从B增加到B1（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，且，则θ角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设半圆弧的半径为r，过程Ⅰ回路中磁通量变化
设OM的电阻为R，流过OM的电荷量
过程Ⅱ回路中磁通量变化
流过OM的电荷量
由于
联立解得
故B正确，ACD错误。
故选B。
5．（2022·上海奉贤·二模）如图所示，两光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为d，其左端接阻值为R的定值电阻，整个装置处于竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。一质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，且接触良好。现给导体棒一水平向右的初速度v1，经过时间t，导体棒MN向右运动的距离为x，速度为v2。不计金属导轨和导体棒MN的电阻。甲、乙两位同学根据以上条件，分别求解在时间t内通过电阻R的焦耳热Q，具体过程如下（ ）
甲同学：
在这段时间内，导体棒ab切割磁感线的感应电动势
所以
乙同学：
在导体棒向右运动的过程中，导体棒损失的动能最终转化为电阻R的焦耳热，则有
A．甲乙解法都正确 B．甲解法正确，乙解法错误
C．甲乙解法都错误 D．甲解法错误，乙解法正确
【答案】D
【详解】导体棒向右运动，切割磁感线产生感应电流 ，受到向左的安培力而做减速运动，随着速度的减小，感应电动势和感应电流减小，导体棒所受的安培力减小，导体棒做加速度减小的减速运动，安培力的平均值不断变化，不能用平均值求克服安培力做功，故甲同学的解法是错误的；根据功能关系，在导体棒向右运动的过程中，导体棒损失的动能最终转化为电阻 R 的焦耳热，与导体棒的运动的过程无关，可以用来求解产生的焦耳热，故乙同学的解法是正确的，故D 正确，ABC 错误 。
故选D。
6．（2022·湖南·长郡中学一模）如图，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度，经过一段时间后两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中a、b两棒组成的系统动量守恒
B．达到稳定状态时，a、b两棒的速度之比为2：1
C．金属棒b稳定时的速度大小为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
【答案】D
【详解】A．金属棒a、b长度不等，则所受安培力大小不等，即金属棒a、b棒组成的系统合外力不为0，故动量不守恒，A错误；
BC．对金属棒a、b分别由动量定理可得
，
联立可得
两金属棒最后匀速运动，回路中电流为0，则有
即
则
，
达到稳定状态时，速度之比为，BC错误；
D．由能量守恒知，回路产生的焦耳热为
则金属棒a产生的焦耳热为
D正确。
故选D。
7．（2021·江苏南京·高三阶段练习）如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（ ）
A．v的大小等于
B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右
C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右
D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为
【答案】C
【详解】A．根据动能定理可知
根据AB棒上产生的焦耳热可知
可解得
A错误；
BC．最终稳定后，则有
分别对两根导体棒列动量定理，则有
，
根据公式
，，
联立可解得
，
AB的速度方向向左，CD的速度方向向右，B错误、C正确；
D．根据能量守恒可知
D错误。
故选C。
8．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B，方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻，一根与导轨接触良好、有效阻值为R的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则（不计导轨电阻）（ ）
A．通过电阻R的电流方向为P→R→M
B．a、b两点间的电压为BLv
C．a端电势比b端高
D．外力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【答案】C
【详解】AC．根据右手定则可知，金属导线ab中的电流由，a相当于电源的正极，所以a端电势比b端高，所以通过电阻R的电流方向为M→R→P，故A错误，C正确；
B．电路中产生的感应电动势
a、b两点间的电压为
故B错误；
D．外力F做的功等于克服安培力做功，即等于电路中产生的总焦耳热，故D错误。
故选C。
