2023-2024年湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024年湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {−1,0}C. {−2,−1,0}D. {0,1,2}
2. 命题“对于任意正数x，都有x+1>0”的否定是( )
A. 对于任意正数x，都有x+1<0B. 对于任意正数x，都有x+1≤0
C. 存在正数x，使得x+1≤0D. 存在非正数x，使得x+1≤0
3. 高斯函数f(x)=[x]也叫取整函数，其符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[−1.6]=−2.已知a，b∈R，则“[a]=[b]”是“|a−b|<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知一扇形的圆心角为40∘，半径为9，则该扇形的面积为( )
A. 9πB. 12πC. 18πD. 36π
5. 函数f(x)=x23−3|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 已知α是第四象限角，且2tan2α−tanα−1=0，则cs(2π−α)−sin(π−α)3cs(π2+α)+cs(−α)=( )
A. −13B. 13C. −35D. 35
7. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，且f(2)=−1，则f(100)=( )
A. −1B. 1C. −3D. 3
8. 若函数f(x)=cs(ωx+π5)(ω>0)在区间(π2,3π2)上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )
A. (2315,115]B. [2315,115)
C. (2315,115]∪[135,4315]D. [2315,115)∪[135，4315)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)的定义域和值域均为[−3,3]，则( )
A. 函数f(x−2)的定义域为[−1,5]B. 函数f(3x)x−1的定义域为[−1,1)
C. 函数f(x−2)的值域为[−3,3]D. 函数f(2x)的值域为[−6,6]
10. 已知α∈(π2,π)，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若sin(α+π4)=− 210，则下列点在角α的终边上的是( )
A. (−3,4)B. (−4,3)C. (−6,8)D. (−8,6)
11. 已知a=lg53，b=lg125，c=23，d=lg0.53，则下列判断正确的是( )
A. b12. 关于x的不等式2x2−3x−xlnx+1≥ax+b+(x−2)2≥0在[1,+∞)上恒成立，则( )
A. a=1B. a=2C. b=−3D. b=−2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知关于x的不等式kx2−3kx+k+5>0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 ．
14. 已知定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，且对任意的x，y，都有f(xy)= f(x)f(y)，若f(−1)=1，则f(x)<1的解集为 ．
15. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得C点的仰角∠CAB=45∘，从A点测得M点的仰角∠MAN=45∘，从C点测得M点的仰角为α.已知山高BC=3(百米)，tanα=27，∠NAB=120∘，则山高MN= (百米)．
16. 已知α，β∈[0,2π]，2sin(α+β)+α2−2α+3=0，则β= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知在数列{an}中，a1=3，a2=8，且{ann}为等差数列．
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{1an}的前n项和，证明：Sn<34．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcsC+ccsB=3acsA.
(1)求csA;
(2)若△ABC的面积是 2，a=2，求△ABC的周长．
19. (本小题12.0分)
某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占40%，来自乙厂的占30%，来自丙厂的占30%，甲厂生产的排球的合格率为95%，乙厂生产的排球的合格率为92%，丙厂生产的排球的合格率为96%．
(1)若小张到该市场购买1个排球，求购得的排球为合格品的概率．
(2)若小李到该市场批发2个排球回去销售，购买的1个球来自甲厂，1个球来自丙厂，已知来自甲厂的每个排球售出后可获得纯利润10元，没有售出则每个球将损失5元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率;来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润8元，没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率.求小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2，PA=PD= 5，E为BC的中点．
(1)证明：AD⊥PE．
(2)若二面角P−AD−B的平面角为2π3，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
