河南省2023-2024学年高三上学期一轮复习摸底测试（一）数学试题

2023—2024学年度高三一轮复习摸底测试卷

数学（一）

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台的体积约为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，A，B，C三个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，其中开关A控制着2，3，4号灯，开关B控制着1，3，4号灯，开关C控制着1，2，4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动A，B，C这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知正三棱锥的四个顶点均在一个半径为2的球面上，则该正三棱锥体积的最大值为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（    ）

A. 异面直线AE与BC所成的角为 B.

C. 平面平面CDE D. 直线AE与平面BDE所成的角为

10. 若函数，则（    ）

A.   B. 有两个极值点

C. 曲线的切线的斜率可以为－2 D. 点是曲线的对称中心

11. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（    ）

A. C的准线方程为

B.

C. 若点，则

D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上

12. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ）

A.   B.

C.   D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知的展开式中各项系数的和为4，则实数a的值为______.

14. 写出与圆C：和圆D：都相切的一条直线的方程______.

15. 已知直线是曲线与的公切线，则______.

16. 某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A，B，C，其中灯B位于灯A的正东400m处.小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯B的最短距离为50m.当小王行走到点M处时，他与灯A，B的距离之比为，则此时他与灯C的距离为______m.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）当数列的公差为0时，记数列的前n项和为，求证：.

18.（本小题满分12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求C；

（2）若，于点D，求线段CD长度的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，已知正方形ABCD是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上，，，点F是CE的中点.

（1）求点B到平面ACE的距离；

（2）求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求的极值；

（2）当时，证明：.

21.（本小题满分12分）

网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：

（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？

（2）网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概率为.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为；若上午选择在乙直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；

（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.

附：，其中.

22.（本小题满分12分）

已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.

（1）求C的方程；

（2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.

数学（一）

一、选择题

1. D 【解析】由题得集合，又，所以.故选D.

2. A 【解析】由，得，所以，故z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.

3. A 【解析】由，得，整理得，所以.故选A.

4. B 【解析】设光岳楼墩台的高为h，则，所以光岳楼墩台的体积约为.故选B.

5. D 【解析】先后按动A，B，C中的两个不同的开关，有种方法，若要1号灯亮，则按第一个开关时，1号灯灭，按第二个开关时，1号灯亮，此时对应的方法有2种：，；若要2号灯亮，同理可得有以下2种方法：，，故所求的概率为.故选D.

6. C 【解析】由题意可知，的最小正周期，因为，所以为的一条对称轴，则在之后的零点依次为，，，，…，若在区间上恰有3个零点，则.故选C.

7. D 【解析】由题意得，，，设，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，，所以，，所以.故选D.

8. C 【解析】易知当正三棱锥的体积最大时，其外接球的球心在正三棱锥内部.如图，

在正三棱锥中，设，外接圆的圆心为D，半径为r，正三棱锥外接球的球心为O，半径，则，连接PD，则平面ABC，且点O在线段PD上，连接OA，则，所以正三棱锥的体积，令，则，所以.设，则，令，得或（舍去），则当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即最大值，则此时V最大，.故选C.

二、选择题

9. ABC 【解析】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，又，所以，即异面直线AE与BC所成的角为，A正确；连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面ABCD，所以，又，，OE，平面ACE，所以平面ACE，又平面ACE，所以，B正确；由对称性可知，，所以四边形AFCE为平行四边形，所以，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE，同理平面CDE，又，AF，平面ABF，所以平面平面CDE，C正确；由，，得，在正方形ABCD中，，又，所以平面BEDF，所以即为直线AE与平面BDE所成的角，设该八面体的棱长为2，则，所以，所以，D错误.故选ABC.

10. BD 【解析】由题得，所以，解得，A错误；所以，，则当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，B正确；，所以曲线的切线的斜率不可能为－2，C错误；因为，所以点是曲线的对称中心，D正确.故选BD.

11. AD 【解析】由题意可得，准线方程为，A正确；由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F，且斜率不为0，设直线AB：，联立，消去x得，，所以，B错误；若点，则，所以，所以，，所以，C错误；易知直线OA：，联立，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，D正确.故选AD.

12. BCD 【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选BCD.

三、填空题

13. 7 【解析】令，得，解得.

14. （或或，写出一个即可） 【解析】由题意得，圆C与圆D相外切，且，，将两圆的方程相减即得两圆的内公切线方程：.因为圆C与圆D的半径相等，故外公切线与直线CD平行，又，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为，即，则，解得或，所以两条外公切线的方程为或.综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或.

15. 【解析】设是曲线上的一点，，所以在点处的切线方程为，即，令，解得，又，所以，，所以或.当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去.当时，切线方程为，故，，所以.

16. 【解析】以点C为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为，且，由小王与灯B的最短距离为50m，得，又，则，.由于点M与灯A，B的距离之比为，所以可设点M与灯A，B的距离分别为3k，2k，，由椭圆的定义可知，解得，所以，，所以.由，得，所以，即此时小王与灯C的距离为.

四、解答题

17. 解：（1）设数列的公差为d，

由，，成等比数列，得，

即，

即，解得或.（3分）

当时，；

当时，.

综上所述，或.（5分）

（2）由（1）可知，当数列的公差不为0时，，

则，（6分）

所以，（8分）

所以

，

又，所以.（10分）

18. 解：（1）因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，

所以，（3分）

则

，（4分）

又因为A，，所以，，

所以，所以.（6分）

（2）由（1）可知，

所以由余弦定理得，

即，当且仅当时取等号.（9分）

因为的面积，

所以，

所以线段CD长度的最大值为.（12分）

19. 解：（1）∵线段AB是圆O的直径，

∴，

∴.（1分）

∵平面ABE，AE，平面ABE，

∴，，

∴.（2分）

又，BC，平面BCE，

∴平面BCE，∴.（3分）

设点B到平面ACE的距离为d，

则由，得，

∴，

即点B到平面ACE的距离为.（5分）

（2）由（1）可知，

以点E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，.（7分）

设平面ABF的法向量为，

则，

取，则，

由（1）可知，平面BEF的一个法向量为.（10分）

设二面角的大小为，由图可知为锐角，

则，

即二面角的余弦值为.（12分）

20. 解：（1）由题得，

令，得，（2分）

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.（5分）

（2）由（1）可知的最大值为，（6分）

故要证当时，，

只需证当时，，

即证当时，.（8分）

设，，

则，

所以在上单调递增，（10分）

所以，

所以当时，.（12分）

21. 解：（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.

经计算得，（2分）

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联.（3分）

（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，

则，，

，（5分）

由全概率公式可得，

所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为.（7分）

（3）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，

可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为，（8分）

则，

记，，

则，

则问题等价于求当k取何值时取最大值.（9分）

解法1：

由，

化简得，

即，

所以，（11分）

因，解得，

所以使事件“”的概率取最大值的k的值为40007.（12分）

解法2：

因为，，

所以当时，；

当时，；

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.（11分）

又，

所以，

且，

所以当时，取最大值，

即使事件“”的概率取最大值的k的值为40007.（12分）

22. 解：（1）由已知得，

解得，

所以双曲线C的方程为.（4分）

（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，

设，，则，

由（1）可知，双曲线C的渐近线为，

又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，

则，即.（6分）

联立，消去x得，

则，得，

，，

则，（8分）

又，

所以，，

所以，

所以，（10分）

又，有公共点F，

所以B，F，D三点共线，

所以直线BD过点F.（12分）