9．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）如图甲所示，左侧接有定值电阻的水平平行且足够长的粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，导轨间距L=1m。一质量m=1kg、接入电路的阻值r=1Ω的金属棒在拉力F的作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v一x图像如图乙所示。若金属棒与导轨垂直且接触良好，与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，取g=10m/s2，则金属棒从静止开始向右运动的位移为x1=1m的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒中感应电流的方向为D→C B．通过电阻的电荷量为0.25C
C．拉力F做的功为8J D．导体棒产生的焦耳热为0.75J
【答案】C
【详解】A．由右手定则知金属棒中感应电流的方向为C→D，故A错误；
B．流过电阻的电荷量为
故B错误；
C．金属棒在运动为的过程中，克服摩擦力做功为
安培力的大小为
结合图像可知，安培力的大小与位移成正比，则金属棒克服安培力做功为
由动能定理得
解得
故C正确；
D．安培力做功转化为电路中的焦耳热，则电路中的焦耳热
导体棒产生的焦耳热为
故D错误。
故选C。
10．（2018·全国·高三专题练习）如图所示，两光滑平行长直导轨，水平放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场与导轨所在平面垂直．已知金属棒MN能沿导轨自由滑动，导轨一端跨接一个定值电阻R，金属棒与导轨电阻不计．金属棒在恒力F作用下从静止开始沿导轨向右运动，在以后过程中，下列表示金属棒速度v、加速度a、感应电动势E以及通过电阻R的电荷量q随时间t变化关系的图象错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．金属棒受到的安培力
由牛顿第二定律得
解得其加速度
金属棒做加速运动，速度不断增大，则加速度不断减小，直到零，金属棒开始做加速度减小的加速度运动，当加速度为零时，最后做匀速直线运动，故A错误；
B．由于金属棒做加速度减小的加速运动，的变化率越来越小，由
可知，减小的越来越慢，图象的斜率越来越小，故B正确；
C．根据电动势
由于金属棒做加速度减小的加速运动，则E逐渐增大，但E增加的越来越慢，即图象斜率逐渐减小，最后金属棒做匀速运动，E保持不变，故C正确；
D．通过电阻R的电荷量
由于金属棒做加速度越来越小的加速运动，金属棒的位移随时间增大，增加的越来越慢，通过R的电荷量随时间增加，但在相等时间内的增加量逐渐减小，故D正确．
此题选择不正确的选项，故选A。
二、多选题
11．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，整个空间区域存在着磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b始终垂直于导轨，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。金属导体棒a、b中点间连接一处于原长状态的轻质绝缘弹簧。某时刻给导体棒b一瞬时冲量，使其获得水平向右的初速度v0，经过足够长的时间后，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两棒最终将以大小为的共同速度向右匀速运动
B．a、b两棒最终都向右运动，但速度大小将周期性交替增减而不会共速
C．a棒上产生的焦耳热最终为mv
D．a棒上产生的焦耳热最终为mv
【答案】AC
【详解】AB．根据动量守恒有
mv0＝2mv共
可得
v共＝
所以经过足够长的时间后，a、b两棒最终都将以大小为的共同速度向右匀速运动，A正确，B错误；
CD．整个电路产生的焦耳热为
a棒上产生的焦耳热最终为
故C正确，D错误。
故选AC。
12．（2022·宁夏·吴忠中学三模）如图所示，两段均足够长、不等宽的光滑平行导轨固定在水平面上，较窄导轨的间距L1=1m，较宽导轨的间距L2=1.5m。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.5T、方向竖直向上的匀强磁场中，导体棒MN、PQ的质量分别为m1=0.4kg、m2=1.2kg，长度分别为1m、1.5m，电阻分别为R1=0.3Ω、R2=0.9Ω，两导体棒静止在水平导轨上。t=0时刻，导体棒MN获得v0=7m/s水平向右的初速度。导轨电阻忽略不计，导体棒MN、PQ始终与导轨垂直且接触良好，导体棒MN始终在较窄导轨上，取g=10m/s2则（ ）
A．t=0时刻，回路中的电流为
B．导体棒MN最终做匀速直线运动，速度大小为3m/s
C．通过导体棒MN的电荷量最大值为3.4C
D．导体棒PQ中产生的焦耳热最大值为4.2J
【答案】ABD
【详解】A．t=0时刻，回路中的电流为
故A正确；
BC．导体棒MN与PQ切割磁感线产生的电动势相互削弱，当两导体棒产生的电动势相等时，感应电流为零，安培力为零，两导体棒将做匀速直线运动，此时有
设从导体棒MN开始运动至导体棒MN、PQ做匀速运动所用的时间为，对导体棒MN由动量定理得
对导体棒PQ由动量定理得
又因为
解得
故B正确，C错误；
D．由能量守恒定律得
解得
故D正确。
故选ABD。
13．（2022·四川遂宁·模拟预测）如图所示，两导电性良好的光滑平行导轨倾斜放置，与水平面夹角为，间距为L。导轨中段正方形区域内存在垂直于轨道面向上的匀强磁场。电阻相等的金属棒a和b静止放在斜面上，a距磁场上边界为L。某时刻同时由静止释放a和b，a进入磁场后恰好做匀速运动；a到达磁场下边界时，b正好进入磁场，并匀速穿过磁场。运动过程中两棒始终保持平行，两金属棒与导轨之间导电良好，不计其他电阻和摩擦阻力，导轨足够长。则（ ）