21. (本小题12.0分)
在直角坐标系xOy中，动点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l:x=my−1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x(lnx+a)．
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明：当a≥1时，f(x)答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，属于基础题．
根据题意求出集合B，从而由交集的定义即可得结果．
【解答】解：∵A=−2,−1,0,1,2，B={x|x2−2x−3<0}={x|−1∴A∩B={0,1,2}．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
利用全称量词命题的否定为存在量词命题可得出结论．
【解答】
解：因为命题“对于任意正数x，都有x+1>0”是全称量词命题，
所以其否定为“存在正数x，使得x+1≤0”．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，是基础题．
根据新定义和充要条件的判断可得结论．
【解答】
解：若[a]=[b]，则|a−b|<1，
但当|a−b|<1时，[a]，[b]不定相等，例如a=2.9，b=3.1，
所以“[a]=[b]”是“|a−b|<1”的充分不必要条件．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题．
根据扇形公式S扇形=nπR2360，代入数据运算即可得出答案．
【解答】
解：由题意得，n=40°，R=9，
S扇形=nπR2360=40×π×92360=9π，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，属基础题．
利用偶函数可排除A，C，再根据f(2)<0，排除B．
【解答】
解：由题可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(−x)=x23−3|x|=f(x)，
故函数为偶函数，排除A，C．
又f(2)=43−9=−23<0，排除B．
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题;
先解方程求出tanα，然后再根据诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解。
【解答】
解：由2tan2α−tanα−1=0，解得tanα=−12或tanα=1.因为α是第四象限角，所以tanα=
−12，故cs(2π−α)−sin(π−α)3cs(π2+α)+cs(−α)=cs α−sin α−3sin α+cs α=1−tan α−3tan α+1=35．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了求函数值和周期函数，是基础题．
先得出f(x)的周期为4，计算即可．
【解答】
解：由f(x+2)=3f(x)，可得f(x+4)=3f(x+2)=f(x)，
所以f(x)的周期为4，
则f(100)=f(0)=f(4)=3f(2)=−3．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查余弦型函数的图象和性质，属于中档题．
由题意可得{π2⩽π2ω+π5<3π2,5π2<3π2ω+π5⩽7π2或3π2≤π2ω+π5<5π2,7π2<3π2ω+π5≤9π2,解不等式组即可．
【解答】
解：由题可知T2<3π2−π2≤3T2，解得1<ω≤3，π2ω+π5<ωx+π5<3π2ω+π5．
因为函数f(x)=cs(ωx+π5)在区间(π2,3π2)上恰有两个零点，所以{π2⩽π2ω+π5<3π25π2<3π2ω+π5⩽7π2或
3π2⩽π2ω+π5<5π27π2<3π2ω+π5⩽9π2解得2315<ω≤115或135≤ω≤4315，即ω∈(2315,115]∪[135,4315].
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域和函数的值域，是基础题．
根据函数的定义域和函数的值域逐一判定即可．
【解答】
解：函数f(x−2)中的x需满足−3≤x−2≤3，解得−1≤x≤5，
故函数f(x−2)的定义域为[−1,5]，
函数f(3x)x−1中的x需满足−3≤3x≤3,x−1≠0,解得−1≤x<1，
故函数f(3x)x−1的定义域为[−1,1)．
函数f(x−2)和f(2x)的值域都为[−3,3]．
故选ABC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，是基础题．
先得出tan(α+π4)，由tanα=tan[(α+π4)−π4]，展开计算，结合任意角的三角函数的定义可得结论．
【解答】
因为α∈(π2,π)，所以α+π4∈(3π4,5π4)，
则cs(α+π4)=−7 210，即tan(α+π4)=17，
所以tanα=tan[(α+π4)−π4]=tan(α+π4)−tanπ41+tan(α+π4)tanπ4=−34，
由任意角的三角函数的定义得选项BD符合题意，
故选BD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查对数函数的性质，根据对数函数的性质和对数运算进行求解即可。
【解答】
解：3a=3lg53=lg527>2，3b=3lg125=lg12125<2，所以3a>2>3b，即b易得d<0，1a+1d=lg35+lg30.5=lg32.5<1，所以012.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，是较难题．
