2023-2024学年九师联盟高三（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年九师联盟高三（上）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={y|y=ln(x2+e)}，B={x|x= 4−y2}，则A∩B=( )
A. [1,+∞)B. [1,2]C. [1,2)D. (1,2)
2.已知复数z=2+i，则|zz−−1|=( )
A. 1B. 72C. 102D. 3 22
3.已知单位向量e1，e2的夹角为π3，则|e1−t(e1−e2)|(t∈R)的最小值为( )
A. 12B. 32C. 1D. 34
4.从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A，B，C，D，E，F慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求A，B相邻，C在D的左边，则不同的站法共有( )
A. 480种B. 240种C. 120种D. 60种
5.已知函数f(x)=2cs(ωx+π6)(ω>0)在(0,π)有且仅有2个极值点，且在(π3,11π24)上单调递增，则ω的取值范围为( )
A. [52,176]B. [52,4]C. [2,176]D. [2,83]
6.设a=23，b=ln2，c=sin1，则( )
A. b>c>aB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
7.设数列{an}的前n项和为Sn，an+2+2an3an+1=1，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，(2+λ)(Sn+1)lg2a2n>lg22an+1恒成立，则( )
A. λ>0B. λ>−12C. λ>−1D. λ>−32
8.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交C于M，N两点，线段MN的中点为E，过E作线段MN的中垂线交x轴于点R，过M，N两点分别作C的准线的垂线，垂足分别为A，B.线段AB的中点为P，则|PF||ER|=( )
A. 1B. 12C. 2D. 13
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某市高三一模物理成绩X近似服从正态分布X～N(70,σ2)(σ>0)，且P(X≥80)=0.2，则( )
A. P(X0且a≠1)，若a>b，且ea⋅b>eb⋅a，则( )
A. lnb−aab−1
C. (a+1)ln(b+1)>(b+1)ln(a+1)D. lga+1a>lgb+1b
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式.高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系.如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长10m，下底边长16m，侧棱长8m，则此四棱台的体积为______ m3．
14.已知α,β∈(0,π2)，且sin(α−β)=2sinβcsα，则α−β的最大值为______ ．
15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，C为△PF1F2的内心，O为坐标原点，则直线PC与OP的斜率之比kPCkOP= ______ .(用a，b表示)
16.若xex−exlnx>mx−ex恒成立，则正整数m的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsin2A+B2= 3csinB．
(1)求C；
(2)若边AB上的高CD=2，当△ABC的面积取最小值时，求△ABC内切圆的面积．
18.(本小题12.0分)
已知数列{an}的各项均为正数，a1=1，Sn为{an}的前n项和，且an=2Sn+Sn−1(n≥2)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=Sn2+Sn+12Sn4⋅Sn+14，记{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F2M交另一条渐近线于点N，且|F2M|=|MN|，
(1)求C的方程；
(2)如图，过A(6,0)作直线l(l不与x轴重合)与曲线C的两支交于P，Q两点，直线F1P，F1Q与C的另一个交点分别为S，T，求证：直线ST经过定点．
22.(本小题12.0分)
已知f(x)=axex−x−lnx−1(a∈R)．
(1)若a=1e，求f(x)在(0,t](t>0)上的最小值h(t)；