A．a、b通过磁场区域的时间之比为
B．a、b质量之比为
C．a进入磁场时b两端的电压与b进入磁场时b两端的电压之比为1：1
D．a穿过磁场和b穿过磁场回路产生的焦耳热之比为2：1
【答案】AB
【详解】A．某时刻同时由静止释放a，a进入磁场后恰好做匀速运动，刚进入磁场前，由动能定理得
解得
则得
由电磁感应定律可知，金属棒a在磁场中产生的感应电动势为
设金属棒的电阻为R，由闭合电路欧姆定律，得回路中的电流
金属棒a处于平衡态，受力分析可知
可得
a到达磁场下边界时，b正好进入磁场，并匀速穿过磁场，所用时间为
对b从开始下到磁场上边界的总时间
此时
a、b通过磁场区域的时间之比为
A正确；
B．由于b匀速穿过磁场，则
又
a、b质量之比为
B正确；
C．a进入磁场时b两端的电压
b进入磁场时b两端的电压
则比值为
选项C错误；
D．由于b匀速穿过磁场，产生的感应电动势为E2，由闭合电路欧姆定律，得回路中的电流
由焦耳定律公式
可得金属棒a产生的焦耳热
金属棒b产生的焦耳热
可得
Qa∶Qb=1∶1
D错误。
故选AB。
14．（2022·河北·模拟预测）如图所示，电阻不计的两平行光滑金属导轨固定在竖直平面内，导轨上、下两端分别连接阻值为R1=0.6Ω、R2=1.2Ω的定值电阻，两导轨之间的距离为L=1m。矩形区域abcd内存在磁感应强度大小为B=1T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，ab、cd之间的距离为h1=1.5m。在cd下方有一垂直于导轨、长为L的导体棒MN，其质量为m=2kg，电阻为r=0.1Ω，最初MN与cd之间的距离为h2=2m，导体棒在竖直向上的恒力F=28N的作用下由静止开始运动。已知MN与导轨始终垂直且接触良好，取。则导体棒MN在磁场中运动的过程中（ ）
A．导体棒MN两端的电势差UMN=0.8V B．导体棒MN的热功率为6.4W
C．R1上产生焦耳热的最大值为8J D．流过R2的电荷量的最大值为1C
【答案】BD
【详解】A．导体棒MN在恒力F作用下向上匀加速的进入磁场，设进入磁场时速度为v，由牛顿第二定律
运动过程有
代入可解得
进入磁场，导体棒切割磁感线，产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律
电路中R1与R2的并联电阻为
导体棒MN的电流
则
可知进入磁场后导体棒匀速运动，产生的电动势恒定，电流恒定，则
导体棒MN两端的电势差
A错误；
B．导体棒MN的热功率为
B正确；
C．导体棒通过磁场所用时间
R1上产生焦耳热的最大值为
C错误；
D．流过R2的电荷量的最大值为
D正确。
故选BD。
三、解答题
15．（2022·重庆·模拟预测）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行导电导轨、，导轨间距离，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为，两根导体棒、放置在导轨上，并与导轨垂直，它们的质量均为，电阻均为，两导体棒与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数均为。时，分别给两导体棒平行导轨向左和向右的速度，已知导体棒的速度，导体棒的速度，重力加速度，导轨电阻可忽略，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力。
（1）求时刻，导体棒的加速度；
（2）求当导体棒向左运动的速度为零时，导体棒的速率；
（3）已知导体棒向左运动的速度为零后，向右运动速度变为零，求该过程经历的时间和导体棒产生的焦耳热。
【答案】（1），方向水平向右；（2）；（3），
【详解】（1）时刻，两导体棒和导轨构成回路，回路中的总电动势为
根据闭合电路欧姆定律可知回路中的电流为
对导体棒，根据牛顿第二定律可得
解得
时刻，导体棒的加速度大小为，方向水平向右；
（2）在导体棒、运动时，两导体棒受到的摩擦力大小相等，方向相反，根据左手定则可知两导体棒受到的安培力也等大反向，两导体棒组成的系统合力为零，满足动量守恒，以向右为正方向，当导体棒向左运动的速度为零时，根据动量守恒可得
解得导体棒的速率为
（3）导体棒的速率为时，回路的感应电动势为
导体棒受到的安培力为
由题意最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，则有
可知导体棒的速度为零后，不再运动，从导体棒的速度为零至导体棒的速度为零的过程，导体棒受到的安培力冲量为
对导体棒根据动量定理可得
解得
设导体棒产生的焦耳热为，根据能量守恒可得
解得
16．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求：
（1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0；
（2）电容器C释放的电荷量q；
（3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属棒ab落到斜面底端时，在竖直方向上有
解得
由几何关系
解得
（2）金属棒ab弹出瞬间，根据动量定理得
又因为
联立解得电容器C释放的电荷量为
（3）金属棒ab落在水平轨道时，根据动能定理有
解得
最终匀速运动时，电路中无电流，所以金属棒ab和金属棒cd产生的感应电动势相等，即
