九年级数学下册专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！
一．解答题（共50题）
1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)求C，D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
【答案】(1)9m
(2)24m

【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得CE=CD⋅cosα=15×45=12(m)，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF=xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB=(x+9)m，BC=(3x-12)m，tan60°=ABBC=x+93x-12=3，求出x的值，即可得出答案．
（1）
解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，cosα=45，CD=15m，
∴CE=CD⋅cosα=15×45=12(m)．
∴DE=CD2-CE2=152-122=9(m)．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）
过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF=DE，DF=BE，
设AF=x m，
在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan30°=AFDF=xDF=33，
解得DF=3x，
在Rt△ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m，BC=BE-CE=DF-CE=(3x-12)m，
tan60°=ABBC=x+93x-12=3，
解得x=63+92，
∴AB=63+92+9≈24(m)．
答：居民楼的高度AB约为24m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
2．（2022·山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）

【答案】主塔AB的高度约为78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出AB=3BD，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，AB=BD⋅tan60°=3BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴3BD=BD+33，
∴BD=333-1=33×3+12m，
∴AB＝BC＝BD+33=33×3+12+33≈78m，
答：主塔AB的高度约为78m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
3．（2022·河南·中考真题）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）

【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，

根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt三角形ACD中，CD=ADtan∠ACD=xtan30°=3x，
在Rt三角形BCD中，BD=CD•tan68°，
∴1000+x=3x⋅tan68°，
解得：x=10003⋅tan68°-1=10001.7×2.5-1≈308（米），
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
4．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)点D与点A的距离为300米
(2)隧道AB的长为(1502+1506)米

【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长
（1）
由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°
在Rt△ADC中，
∴AD=DC×tan∠ACD=1003×tan60°=1003×3=300（米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）
过点D作DE⊥AB于点E．

∵AB是东西走向
∴∠ADE=45°,∠BDE=60°
在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×22=1502
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=1502×tan60°=1502×3=1506
∴AB=AE+BE=1502+1506（米）
答：隧道AB的长为(1502+1506)米
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）

【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
【详解】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG=AGtan45°=x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°=AGDG=xx+8=33，
∴x＝43+4，
经检验：x＝43+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

【答案】烈士塔的高度约为28m．
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【详解】解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=CDAD=CD10≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
7．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

(1)求坡面CB的坡度；
(2)求基站塔AB的高．
【答案】(1)3:4
(2)基站塔AB的高为17.5米

【分析】（1）过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M，利用勾股定理求出CM，然后利用坡度的求解方式求解即可；
（2）设DF=4a米，则MN=4a米，BF=3a米，根据∠ACN=45°，求出AN=CN=(40+4a)米，AF=(4a+10)米．在Rt△ADF中，求出a=152；再根据AB=AF-BF（米)．
（1）
解：如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．

根据他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米，
∴CD=50（米），DM=30（米），
根据勾股定理得：CM=CD2-DM2=40（米）
∴坡面CB的坡度为；DMCM=3040=34,
即坡面CB的坡度比为3:4；
（2）
解：设DF=4a米，则MN=4a米，BF=3a米，
∵∠ACN=45°，
∴∠CAN=∠ACN=45°，
∴AN=CN=(40+4a)米，
∴AF=AN-FN=AN-DM=40+4a-30=(4a+10)米．
在Rt△ADF，
∵DF=4a米，AF=(4a+10)米，∠ADF=53°，
∴tan∠ADF=AFDF=4a+104a=43，
∴解得a=152；
∴AF=4a+10=4×152+10=40（米），
BF=3a=3×152=452（米)，
∴AB=AF-BF=40-452=352（米）．
答：基站塔AB的高为17.5米．
【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
8．（2022·辽宁鞍山·中考真题）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设AC与GE相交于点H，

由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝GHAH=x+812+x≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2022·山东菏泽·中考真题）荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）