(2)若f(x)有2个零点x1，x2(x123，
所以b>a；
②再比较b与c的大小：
令f(x)=sinx−ln(1+x)(0b，
所以c>b>a．
故选：C．
由23>2.82>e2，得2>e23，两边取对数，即可判断a与b的大小关系；令f(x)=sinx−ln(1+x)(0n2，也就是2+λ>n2(2n−1)⋅2n恒成立．
设f(n)=n2(2n−1)⋅2n，
则f(n+1)−f(n)=(n+1)2(2n+1)⋅2n+1−n2(2n−1)⋅2n=−2n3+n2−1(4n2−1)⋅2n+1，
当n≥1时，f(n+1)−f(n)12，解得λ>−32．
故选：D．
由已知数列递推式可得数列{an+1−an}是以2为公比，1为首项的等比数列，求其通项公式，再由累加法求得an，进一步得到Sn，代入(2+λ)(Sn+1)lg2a2n>lg22an+1，分离参数λ，构造函数f(n)=n2(2n−1)⋅2n，利用作差法判断单调性，求其最大值，即可求解λ的取值范围．
本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设直线MN：x=ty+ρ2，联立x=ty+p2y2=2px⇒y2−2pty−p2=0，所以y1+y2=2pty1y2=−p2，
则x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+b，得E(pt2+p2,pt)，
线段MN的中垂线方程为x=−1t(y−pt)+pt2+p2，
令y=0，得x=pt2+32p.所R(pt2+32p,0)，所以|RF|=pt2+p，
|EP|=pt2+p，所以|RF|=|EP|.又RF//EP，所以四边形EPFR为平行四边形，
|ER|=|PF|，所以|PF||ER|=1．
故选：A．
设直线MN：x=ty+ρ2，与抛物线联立方程组，进而求得E，R的坐标，进面可得以|RF|=|EP|.进而求得|PF||ER|的值．
本题考查抛物线的性质，考查数形结合思想，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由题可知，P(X1b>1或01)，p′(x)=1−xex，
所以当x∈(1,+∞)时，p(x)单调递减，
又a>b>1，
所以aeah(b)，即a−1lna>b−1lnb，
所以(a−1)lnb>(b−1)lna，
所以lnba−1>lnab−1，即ba−1>ab−1，故B正确；
对于C：令g(x)=lnxx，则g′(x)=1−lnxx2，
所以在(0,e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(e,+∞)上，g′(x)b+1>2，当2(a+1)ln(b+1)，故C错误；
对于D：令t(x)=lnxln(1+x)，则t′(x)=1xln(x+1)−1x+1lnxln2(1+x)=(x+1)ln(1+x)−xlnxx(x+1)ln2(1+x)，
令m(x)=xlnx，m′(x)=1+lnx>1，即m(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以(x+1)ln(x+1)>xlnx，t′(x)>0，t(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以lnaln(a+1)>lnbln(b+1)，即lgb+1a>lgb+1b，故D正确．
故选：ABD．
对于A：由lgab>0，可知a>1b>1或01b>1且a>b时，eaab>1，令p(x)=xcx(x>1)，求导分析单调性，可得beag(b+1)，即可判断C是否正确；对于D：令t(x)=lnxln(1+x)，求导分析单调性，可得lnaln(a+1)>lnbln(b+1)，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】172 46
【解析】解：四棱台上底边长10m，下底边长16m，侧棱长8m，
如图，过D作DE⊥平面A′B′C′D′，E为垂足，
D′E=8 2−5 2=3 2，
DE= 82−(3 2)2= 46，
此四棱台的体积为V=13(162+ 162×102+102)× 46=172 46．
故答案为：172 46．
过D作DE⊥平面A′B′C′D′，E为垂足，求出D′E=3 2，DE= 82−(3 2)2= 46，由此能求出此四棱台的体积．
本题考查四棱台体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】π6
【解析】解：因为sin(α−β)=2sinβcsα，
所以sinαcsβ−csαsinβ=2sinβcsα，即sinαcsβ=3csαsinβ，
所以tanα=3tanβ，
