2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷（一）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设A={x|x+1x≤3}，B={x|x2≤9}，则A∩B中整数个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知母线长为5的圆锥的侧面积为20π，则这个圆锥的体积为( )
A. 12πB. 16πC. 24πD. 48π
3. 若△ABC是锐角三角形，则复数z=(csB−sinA)+i(sinB−csA)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a−b+c−d=0B. a−b−c+d=0
C. a+b−c−d=0D. a+b+c+d=0
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N*)，则有( )
A. {an}为等差数列B. {an}为等比数列C. {Sn}为等差数列D. {Sn}为等比数列
6. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此人在开车前至少要休息(参考数据：lg2≈0.301，1g3≈0.477)( )
A. 4.1小时B. 4.2小时C. 4.3小时D. 4.4小时
7. 已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导数是f′(x)，且f(x)⋅f′(x)+sinx>0恒成立，则( )
A. f(π2)f(−π2)
C. |f(π2)||f(−π2)|
8. 若正三棱锥P−ABC满足|AB+AC+AP|=1，则其体积的最大值为( )
A. 172B. 184C. 196D. 1108
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，且1a>1b，则ab0，则ab>a+cb+c
10. 设正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1，BB1，BC的中点分别为E，F，G，则( )
A. ∠EFG=4∠EGF
B. 平面EGF与正方体各面夹角相等
C. E，F，G，D1四点共面
D. 四面体C−EFG，D1−EFG体积相等
11. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(x0)=f(x0+1)= 22，且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是( )
A. f(x0+12)=1
B. 若x0=0，则f(x)=sin(πx+π4)
C. f(x)的最小正周期为4
D. f(x)在(0,2024)上的零点个数最少为1012个
12. 已知直线y=a与曲线y=xex相交于A，B两点，与曲线y=lnxx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A. x2=aex2B. x2=lnx1C. x3=ex2D. x1+x3>2x2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线f(x)=(x+a)ex在点(0,f(0))处的切线与直线y=−12x垂直，则a= ______ ．
14. 若圆(x−1)2+(y−1)2=2关于直线y=kx+3对称，则k的值是______ ．
15. 如图，正四棱锥P−ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为 ．
16. 已知数列{an}的各项均为非零实数，其前n项和为Sn，a1=1，且对于任意的正整数n均有Sn+1+Sn=an+12．
(1)若a3=−2，则a2= ______ ；
(2)若a2023=−2022，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是an= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，∠BCD=135°，BD= 5CD= 10．
(Ⅰ)求sin∠CBD的值；
(Ⅱ)若△ABD的面积为4，求AD的长．
18. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=12，当n≥2时，an=nan−1+1n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：a2a1+a3a2+……+an+1an0)，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且100≤x≤275)，调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%，技术人员的年人均投入调整为a(m−2x25)万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P在C上，且△PF1F2的周长为6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(4,0)的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求△ABE的面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−a)(ex+1)，g(x)=axlnx+x+e−2(a∈R)，设max{m,n}表示m，n的最大值，设F(x)=max{f(x),g(x)}．
(1)讨论f′(x)在(0,+∞)上的零点个数；
(2)当x>0时F(x)≥0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={x|x+1x≤3}，B={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，
∴集合B中元素包含的整数有−3，−2，−1，0，1，2，3．
以上整数满足集合A中不等式的有−3，−2，−1，1，2，
故A∩B中整数个数为5，
故选：D．
由题意，先求出集合B，可得B中的元素，带入集合A中检验，可得A∩B中整数个数．
本题主要考查不等式的解法，求集合的交集，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，
∵圆锥的侧面积为20π，
∴5πr=20π，∴r=4，
∴h= 25−r2=3，
∴V=13πr2h=π3×16×3=16π．
故选：B．
根据圆锥的侧面积与体积公式，即可求解