【答案】约为1.9米
【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
则CD=ACtan∠ADC=4.8tan30°=4.833≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的长约为1.9米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【答案】6.9m
【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°=ACCD=0.9xx+3≈0.6，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．

(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m

【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（1）
解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H．

在Rt△ABH中，∠ABH=180°-∠ABC=37°，
sin37°=AHAB，所以AH=AB⋅sin37°≈3m，
cos37°=BHAB，所以BH=AB⋅cos37°≈4m，
在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，
根据勾股定理得AC=CH2+AH2=35≈6.7m，
答：A、C两点之间的距离约6.7m．
（2）
如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G，

则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，
所以CG=CD-GD=5m，
在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5m，
根据勾股定理得AG=AC2-CG2=25≈4.5m．
∴OD=AG=4.5m．
答：OD的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
12．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．

(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3

【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF=∠DAB=30°，可得AF=12AB=135(m)，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：150x=500x+35，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴AF=12AB=135(m)，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：150x=500x+35，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
13．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．

(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）
【答案】(1)300
(2)白塔BC的高度约为45米．

【分析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案；
（2）由题意可得：∠BAD=30°,∠CAD=37°, 而AB=300, 再求解BD=150,AD=1503, 再利用tan37°=CDAD=BC+1501503=0.75, 再解方程即可．
（1）
解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟，
∴AB=5×60×1=300（米）
故答案为：300
（2）
解：由题意可得：∠BAD=30°,∠CAD=37°,
而AB=300米
∴BD=12AB=150米,AD=150tan30°=1503米,
∴tan37°=CDAD=BC+1501503=0.75,
∴BC=22523-150≈44.625≈45（米）
所以白塔BC的高度约为45米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键．
14．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米

【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=AECE ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到EDDF=ABBF ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到ABBH=GCCH 联立得到二元一次方程组解之即可得；
（1）
解：如图

由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα=AECE ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时EDDF=ABBF
即23=ABBC+1.8+3①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时ABBH=GCCH，
21=ABBC+1 ②
联立①②得
ABBC+4.8=23ABBC+1=2，
解得：AB=3.8BC=0.9
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）

【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m
【分析】通过解直角三角形Rt△BCD和RtΔACD，分别求出AD和BD的长，由AB=AD-BD求出AB的长．
【详解】解：在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1=1:1，
∴CDBD=1，
∴BD=CD=20m．
在RtΔACD中，∵背水坡AC的坡度i2=1:3，
∴CDAD=13，
∴AD=3CD=203m，
∴AB=AD-BD=203-20≈14.6m．
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度．
16．（2022·辽宁锦州·中考真题）某数学小组要测量学校路灯P-M-N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α=58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β=31°
测角仪到地面的距离
AB=DC=1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC=2m

计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）

【答案】3.5米
【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．
【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，

∵AB=DC=1.6，AB//DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，
在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，
在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，
∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，
即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，
∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，
解得：AF=1.2；
∴PF=1.2×1.6≈1.9；
∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．
17．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？
【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米
(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站

【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可得AD的长度；
（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．
（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵B位于A的北偏东30°方向，AB＝2000米，∴∠B＝30°，AD＝12AB＝1000（米），答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米；
（2）在Rt△ADC中，∵∠DAC＝45°，AD＝1000米，∴AC＝ADcos45°＝10002≈1414（米），∵1414＜15×100，∴小欢15分钟内能到达公共汽车站．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
18．（2022·辽宁辽宁·中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM=30°（图中各点均在同一平面内）．

(1)求斜坡BC的长；
(2)求这棵大树CD的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，3≈1.73）
【答案】(1)斜坡BC的长为30米
(2)这棵大树CD的高度约为20米

