湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷

这是一份湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x(x−3)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=−33x与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且|AB|=32|F1F2|.则双曲线C的离心率为（ ）
A．13+13B．3+12C．7+13D．5
9．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（00，函数f(x)=ex+acsx，g(x)=2asin(x+π4).若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上有且仅有4个实数根，则实数a的取值范围是 .
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=1，Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2).
（1）证明：数列{Sn+1+Sn}是等比数列，并求Sn；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．（10分）抖音（TikTk）是由今日头条推出的一款短视频分享APP，于2016年9月上线，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取100人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：
该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于3小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音的时长大于1小时且小于3小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于1小时，则称为“轻度沉迷”.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
（1）根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？
（2）该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这100名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取20位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户50元、100元、150元的购书券奖励.现从这20位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和X的分布列和期望.
19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，ED⊥平面ABCD，FB//ED，AB=ED，设FB=λED(00，a≠0，求12|a|+|a|2(b+2)的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，集合A={y|y=sinx，x∈R}=[−1，1]，B={x|x(x−3)b>0)，
结合题意及三视图可得：a=8b=3，
所以椭圆（部分）对应的标准方程为y264+x29=1，
将点(332，y0)代入，可得y0=±4.
故该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为8+4=12（米）.
故答案为：C.
【分析】以长轴中点为坐标原点，长轴为y轴，垂直长轴为x轴，建立平面直角坐标系，设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，结合题意及三视图可得a，b的值，从而得出椭圆（部分）对应的标准方程，再利用已知条件结合代入法，即将点(332，y0)代入，可得y0的值，从而得出该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度。
6．【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】输入k=1，第一次循环：120，所以sinx0>0，csx0>0，所以x0=π4+kπ，k∈Z，由图观察知两种临界位置x0分别为k=2时，x0=9π4；k=4时，x0=17π4，进而得出此两种情况对应的a值，从而得出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）证明：因为Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2)，所以Sn+1+Sn=2(Sn+Sn−1)(n≥2)，
因为a1=1，a2=1，所以S1=1，S2=2，S1+S2=3，
所以数列{Sn+1+Sn}是首项为3，公比为2的等比数列，
即Sn+1+Sn=3×2n−1，n∈N∗，经检验n=1 也成立，整理可得Sn+1+Sn=2n+2n−1，n∈N∗，
由于S2−21=−(S1−20)=0，∴S2=21，S3−22=−(S2−21)=0，∴S3=22 ，…，∴Sn=2n−1，n∈N∗ ；
（2）解：由（1）知：Sn=2n−1，n∈N∗， an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−2=2n−2(n≥2)，又a1=1，
∴an=1，n=12n−2，n≥2 ，bn=nan=1，n=1n·2n−2，n≥2 ，
当n≥2时，Tn=1+2×20+3×21+4×22+⋯+n×2n−2…①，
2Tn=1×2+2×21+3×22+4×23+⋯+n×2n−1…②，
-②得：−Tn=1+21+22+23+⋯+2n−2−n×2n−1=1−2n−11−2−n⋅2n−1=(1−n)⋅2n−1−1，
Tn=(n−1)⋅2n−1+1，
又n=1 时，T1=1×a1=1也满足上式，所以Tn=(n−1)⋅2n−1+1，n∈N∗；
综上，：Sn=2n−1，n∈N∗，Tn=(n−1)⋅2n−1+1，n∈N∗.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 Sn+1=Sn+2Sn−1(n≥2)，所以Sn+1+Sn=2(Sn+Sn−1)(n≥2)，再利用a1=1，a2=1，所以S1=1，S2=2，S1+S2=3，再结合等比数列的定义判断出数列{Sn+1+Sn}是首项为3，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出Sn+1+Sn=2n+2n−1，n∈N∗，进而得出数列{an}的前n项和。
（2） 利用数列{an}的通项公式结合bn=nan，进而得出{bn}的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列{bn}的前n项和。
18．【答案】（1）解：由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：20+25=45（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；
非“重度沉迷”的抖音用户女性有：20+15=35（人），“重度沉迷”的抖音用户女性有：14人
填写列联表如下：
根据列联表中的数据计算可得K2=100×(45×14−35×6)280×20×49×51≈4.412>3.841，
因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.
（2）解：由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有6+14=20（人），“中度沉迷”的抖音用户有25+15=40（人），“轻度沉迷”的抖音用户有20+20=40（人）.
抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有20100×20=4（人），40100×20=8（人），40100×20=8（人），
X的所有可能取值为100，150，200，250，300，
则P(X=100)=C42C202=395；P(X=150)=C41⋅C81C202=1695；P(X=200)=C82+C41⋅C81C202=619；P(X=250)=C81⋅C81C202=3295；P(X=300)=C82C202=1495.