此过程中，对金属棒ab根据动量定理得
对金属棒cd分析，根据动量定理得
解得
该过程中ab、cd产生的总热量为
解得
因cd棒接入电路中的电阻为ab棒的二分之一，则ab棒上产生的热量为
17．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，光滑导体轨道PMN和P′M′N′是两个完全一样的轨道，都是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和M′点相切，两轨道并列平行放置，MN和M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP′之间有一个阻值为R的电阻，开关S是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN′M′是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如图乙所示。金属棒a和b质量均为m、电阻均为R.在水平轨道某位置放上金属棒b，静止不动，a棒从圆弧顶端由静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终不接触，当两棒的速度稳定时，两棒距离x=，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，b棒离开轨道做平抛运动，在b棒离开轨道瞬间，开关S闭合。不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为g。求：
（1）两棒速度稳定时，两棒的速度；
（2）两棒落到地面后的距离；
（3）整个过程中，两棒产生的焦耳热。
【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得
解得a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时的速度
a棒向b棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，产生感应电流。a棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，b棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动；从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等，方向相反，所以两棒的总动量守恒，由动量守恒定律得
mv0=2mv1
解得两棒以相同的速度做匀速运动的速度
（2）经过一段时间，b棒离开轨道后，a棒与电阻R组成回路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道过程中a棒受到安培力的冲量
取向右为正方向，对a棒由动量定理
－IA=mv2－mv1
解得
v2=
由平抛运动规律得：两棒落到地面后的距离
（3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等
Qa=Qb
由能量守恒定律可知
解得
b棒离开轨道后，a棒与电阻R通过的电流大小总是相等，a棒与电阻R产生的焦耳热相等，由能量守恒定律可知
解得
所以整个过程中，a棒产生的焦耳热
18．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）小明是一个科技发明爱好者，疫情期间对连锁反应小开关很感兴趣，于是自己设计了一个，可以用于延时控制家里用电器的开关。如图所示，与水平方向成夹角，轨道间距为的两平行金属导轨，左端连接电容为的电容器，右端用绝缘光滑圆弧连接水平金属导轨，，并在轨道上放置静止的金属导体棒。在水平轨道末端两点安装绝缘的无摩擦固定转轴开关，若导体棒经过两点（无能量损失），转轴开关会顺时针转动90°以挡住后面的金属棒，金属导体棒则水平抛出，进入半圆形导轨，，若金属棒与轨道发生碰撞，金属棒不反弹，继续沿轨道运动，导轨半径为与水平面垂直，两点略高于两点，金属棒可无碰撞通过。半圆形导轨末端与水平面相切于（导体棒通过无能量损失），水平面动摩擦因数为，末端放置接触式开关。，长度为，a、b棒质量相同均为，电阻之比为2∶1，导轨摩擦均不计，磁感应强度。现将导体棒自静止释放，求：
（1）导体棒a运动至时的速度大小；
（2）水平金属导轨足够长，a、b棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，在该过程中棒上生热；
（3）接触式开关S放在何位置导体棒才能打开开关所控制的用电器。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对导体棒a受力分析
有
又电容两端电压等于导体棒产生的感应电动势
则流经导体棒的电流为
求得
根据
求得
（2）因为两根导体棒在磁场中所受安培力大小相等方向相反，可视为一对相互作用力，所以两棒系统动量守恒
求得
根据能量守恒定律
（3）若导体棒恰好通过位置
所以导体棒进入半圆型轨道先做平抛运动
导体棒与轨道恰好在与半圆轨道碰撞，根据几何关系
导体棒自运动至开关位置过程中，动能定理
接触式开关放在距离半圆型轨道末端
位置，导体棒才能打开开关所控制的用电器。
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