【分析】（1）根据题意可得：∠CAE=15°，AB=30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB=15°，从而得出AB=BC=30米，即可得出答案．
（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，然后在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后进行计算即可解答．
（1）
解：由题意得∠CAE=15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB=∠CBE-∠CAE=15°，
∴∠ACB=∠CAE=15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）
解：在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC＝30米，
∴CE=12BC=15（米），
∴BE=3CE=153（米），
在Rt△DEB中，∠DBE=53°，
∴DE=BEtan53° ≈153×43=203(米)，
∴DC＝DE﹣CE＝203-15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用．
19．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2022·山东青岛·中考真题）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）

【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米
【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据题意利用正切函数可得AB=496，由矩形的判定和性质得出CF=BE=296，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．
【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，
由题意得，∠D=40°,∠ACB=68°，
在Rt△ABC中，∠CBA=90°，
∵tan∠ACB=ABCB
∴AB=CB×tan68°=200×2.48=496
∴BE=AB-AE=496-200=296
∵∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°
∴四边形FEBC为矩形
∴CF=BE=296．
在Rt△CDF中，∠DFC=90°
∵sin∠D=CFCD
∴CD=CFsin40°≈2960.64=462.5
答：观光船从C处航行到D处的距离为462.5米．

【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，找准各角之间的关系，利用锐角三角函数解三角形是解题关键．
21．（2022·贵州贵阳·中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．

(1)求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由见解析

【分析】（1）分别解Rt△ACD,Rt△BEF，求得AD,BF，根据AF-BF即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．
（1）
∵ CD∥EF,CD=EF,
∴四边形CDFE是平行四边形
∵ CD⊥AF,EF⊥AF
∴四边形CDFE是矩形，
∴DF=CE=750
在Rt△ACD中，∠CAD=25°,tan∠CAD=CDAD
∴AD=CDtan25°≈70.5
在Rt△BEF中，∠EBF=60°,tan∠EBF=EFBF
∴BF=EFtan60≈71.7
∴AB=AF-BF=AD+DF-BF=70.5+750-71.7≈760
答：A，B两点之间的距离为760米；
（2）
∵ 76038=20<22，
∴小汽车从点A行驶到点B未超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22．（2022·四川广安·中考真题）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75

【答案】菜园与果园之间的距离为630米
【分析】过点D作EF⊥AB，交AB于点E，则CF⊥BC，四边形BCFE是矩形，在Rt△CDF中，求得DF=180，CF=240，进而求得AE=210，在Rt△ADE中，利用正切进行求解即可．
【详解】解：如图，过点D作EF⊥AB，交AB于点E，则CF⊥BC，

∵∠B=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE，BC=EF，
在Rt△CDF中，DF=CD⋅sin∠FCD≈300×0.6=180,CF=CD⋅cos∠FCD≈300×0.8=240，
∴BE=240，
∴AE=AB-BE=210，
在Rt△ADE中，∠DAE=65°，tanA=DEAE，
∴DE=AE⋅tanA=210×tan65°≈450米．
∴BC=EF=DF+DE=180+450=630
答：菜园与果园之间的距离630米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23．（2022·辽宁营口·中考真题）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4,tan58°≈1.6）

【答案】大楼MN的高度为92米
【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．
【详解】
过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，
∴∠BEA=∠BFN=∠BFM=∠MNA=90°
∴四边形BENF为矩形，
∴BE=AN,BF=NE
设MN=x，
在Rt△ABE中，
∵斜坡AB的坡度i=3:4，即BEAE=34，
∴sin∠BAE=BEAB=35
∵AB=75
∴BE=45,AE=60
∴FN=45
∴MF=x-45
在Rt△AMN中，∵tan∠MAN=MNAN,∠MAN=58°
∴tan58°=xAN≈1.6
∴AN≈58x
∴NE=AN+AE=58x+60
在Rt△BMF中，∵tan∠MBF=MFBF,∠MBF=22°
∴tan22°=x-45BF≈0.4
∴BF≈52(x-45)
∴58x+60=52(x-45)
解得x=92，
所以，大楼MN的高度为92米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：