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanatanβ=2tanβ1+3tan2β=23tanβ+1tanβ≤22 3tanβ⋅1tanβ= 33，
当且仅当3tanβ=1tanβ，即tanβ= 33时，取等号，
又α,β∈(0,π2)，所以−π2mxex恒成立，令f(x)=x−lnx+1，g(x)=xex，利用导数研究函数f(x)，g(x)的单调性与极值，由{f(x)−mg(x)}min>0，即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)2bsin2A+B2= 3csinB⇒b[1−cs(A+B)]= 3csinB，
即b(1+csC)= 3csinB⇒sinB(1+csC)= 3sinCsinB= 3csinB，
又sinB≠0，所以1+csC= 3sinC，即2cs2C2=2 3sinC2csC2，
由因为C2∈(0,π4)，所以2csC2≠0，可得csC2= 3sinC2即tanC2= 33，
所以C2=π6，即C=π3；
(2)因为△ABC为锐角三角形，所以D在边AB上，且不与A，B重合，
设∠ACD=α，∠BCD=π3−α，在△ACD中，AC=CDcsα=2csα，
在△BCD中，BC=CDcs(π3−α)=2cs(π3−α)，
所以S△ABC=12CA⋅CBsinπ3= 34⋅2csα⋅2cs(π3−α)= 3csα⋅(12csα+ 32sinα)= 34cs2α+ 34sin2α+14= 32sin(2α+π6)+14，
由题意α∈(0,π3)，则2α+π6∈(π6,5π6)，
当2a+π6=π2，即a=π6时，等号成立，
当△ABC的面积取最小值时，设△ABC内切圆的半径为r，易得△ABC为等边三角形，
则S△ABC=3×12×2csπ6×r=43 3⇒r=23，
所以△ABC内切圆的面积S=πr2=49π．
【解析】(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用可得tanC2= 33，结合C2∈(0,π4)，即可求解C的值；
(2)设∠ACD=α，可得S△ABC= 32sin(2α+π6)+14，结合α∈(0,π3)的范围，即可求得△ABC的面积取最小值，再结合当△ABC的面积取最小值时，设△ABC内切圆的半径为r，易得△ABC为等边三角形，即可求得△ABC内切圆的面积，
本题考查了三角函数恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】(1)解：依题意，当n≥2时，由an=2Sn+Sn−1及an=Sn−Sn−1，
可得Sn−Sn−1=2Sn+Sn−1，
化简整理，可得Sn2−Sn−12=2，
∵S12=1，
∴数列{Sn2}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn2=1+2⋅(n−1)=2n−1，
又∵an>0，n∈N*，
∴Sn>0，
∴Sn= 2n−1，n∈N*，
则当n≥2时，an=Sn−Sn−1= 2n−1− 2n−3，
∵当n=1时，a1=1不符合上式，
∴an=1,n=1 2n−1− 2n−3,n≥2．
(2)证明：由题意及(1)，
可得bn=Sn2+Sn+12Sn4⋅Sn+14
=2n−1+2n+1(2n−1)2⋅(2n+1)2
=4n(2n−1)2⋅(2n+1)2
=12⋅[1(2n−1)2−1(2n+1)2]，
∴Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=12⋅(112−132)+12⋅(132−152)+⋅⋅⋅+12⋅[1(2n−1)2−1(2n+1)2]
=12⋅[112−132+132−152+⋅⋅⋅+1(2n−1)2−1(2n+1)2]
=12⋅[112−1(2n+1)2]
=12−12(2n+1)2
0，x+1>0，
g(x)=ex−1−1x在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，
所以x∈(0,1)时，g(x)0，f(x)单调递增，
所以当01时，h(t)=f(1)=−1，
所以h(t)=tet−1−t−lnt−1,01；
(2)①因为f(x)=axex−x−lnx−1=axex−ln(xex)−1，
设t=xex，则t=xex在(0,+∞)上单调递增，且t的取值范围是(0,+∞)，
设t1=x1ex1，t2=x2ex2，f(x)有2个零点x1，x2(x10，F(t)单调递增；当t∈(1,+∞)时，F′(t)0，且t→0时，F(t)→−∞；当t→+∞时，F(t)→0．
令F(t)=0，得t=1e，所以函数y=F(t)的图象过点(1e,0)；
函数y=F(t)的大致图象如图：

所以，仅当0 m− 1m，
设H(x)=1lnx− x+ 1x，(x>1)
所以H(x)在(1,+∞)上为增函数，H(m)>H(1)=0，
所以t1t2