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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 两条直线的相交、距离问题（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 两条直线的相交、距离问题（含解析），共31页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1. 两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
2. 距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【题型归纳】
题型一： 相交直线的交点坐标
1．直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
2．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A．B．
C．D．
3．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型二： 两点间的距离公式
4．已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．以，，为顶点的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．2
6．F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（ ）
A．B．C．5D．12
题型三： 点到直线的距离公式
7．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
8．已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．2B．C．D．
题型四： 两平行线间的距离公式
10．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
11．直线：与：之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
12．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
13．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．B．C．D．
16．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0B．y＋2x－1＝0C．.y＋2x＋1＝0D．2y＋x＋1＝0
17．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
18．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A．B．
C．D．0
19．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
20．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．或2
21．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y－3＝0
22．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A．B．C．D．
23．直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
24．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
25．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．B．C．D．
26．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
27．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
29．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
一、单选题
31．设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
32．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
33．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
34．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3B．，C．-2，0D．，
35．点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
36．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
37．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A．B．C．D．
二、多选题
38．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0B．
C．5D．－
39．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
40．已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．B．C．D．
41．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，
D．若点，则在C上存在点M，使得
三、填空题
42．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
43．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
44．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
45．方程组有无穷多组解，则实数___________
46．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
47．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.
四、解答题
48．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
49．已知点到直线的距离为1，求C的值．
50．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．
51．已知直线l：，（）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
52．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】
由直线 与直线互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
2．A
【解析】
【分析】
联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【详解】
由解得，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：，即．
故选：A．
3．D
【解析】
【分析】
首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解；
【详解】
解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】
表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
先求出及直线的方程，再利用距离公式求出到直线的距离，按照三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，
故三角形的面积为.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
依据两点间距离公式去求
【详解】
点在抛物线上，则，解之得，则
又抛物线的焦点F，准线
则直线MF的方程为，则N
则
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】
解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.
【详解】
以向量为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为，即
则点到直线l的距离
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
求出令，得，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
，令，得，
则点到直线的距离就是所求的最短距离，
即.
故选：D.
10．D
【解析】
【分析】
先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
由可得，即与平行，故与之间的距离为.
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】
因为直线与直线平行,
所以,解得,
将化为,
所以两平行直线与之间的距离为.
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
15．D
【解析】
【分析】
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
16．A
【解析】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.
【详解】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
17．C
【解析】
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
18．B
【解析】
【分析】
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
19．D
【解析】
根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】
∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直线的方程，属于基础题．
20．C
【解析】
【分析】
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
21．A
【解析】
【分析】
根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.
【详解】
当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.
【详解】
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】
设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
25．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围
【详解】
直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C
28．D
【解析】
【分析】
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
29．D
【解析】
【分析】
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
30．D
【解析】
【分析】
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
31．A
【解析】
【分析】
利用的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】
表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.
32．B
【解析】
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
33．C
【解析】
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
34．B
【解析】
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】
，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
35．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
36．C
【解析】
根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.
【详解】
直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
37．B
【解析】
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】
双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
38．AB
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
39．ABD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.
【详解】
对于A，恒成立，恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确.
故选：ABD.
40．BC
【解析】
【分析】
所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】
所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．
故选：BC.
41．BCD
【解析】
【分析】
结合两点的距离公式计算即可判断A；
利用对称的特点即可判断B；
利用坐标表示向量的线性运算即可判断C；
结合点到直线的距离即可判断D.
【详解】
选项A：设，由条件，，即，所以C的方程为，故A错误；
选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确；
选项C：，
，所以，故，故C正确；
选项D：由知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为，圆C的圆心到l的距离，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得，故D正确.
故选：BCD
42．
【解析】
【分析】
通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】
设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
43．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
44．
【解析】
【分析】
由题知所求式子为与两点间距离的平方，根据已知等式可知直线上的点到直线上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.
【详解】
∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
45．
【解析】
【分析】
由已知关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，根据两条直线重合对应系数成比例，构造关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：若关于的方程组有无穷多组解，
则直线与直线重合，
即，
解得，
故答案为．
【点睛】
本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中根据已知分析出两条直线重合是解答本题的关键，是基础题．
46．
【解析】
先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】
由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，
直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.
故答案为：.
【点睛】
本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
47．
【解析】
【分析】
联立已知直线的方程可得交点的坐标，根据两直线垂直求出直线的斜率，根据点斜式即可得直线的方程.
【详解】
由，解可得，
所以两直线的交点坐标为，
则直线过点，
因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即，
故答案为：.
48．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】
设，
由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：， 由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
49．15或5
【解析】
【分析】
直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】
点到直线的距离为，
即，
故，
即或
50．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；
（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程．
【详解】
解（1）直线的倾斜角为，
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
（2）设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
∴直线的方程为或
51．(1)；(2) S的最小值为16，直线l的方程为
【解析】
【分析】
(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围；
(2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】
(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得，
当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以.
(2)设直线l为，因为在直线上，所以.
又，所以，两边同时平方得：，，当且仅当，即，时取等号，所以的面积为，此时直线方程为，化简得：.