(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．
【答案】(1)33m
(2)1.2m

【分析】（1）解Rt△ADE即可求解；
（2）延长FC交AB于点G，证明∴△DGC是等边三角形，解Rt△AFG，根据DC=DG=AG-AD即可求解．
（1）
在Rt△ADE中，tan∠AED=ADAE=tan60°=3
∵AE=3 m
∴AD=3AE=33 m
（2）
如图，延长FC交AB于点G，

∵AE=3,EF=8
∴AF=AE+EF=11
∵tanF=AGAF=tan30°=33
∴AG=1133
∵Rt△AFG中，∠A=90°,∠F=30°
∴∠AGF=60°
∵∠BDC=∠GDC=60°
∴△DGC是等边三角形
∴DC=DG=AG-AD=1133-33=233≈1.2
答：灯管支架CD的长度约为1.2m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
25．（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）

【答案】11.8m
【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：

∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8m，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM，代入数据：1.48=CD8，
∴CD=11.84≈11.8m，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是11.8m．
【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．
26．（2022·湖北鄂州·中考真题）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；
(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）
【答案】(1)3010米
(2)603+90米

【分析】（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；
（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明AB=BC，设AB=BC=x米，则AH=AB-BH=x-30米，DH=BG=CG+BC=x+90米，解直角三角形得到x-30x+90=33据此求解即可．
（1）
解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴DGCG=13，
∴CG=90米，
∴CD=DG2+CG2=3010米；
（2）
解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则AH=AB-BH=x-30米，DH=BG=CG+BC=x+90米，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=AHDH=33，
∴x-30x+90=33，
解得x=603+90，
∴AB=603+90米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
27．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73）．

【答案】58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．

又∵∠GAC=90°，
∴四边形ACHG是矩形．
∴GH=AC．
由题意，得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°．
在Rt△AGO中，∠AGO=90°,tan∠AOG=AGOG，
∴OG=AGtan∠AOG=60tan70°≈602.75≈21.8≈22（m）﹒
∵∠EFH是△EOF的外角，
∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°．
∴∠EOF=∠FEO．
∴EF=OF=24m．
在Rt△EHF中，∠EHF=90°,cos∠EFH=FHEF
∴FH=EF⋅cos∠EFH=24×cos60°=12(m)．
∴AC=GH=GO+OF+FH=22+24+12≈58m．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
28．（2022·湖南常德·中考真题）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

【答案】70
【分析】过点E作EN ⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt△AHF中，求得AH，根据FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF=EMtan∠ECB，FG=7，求得FM，进而求得MN，根据AB=AH+HB=AH+MN即可求解．
【详解】如图，过点E作EN ⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，
∴HB=MN，

∵ AF=50，∠AFH=40°，
在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），
∵ HG∥BC，
∴∠EGF=∠ECB
∵ ∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米
∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF=EMtan∠ECB
∴EM0.47+EM0.73=7，
解得EM≈2，
∵顶端E到BD的距离为40米，即EN=40米
∴MN=EN-EM=40-2=38（米）．
∴AB=AH+HB=AH+MN=32+38=70（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
29．（2022·湖南湘潭·中考真题）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DHAH≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB=AC=20cm，当∠BAC=120°时，伞完全打开，此时∠BDC=90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）

【答案】72cm
【分析】过点B作BE⊥AH于点E，解Rt△ABE,Rt△BED，分别求得AE,ED，进而求得AD，根据黄金比求得DH，求得AH的长，即可求解．
【详解】如图，过点B作BE⊥AH于点E

∵AB=AC，∠BAC=120°，AH始终平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD=60°
∴AE=cos60°×AB=12AB=10，BE=3AE=103
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADC≌△ADB
∵∠BDC=90°
∴∠ADB=∠ADC=45°
∴BE=ED
∴AD=AE+ED=10+103≈27.32
∵ DHAH≈0.618
∴DHDH+AD≈0.618
解得DH≈44.2
∴AH=AD+DH=27.32+44.2=71.52≈72
答：最少需要准备72cm长的伞柄
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
30．（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【答案】(1)75；60
(2)10033+10米
(3)110米