本题考查圆锥的侧面积与体积公式，方程思想，属基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据三角形是锐角三角形，得到A+B>90°，变形为B>90°−A，根据三角函数在第一象限的单调性，得到csBcsA，判断出复数对应的点的位置．
本题考查复数和三角函数的问题，复数的几何意义，属于基础题．
【解答】
解：∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B>90°，B>90°−A，
∴csBcsA，
∴csB−sinA0，
∴z对应的点在第二象限．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，解题时要结合实际情况注意公式的灵活运用，属于基础题．
观察四个选取项，由题设条件知a−b+c−d=BA+CD=0．
【解答】
解：∵在平行四边形ABCD中OA=a,OB=b,OC=c,OD=d，
∴a−b+c−d=BA+DC=0．
故答案选：A．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，有an=2Sn−1，两式相减可得：
an+1−an=2(Sn−Sn−1)=2an，即an+1=3an，
则有an+1an=3(n≥2)，又a1=1，
当n=1时，a2=2S1=2，所以a2a1=2，
所以数列{an}的通项公式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2，
故数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，
当n≥2时，Sn=12an+1=3n−1，
又n=1时，S1=a1=1，适合上式，
所以Sn=3n−1，n∈N*，
又由Sn+1Sn=3，可得数列{Sn}为公比为3的等比数列，
综上可得选项D正确．
故选：D．
由递推式a1=1，an+1=2Sn可推得式为an=1,n=12⋅3n−2,n≥2，可判定AB选项；根据条件得出Sn=3n−1，可判定CD选项．
本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：设经过x小时，血液中的酒精含量为y，
则y=0.3×(1−25%)x=0.3×0.75x，
由0.3×0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，
则xlg0.75≤lg0.3，
因为lg0.750恒成立，
∴g′(x)=2f(x)⋅f′(x)+2sinx>0，
∴y=g(x)在定义域上是增函数，
∴g(π2)>g(−π2)，
即f2(π2)>f2(−π2)，
∴|f(π2)|>|f(−π2)|．
故选：D．
构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性比较大小，即可求解．
本题考查导数的综合应用，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设正三棱锥的底边长为a，侧棱长为b，
∵1=|AB+AC+AP|2=a2+a2+b2+2a2×12+2ab×a2b+2ab×a2b=5a2+b2，
又VP−ABC=13⋅S△ABC⋅h=13⋅ 34a2⋅ b2−13a2=112 3a4−16a6，00，a−b>0，
∴(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a>bc−b，C错误．
对于D，∵a>b>c>0，∴a−b>0，b+c>0
则ab−a+cb+c=ab+ac−ab−bcb(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，
∴ab>a+cb+c，D正确．
故选：AD．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1，BB1，BC的中点分别为E，F，G，
不妨设正方体的棱长为2a，
则FG= 2a，EF= 2a，EG= 6a，
所以cs∠EFG=2a2+2a2−6a22× 2a× 2a=−12，
从而∠EFG=120°，∠EGF=30°，故∠EFG=4∠EGF，故A正确；
由于平面EGF/​/平面CD1B1，又平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等，
即平面EGF与正方体各面夹角相等，故B正确；
由于FG与ED1异面，∴E，F，G，D1四点不共面，故C错误；
由于CD1/​/平面EFG，∴C、D1到平面EFG距离相等，故选项D正确．
故选：ABD．
对于A，设正方体的棱长为2a，推导出∠EFG=120°，∠EGF=30°，从而∠EFG=4∠EGF；对于B，由于平面EGF/​/平面CD1B1，平面CD1B1的一个法向量C1A与正方体各面的夹角相等，从而平面EGF与正方体各面夹角相等；对于C，FG与ED1异面；对于D，CD1/​/平面EFG，从而C、D1到平面EFG距离相等．
本题考查正方体结构特征、二面角定义、异面直线、四面体体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A项，由题意得，f(x)在(x0,x0+1)的区间中点处取得最大值，
所以f(x0+x0+12)=f(x0+12)=1，所以A正确；
对于B项，假设若x0=0，则f(x)=sin(πx+π4)成立，由A项知，f(12)=1，
而而f(12)=sin3π4= 22≠1，故假设不成立，则B项错误；
对于C项，f(x0)=f(x0+1)= 22，且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值，无最小值，
不妨令ωx0+φ=−34π+2kπ，ω(x0+1)+φ=π4+2kπ，k∈Z，
则两式相减，得ω=π2，即函数的最小正周期T=2πω=4，故C项正确；
对于D项，因为T=4，所以函数f(x)在区间(0,2024)上的长度恰好为506个周期，
当f(0)=0，即φ=kπ，k∈Z时，f(x)在区间(0,2024)上的零点个数至少为506×2−1=1011个，故D项错误．
故选AC．
根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案．
本题考查三角函数的性质的应用及函数的零点的求法，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：直线y=a与曲线y=xex相交于A，B两点，与曲线y=lnxx相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，
设f(x)=xex，得f′(x)=1−xex，x∈(−∞,0)，f′(x)>0，函数是增函数，x∈(1,+∞)，f′(x)0，函数是增函数，x∈(e,+∞)，g′(x)