52．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】
（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
1. 两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
2. 距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【题型归纳】
题型一： 相交直线的交点坐标
1．直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
2．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为( )
A．B．
C．D．
3．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型二： 两点间的距离公式
4．已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．以，，为顶点的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．2
6．F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（ ）
A．B．C．5D．12
题型三： 点到直线的距离公式
7．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
8．已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．2B．C．D．
题型四： 两平行线间的距离公式
10．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
11．直线：与：之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
12．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
13．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．B．C．D．
16．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0B．y＋2x－1＝0C．.y＋2x＋1＝0D．2y＋x＋1＝0
17．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
18．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A．B．
C．D．0
19．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是1
D．过与直线l平行的直线方程是
20．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．或2
21．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y－3＝0
22．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A．B．C．D．
23．直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
24．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
25．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．B．C．D．
26．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
27．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
29．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
一、单选题
31．设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
32．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
33．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
34．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3B．，C．-2，0D．，
35．点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
36．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
37．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A．B．C．D．
二、多选题
38．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0B．
C．5D．－
39．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
40．已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．B．C．D．
41．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，
D．若点，则在C上存在点M，使得
三、填空题
42．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
43．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
44．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
45．方程组有无穷多组解，则实数___________
46．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
47．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.
四、解答题
48．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
49．已知点到直线的距离为1，求C的值．
50．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．
51．已知直线l：，（）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
52．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】
由直线 与直线互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
2．A
【解析】
【分析】
联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【详解】
由解得，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：，即．
故选：A．
3．D
【解析】
【分析】
首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解；
【详解】
解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】
表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
先求出及直线的方程，再利用距离公式求出到直线的距离，按照三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，
故三角形的面积为.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
依据两点间距离公式去求
【详解】
点在抛物线上，则，解之得，则
又抛物线的焦点F，准线
则直线MF的方程为，则N
则
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】
解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.
【详解】
以向量为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为，即
则点到直线l的距离
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
求出令，得，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
，令，得，
则点到直线的距离就是所求的最短距离，
即.
故选：D.
10．D
【解析】
【分析】
先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
由可得，即与平行，故与之间的距离为.
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】
因为直线与直线平行,
所以,解得,
将化为,
所以两平行直线与之间的距离为.
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
15．D
【解析】
【分析】
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
16．A
【解析】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.
【详解】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
17．C
【解析】
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
18．B
【解析】
【分析】
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
19．D
【解析】
根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】
∵：，即，
∴直线的斜率，
∴，则A错；
又，则B错；
点到直线的距离是，则C错；
过与直线平行的直线方程是，即，则D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直线的方程，属于基础题．
20．C
【解析】
【分析】
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
21．A
【解析】
【分析】
根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.
【详解】
当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.
【详解】
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】
设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
25．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围
【详解】
直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C
28．D
【解析】
【分析】
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
29．D
【解析】
【分析】
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
30．D
【解析】
【分析】
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
31．A
【解析】
【分析】
利用的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】
表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.
32．B
【解析】
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
33．C
【解析】
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
34．B
【解析】
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】
，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
35．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
36．C
【解析】
根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.
【详解】
直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
37．B
【解析】
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】
双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
38．AB
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
39．ABD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.
【详解】
对于A，恒成立，恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确.
故选：ABD.
40．BC
【解析】
【分析】
所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】
所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．
故选：BC.
41．BCD
【解析】
【分析】
结合两点的距离公式计算即可判断A；
利用对称的特点即可判断B；
利用坐标表示向量的线性运算即可判断C；
结合点到直线的距离即可判断D.
【详解】
选项A：设，由条件，，即，所以C的方程为，故A错误；
选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确；
选项C：，
，所以，故，故C正确；
选项D：由知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为，圆C的圆心到l的距离，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得，故D正确.
故选：BCD
42．
【解析】
【分析】
通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】
设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
43．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
44．
【解析】
【分析】
由题知所求式子为与两点间距离的平方，根据已知等式可知直线上的点到直线上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.
【详解】
∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
45．
【解析】
【分析】
由已知关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，根据两条直线重合对应系数成比例，构造关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：若关于的方程组有无穷多组解，
则直线与直线重合，
即，
解得，
故答案为．
【点睛】
本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中根据已知分析出两条直线重合是解答本题的关键，是基础题．
46．
【解析】
先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】
由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，
直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.
故答案为：.
【点睛】
本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
47．
【解析】
【分析】
联立已知直线的方程可得交点的坐标，根据两直线垂直求出直线的斜率，根据点斜式即可得直线的方程.
【详解】
由，解可得，
所以两直线的交点坐标为，
则直线过点，
因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即，
故答案为：.
48．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】
设，
由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：， 由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
49．15或5
【解析】
【分析】
直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】
点到直线的距离为，
即，
故，
即或
50．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；
（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程．
【详解】
解（1）直线的倾斜角为，
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
（2）设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
∴直线的方程为或
51．(1)；(2) S的最小值为16，直线l的方程为
【解析】
【分析】
(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围；
(2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】
(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得，
当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以.
(2)设直线l为，因为在直线上，所以.
又，所以，两边同时平方得：，，当且仅当，即，时取等号，所以的面积为，此时直线方程为，化简得：.
52．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】
（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
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