【分析】（1）根据平角的定义求∠APD，过点A作AE⊥DC于点E，再利用三角形内角和求∠ADC；
（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的长度再根据CD=DE+EC计算即可；
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE即可．
（1）
过点A作AE⊥DC于点E，

由题意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,
∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°
∠ADC=90°-∠DAE=60°
（2）
由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=100×33=10033米，
∴CD=DE+EC=10033+10米
∴楼CD的高度为10033+10米．
（3）
作PG⊥BC于点G，交AE于点F，

则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°．
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE．
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°．
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°．
∴∠ADP=∠APD．
∴AP=AD．
∴△APF≌△DAE（AAS）．
∴PF=AE=100．
∴PG=PF+FG=100+10=110米
∴无人机距离地面BC的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
31．（2022·四川自贡·中考真题）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1h 20min，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．
（1）求该轮船航行的速度．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．

【答案】（1）127km/h；（2）轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．
【分析】（1）根据∠BAC=90°，由勾股定理可求出BC的长度，航速=路程/时间即可；
（2）作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E，设直线BC交l于点F，根据已知条件和构造的直角三角形，求出BD、CE、AE的长度，再根据ΔBDF∽ΔCEF，分别求出EF、AF的长，最后根据AM 【详解】（1）由题意，得∠BAC=90°，∴BC=402+832=167．
∴轮船航行的速度为167÷43=127km/h．
（2）能．作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E，设直线BC交l于点F．

则BD=AB⋅sin∠BAD=203，CE=AC⋅sin∠CAE=43，AE=AC⋅cos∠CAE=12．
∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．
又∠BFD=∠CFE，∴ΔBDF∽ΔCEF．
∴DFEF=BDCE．∴EF+32EF=20343．
∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．
∵AM 【点睛】本题属于实际应用题，需要注意的是，最后的结论，要根据AM 32．（2022·四川达州·中考真题）某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73）

【答案】AB的长约为0.6m．
【分析】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．
【详解】解：作BF⊥CE于F，
在RtΔBFC中，BF＝BC⋅sin∠BCF≈3.20，
CF＝BC⋅cos∠BCF≈3.85，
在RtΔADEE中，DE=ABtan∠ADE=33=3≈1.73，
∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58
由勾股定理得，AB=BH2+AH2≈0.6(m)，
答：AB的长约为0.6m．

【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
33．（2022·广东广州·中考真题）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A'处.

（1）求之间的距离
（2）求从无人机A'上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A'作A'E⊥BC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'E=AC=60， CE=AA'=30 3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
∴AB=ACsin30°=6012=120（m）
（2）过A'作A'E⊥BC交BC的延长线于E，连接A'D，
则A'E=AC=60， CE=AA'=30 3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC=33AC=203
∴DE=503
∴tan∠AA'D= tan∠A'DC=A'EDE=60503=253
答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是253．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
34．（2022·浙江舟山·中考真题）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
35．（2022·重庆·中考真题）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1:1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1．5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52）

【答案】(1)两渔船之间的距离为20米；
(2)原计划平均每天填筑土石方600立方米．

【分析】（1）根据已知条件及等角对等边可得EN=PE=30米，然后利用正切函数可得ME≈50米，结合图形求解即可得；
（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，且FL=24，结合平行四边形的性质可得∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由坡度及正切函数可得LH=36，KL=6，得出AH=33，即可计算出所以需填土石方为43200立方米，设原计划平均每天填x立方米，根据题意列出方程求解即可得
（1）
解：∵∠β=45°，
∴∠PNE=∠NPE=45°
∴EN=PE=30（米），
在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=PEME，
∴ME=PEtan31°≈50（米），
∴MN=EM-EN=20（米），
答：两渔船M，N之间的距离约为20米；
（2）
解：过点F作FK∥AD交AH于点K，作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，且FL=24，

∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，
由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=10.25=4，tan∠H=11.5=23，
在Rt△FLH中，LH=FLtan∠H=36，
在Rt△FLK中，KL=FLtan∠FKA=6，
∴HK=30，AH=HK+AK=33，
梯形DAHF的面积为：12×LF×(DF+AH)=432（平方米），
所以需填土石方为432×100=43200（立方米），
设原计划平均每天填x立方米，由题意得，
12x+(43200x-12-20)×1.5x=43200，,
解得，x=600，
经检验x=600是原分式方程的解．
答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．
36．（2022·贵州遵义·中考真题）下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.
【分析】设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=31°，利用∠EAB的正切值解得x的值．
【详解】解：设DF=x，在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴CF=tan45°·DF=x，
又∵CB=4，
∴BF=4－x，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=x，
∴AN=5－x，EN=DM=BF=4－x，
在Rt△ANE中，∠EAB=31°，EN=4－x，AN=5－x，
tan31°=ENAN=4-x5-x
=0.60，
解得x=2.5，
答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．
考点：解直角三角形．
37．（2022·四川巴中·中考真题）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为300和600，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）

【答案】3.5米
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，

∵探测线与地面的夹角为300和600，
∴∠CAD=300，∠CBD=600．
在Rt△BDC中，tan600=CDBD
∴BD=CDtan600=CD3．
在Rt△ADC中，tan300=CDAD，∴AD=CDtan300=3CD3．
∵AB=AD﹣BD=4，∴3CD3-CD3=4，∴CD=23≈3.5（米）．
答：生命所在点C的深度大约为3.5米．
过点C作CD⊥AB交AB于点D，则∠CAD=300，∠CBD=600，在Rt△BDC中，BD=CD3，在Rt△ADC中，AD=3CD3，然后根据AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可．
38． （2022·广西南宁·中考真题）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米
【详解】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC•cos30°==63×32=9米，
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
39．（2022·湖北黄石·中考真题）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？
【答案】支架DC的高应为119cm．
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．
【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，

EC=AB=25cm              
∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，
Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）
又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．     
答：支架DC的高应为119cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．
40．（2022·四川泸州·中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82 nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【答案】B，D间的距离为14nmile．
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82 nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，D间的距离．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82 nmile．
在Rt△ABC中，AC=BC=82，
∴AB=2BC=16(nmile)，
在Rt△ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°，
∴DE=AD•sin60°=10×32=53(nmile)，
AE=12AD=5 (nmile)，
∴BE=AB-AE=11(nmile)，
∴BD=DE2+BE2=14(nmile)，
答：B，D间的距离为14nmile．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
41．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

(1)求步道DE的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)283米
(2)经过点B到达点D较近

【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到EH=AC=200米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
（1）解：过E作BC的垂线，垂足为H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴DE=2EH=2002≈283（米）；
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC=400米，∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，∴BC=AB2-BC2=2003（米），∴AE=CH=BC+BD-DH=2003+100-200=2003-100（米），∴经过点E到达点D，总路程为2002+2003-100≈529>500，∴经过点B到达点D较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
42．（2022·重庆·中考真题）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732）；
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1559米
(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船