易得x2+x−xlnx−3≥ax+b≥−x2+4x−4.记f(x)=x2+x−xlnx−3，g(x)=−x2+4x−4，令h(x)=f(x)−g(x)，利用导数得当x≥1时，h(x)≥h(1)=0，所以f(x)≥g(x)，当且仅当x=1时，等号成立.所以直线y=ax+b为f(x)与g(x)的图象在x=1处的公切线时，才能使原不等式恒成立，利用导数的几何意义求解可得a、b的值．
【解答】
解：由2x2−3x−xlnx+1≥ax+b+(x−2)2≥0，
可得x2+x−xlnx−3≥ax+b≥−x2+4x−4．
记f(x)=x2+x−xlnx−3，g(x)=−x2+4x−4，
令h(x)=f(x)−g(x)=2x2−3x−xlnx+1，x≥1，
则h′(x)=4x−lnx−4，
令k(x)=4x−lnx−4，则k′(x)=4−1x>0恒成立，
所以h′(x)在[1,+∞)上单调递增且h′(1)=0，
所以当x≥1时，h(x)≥h(1)=0，
所以f(x)≥g(x)，当且仅当x=1时，等号成立．
又f′(x)=2x−lnx，g′(x)=−2x+4，且f′(1)=g′(1)=2，
所以直线y=ax+b为f(x)与g(x)的图象在x=1处的公切线时，才能使原不等式恒成立，此时a=f′(1) = 2，b=−3，
故选BC．
13.【答案】[0,4)
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，属于基础题．
分k=0、k>0和k<0三种情况，综合求解即可出结果．
【解答】
解：当k=0时，不等式化为5>0恒成立，符合题意;
当k>0时，若不等式kx2−3kx+k+5>0对任意x∈R恒成立，
则△=9k2−4k(k+5)<0，解得0当k<0时，不等式kx2−3kx+k+5>0不能对任意x∈R恒成立．
综上，k的取值范围是[0,4)．
14.【答案】(−1,1)
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，属于基础题．
易得f(x)是偶函数，结合单调性求解即可．
【解答】
解：因为对任意的x，y，都有f(xy)= f(x)f(y)，f(−1)=1，令y=−1，
则f(−x)=f(x)，又因y为f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数，
由f(−1)=1，得f(1)=1，
又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，
所以由f(x)<1得|x|<1，解得−1故f(x)<1的解集为(−1,1)．
15.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了利用余弦定理解决高度问题，属于中档题．
过C作CE垂直于MN，交MN于点E.设ME=2x，则MN=AN=2x+3，NB=7x，在△ABN中，由余弦定理求解得出x，可得MN．
【解答】
解：过C作CE垂直于MN，交MN于点E．
因为tanα=27，
设ME=2x，则CE=7x，由题可知AB=BC=3，
则MN=AN=2x+3，NB=7x，
在△ABN中，NB2=AN2+AB2−2AN⋅AB⋅cs120∘，
即(7x)2=(2x+3)2+32+3×(2x+3)，
化简可得5x2−2x−3=0，
所以x=1(负值已舍去)，
则MN=5．
16.【答案】3π2−1
【解析】【分析】
本题考查了三角函数性质，是中档题．
易得2sin(α+β)=−α2+2α−3.再由三角函数性质和二次函数得出两边的取值范围，取等号即可．
【解答】
解：由2sin(α+β)+α2−2α+3=0，
可得2sin(α+β)=−α2+2α−3．
因为−2≤2sin(α+β)≤2，−α2+ 2α−3=−(α−1)2−2≤−2，
所以当且仅当α= 1，2sin(α+β)=−2时，等式成立．
又因为α，β∈[0,2π]，所以α+β=3π2，
故β=3π2−α=3π2−1．
17.【答案】解：由题意，可得a11=31=3，a22=82=4，a22−a11=4−3=1
则数列{ann}是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ann=3+1(n−1)=n+2，
∴an=n(n+2)，n∈N*．
(2)证明：由(1)得1an=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
因此Sn=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]
=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)，
而1n+1+1n+2>0，所以Sn<34．
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，利用递推关系式求通项，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
(1)由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；
(2)把数列{an}的通项公式代入1an，再由裂项相消法求数列{1an}的前n项和Sn可得结果．
18.【答案】 解：(1)∵ccsB+bcsC=3acsA，
∴sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsA，
∴sin(B+C)=3sinAcsA，
∴sinA=3sinAcsA，
∵A∈(0,π)，
∴sinA≠0，
∴csA=13，
(2)由csA=13，可得sinA=2 23，
∴S=12bcsin A= 23bc= 2，
∴bc=3，
由a=2及a2=b2+c2−2bccsA，
得4=b2+c2−23bc，
又bc=3，
∴b+c=2 3．
故△ABC周长为2+2 3.