所以X的分布列为：
故购书券总和X的数学期望为
E(X)=100×395+150×1695+200×619+250×3295+300×1495=220.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出2×2列联表，再结合列联表和独立性检验的方法判断出有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出 “重度沉迷”的抖音用户、“中度沉迷”的抖音用户和“轻度沉迷”的抖音用户的人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．【答案】（1）解：存在，且λ=14，理由如下：
因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，BD与AC互相垂直且平分，
因为∠ADC=120°，所以∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形.
因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC，ED⊥BD，
因为ED∩BD=D，ED⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF.
又EM⊂平面BDEF，所以AC⊥EM.
过点F作FG⊥DE于点G，易得四边形BDGF为矩形，
设AB=ED=1λFB=2a，则BD=FG=2a，BM=DM=12BD=a，
因为FB//ED，所以FB⊥BD，所以EM2=DE2+DM2=5a2，
EF2=GF2+GE2=4a2+(2a−2λa)2，FM2=BF2+BM2=a2+4λ2a2.
欲使EM⊥平面AFC，只需EM⊥MF，
即EM2+FM2=EF2，所以5a2+a2+4λ2a2=4a2+(2a−2λa)2，解得λ=14.
所以存在实数λ，使得EM⊥平面AFC，且λ=14.
（2）解：如图，以D为原点，AB边上的垂直平分线所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=ED=2FB=2a，则D(0，0，0)，E(0，0，2a)，A(3a，−a，0)，B(3a，a，0)，F(3a，a，a)，C(0，2a，0)，
所以AE=(−3a，a，2a)，EF=(3a，a，−a)，CE=(0，−2a，2a).
设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，
则AE⋅n=0EF⋅n=0，所以−3x+y+2z=03x+y−z=0，
解得x=−3yz=−2y，令y=1，则平面AEF的一个法向量为n=(−3，1，−2).
设平面CEF的法向量为m=(x′，y′，z′)，则CE⋅m=0EF⋅m=0，所以−2y′+2z′=03x′+y′−z′=0，
解得x′=0z′=y′，令y′=1，则平面CEF的一个法向量为m=(0，1，1).
设锐二面角的平面角为θ，则csθ=|m⋅n|m|⋅|n||=12×22=14.
故平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为14.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 存在，且λ=14，理由如下：利用四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，BD与AC互相垂直且平分，再利用∠ADC=120°，所以∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形，再结合ED⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以ED⊥AC，ED⊥BD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥平面BDEF，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以AC⊥EM，过点F作FG⊥DE于点G，易得四边形BDGF为矩形，设AB=ED=1λFB=2a，则BD=FG=2a，BM=DM=12BD=a，再利用FB//ED，所以FB⊥BD，再结合勾股定理得出λ的值， 从而得出存在实数λ，使得EM⊥平面AFC，且λ=14。
（2） 以D为原点，AB边上的垂直平分线所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=ED=2FB=2a，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面AEF的法向量和平面CEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值。
20．【答案】（1）证明：因为椭圆C2：x22+y2=1，所以椭圆的焦点坐标分别为(−1，0)，(1，0)，
又抛物线C1：y2=2px(p>0)与椭圆C2存在相同的焦点，所以p2=1，p=2，
故抛物线的方程为y2=4x，
因为第一象限内曲线C1上的一点M(t，s)到其焦点的距离为2，曲线C1的准线为x=−1，
所以根据抛物线的定义得t+1=2，所以t=1，则s2=4t=4，故s=2（负值舍去），则M(1，2)，
因为直线MA，MB关于直线x=t，即x=1对称，所以两直线的斜率之和为0，
设直线MA，MB的方程分别为y−2=k(x−1)和y−2=−k(x−1)（k≠0，且存在），
联立方程y2=4xy−2=k(x−1)，消去x，得y2−4ky+8k−4=0，
则由Δ=(−4k)2−4(8k−4)=16(1k−1)2>0，解得k≠1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+2=4k，2y1=8k−4，
所以y1=4k−2代入y2=4x，得点A的坐标为((4k−2)24，4k−2)，
同理可得点B的坐标为((−4k−2)24，−4k−2)，
所以kAB=4k−2−(−4k−2)(4k−2)24−(−4k−2)24=8k−32k4=−1，即直线AB的斜率为定值.
（2）解：方法一：
依题意，设椭圆C2上关于直线AB对称的两点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，PQ的中点为D(x0，y0)，直线AB的方程为y=−x+m，即x+y−m=0，直线PQ的方程为y=x+b.
联立方程x22+y2=1y=x+b，消去y，得3x2+4bx+2b2−2=0，
则由Δ=16b2−12(2b2−2)>0，解得b2