【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．
(1)运用正弦定理和诱导公式、两角和正弦公式，化简整理，即可得到所求角的余弦值；
(2)运用余弦定理和面积公式，计算即可得到所求值．
19.【答案】解：(1)设A，B，C分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，D表示购买的排球是合格品，
则P(A)=40%，P(B)=P(C)=30%，P(D|A)=95%，P(D|B)=92%，P(D|C)=96%，所
以P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)
=40%×95%+30%×92%+30%×96%=94.4%．
(2)设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，
依题意可得X的可能取值为10+8，10−6，−5+8，−5−6，即18，4，3，−11，
P(X=18)=0.95×0.96=0.912，
P(X=4)=0.95×(1−0.96)=0.038
P(X=3)=(1−0.95)×0.96=0.048，
P(X=−11)=(1−0.95)×(1−0.96)=0.002，
所以E(X) =18×0.912+4×0.038+3×0.048+(−11)×0.002=16.69，
故小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为16.69元．
【解析】本题考查全概率公式和离散型随机变量的数学期望
(1)设A，B，C分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，D表示购买的排球是合格品，根据全概率公式进行求解；
(2)依题意可得X的可能取值为10+8，10−6，−5+8，−5−6，即18，4，3，−11，求出对应的概率，即可求出数学期望。
20.【答案】(1)证明：如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，PA=PD，∴AD⊥EF，AD⊥PF．
∵EF∩PF=F，EF，PF⊂平面PEF，∴AD⊥平面PEF．
又∵PE⊂平面PEF，∴AD⊥PE．
(2)解：由(1)可知，二面角P−AD−B的平面角为∠PFE，且为2π3，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O．
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易得∠PFO=π3，PF=2，OF=1，PO= 3，
则P(0,0, 3)，A(1,1,0)，B(1,3,0)，C(−1,3,0)，D(−1,1,0)，
PA=(1,1,− 3)，AB=(0,2,0)，DP=(1,−1, 3)，PC=(−1,3,− 3)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PA=0,n⋅AB=0,
得x+y− 3z=0,2y=0,取z=1，则n=( 3,0,1)．
设PG=λPC=(−λ,3λ,− 3λ)，λ∈[0,1]，
则DG=DP+PG=(1−λ,3λ−1, 3− 3λ)，
设直线DG与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ= |cs|=|DG⋅n|DG||n||
= 3(1−λ) (1−λ)2+(3λ−1)2+3(1−λ)2
= 3(1−λ) (3λ−1)2+4(1−λ)2，
令t=1−λ，则t∈[0,1]，
sinθ= 3(1−λ) (3λ−1)2+4(1−λ)2
= 3t (2−3t)2+4t2
= 3 t213t2−12t+4．
当t=0时，sinθ=0，θ=0;
当t≠0时，sinθ= 3× 14t2−12t+13
= 3× 14(1t−32)2+4，
当1t=32，即t=23，λ=13时，sinθ取得最大值，且最大值为 32，此时θ=π3．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为π3．

【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
(1)先证明AD⊥平面PEF，由线面垂直的性质即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，得出平面PAB的法向量，设PG=λPC，利用空间向量和函数的性质可得直线DG与平面PAB所成角的最大值．
21.【答案】解：(1)设P(x,y)，
因为点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，
所以|x−4|=2 (x−1)2+y2，
则x2−8x+16=4x2−8x+4+4y2，
整理得x24+y23=1，
故曲线C的方程为x24+y23=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组x24+y23=1,x=my−1,
整理得(3m2+4)y2−6my−9=0，
则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为l过点(−1,0)，所以S△MAB=12×2×|y1−y2|
= (y1+y2)2−4y1y2=12 m2+13m2+4
=123 m2+1+1 m2+1
令t= m2+1，t≥1，f(t)=3t+1t，
则f′(t)=3−1t2>0在[1,+∞)上恒成立，
则f(t)≥f(1)=4，则123t+1t≤3.
故△MAB面积的最大值为3．
【解析】本题主要考查了利用直接法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的面积问题，属于中档题．
(1)根据点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，列出相应的等式方程，化简可得轨迹C的方程；
(2)由题意联立直线和椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形的面积，运用换元法和基本不等式求最值可得所求．
22.【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1+a，令f′(x)=0，得x=e−a−1．
由f′(x)<0，解得00，解得x>e−a−1．
所以f(x)的单调递减区间为(0,e−a−1)，单调递增区间为(e−a−1,+∞).
(2)证明：令φ(x)=f(x)−aex+1=a(x−ex)+xlnx+1，
令k(x)=x−ex，则k′(x)=1−ex，则k(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
所以k(x)≤k(0)=−1<0．
由a≥1，可得a(x−ex)+xlnx+1≤x−ex+xlnx+1，
即证exx−lnx−1x−1>0．
令g(x)=exx−lnx−1x−1(x>0)，则g′(x)=(x−1)exx2−1x+1x2=(x−1)(ex−1)x2．
由g′(x)=0，可得x=1(x=0舍去)．
因为当x>0时，ex−1>0，
所以当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=e−1−1=e−2>0，
所以g(x)>0，则exx−lnx−1x−1>0，所以x−ex+xlnx+1<0，结论成立．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及与函数有关的不等式证明，属于较难题．
(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)令φ(x)=f(x)−aex+1=a(x−ex)+xlnx+1，令k(x)=x−ex，利用导数求得k(x)<0，然后即可利用导数求得g(x)min>0，再进行求解可得．