【分析】（1）过点A作CB垂线，交CB延长线于点D，设BD=x，则AB=2x，AD=3x，CD=900+x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即可求出x=450，根据Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC即可求出湖岸A与码头C的距离；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC+AC，列出方程，求出时间t，再和5分钟进行比较即可求解．
（1）解：过点A作CB垂线，交CB延长线于点D，如图所示，由题意可得：∠NAB=60°，∠NAC=30°，CB=900米，则∠CAD=60°，∠BAD=30°设BD=x，则AB=2x，AD=3x，CD=900+x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，∴3=900+x3x，解得x=450，在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC，∴AC=900+45032=9003=900×1.732=1558.8≈1559（米），∴湖岸A与码头C的距离为1559米；
（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，由题意可得：150t+400t=900+1559，t≈4.47＜5，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．
43．（2022·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【答案】（9＋43）m
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝3AH，再证△EFG∽△ABG，得EFAB=FGBG，求出AH＝（8＋43）m，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝AHCH＝tan30°＝33，
∴BD＝CH＝3AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴EFAB=FGBG，
即1.5AH+1=33AH+6，
解得：AH＝（8＋43）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋43）m，
即这棵古树的高AB为（9＋43）m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
44．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】约为5.7m
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝CDBC＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
45．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45
三角函数锐角A
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62


【答案】（1）91cm；（2）32cm
【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF=AFAD
∴AF=ADcos∠DAF
=100×cos28°
=100×0.88
=88cm
在Rt△AEF中，cos∠EAF=AFAE
∴AE=AFcos∠EAF=88cos13°=880.97≈91cm
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，

则∠AMN=∠MAC+∠MGA
∴∠AMN=13°+32°=45°
在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm
在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32°=0.62
∴FG=DF0.62≈75.8cm
∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm
在Rt△ANM中，sin45°=ANAM=86.8AM
∴AM=86.822≈123.1cm
∴EM=AM-AE=123.1-91=32.1cm≈32cm
∴EH的最小值为32cm
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
46．（2022·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在山坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB（即AB⊥MN），为固定电线杆，在地面C处和坡面D处各装一根引拉线BC和BD，它们的长度相等．测得AC=6米，tan∠BCA=43,∠PAN=30°，求点D到AB的距离．

【答案】23+39
【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函数及勾股定理求出AD的长，再利用三角函数求出答案即可．
【详解】如图：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，
在Rt△ABC中，tan∠BCA=ABAC=43，AC=6，
∴AB=8，
∴BC=BD=AB2+AC2=82+62=10，
在Rt△ABF中，∠BAF=90°-∠PAN=60°，
∴AF=AB⋅cos∠BAF=8×12=4，
BF=AB⋅sin∠BAF=8×32=43，
∴DF=BD2-BF2=102-(43)2=213，
∴AD=AF+DF=4+213，
在Rt△ADE中，∠EAD=60°，
∴DE=AD⋅sin∠EAD=(4+213)×32=23+39．
∴点D到AB的距离为23+39米．
．
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理的计算，正确理解题意引出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
47．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长AB=115mm，支撑板长CD=70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB=35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE=60°．
（1）若∠DCB=70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB=70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可、求CD旋转的角度．
（参考数：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，3≈1.7）

【答案】（1）124mm；（2）33.4°
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离．
（2）依题意画出图形，解直角三角形BCD得出∠CDB=26.6°，即可得出答案；
【详解】解：如图，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，则四边形CFMN为矩形；
由题意可知，AC=AB-CB=115-35=80，CD=70，∠DCB=70°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，CN=CD⋅sin∠CDE=70×32=353mm=FM
∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=70°，
∴∠BCN=70°-30°=40°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM//CN，
∴∠A=∠BCN=40°，
∴∠ACF=90°-40°=50°，
在Rt△AFC中，AF=AC•sin50°=80×0.8≈64（mm），
∴AM=AF+FM=64+353≈64+59.5=123.5≈124（mm），
∴点A到直线DE的距离约为124mm．

（2）依题意画出图形，如图
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=35mm，CD=70mm，
∴tan∠BDC=BCDC=3570=0.5
∴∠CDB≈26.6°，
∴CD旋转的角度=60°-26.6°=33.4°．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
48．（2022·辽宁营口·中考真题）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9,cos63.4°≈0.4,tan63.4°≈2.0,2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4）

【答案】580m
【分析】过点D作DG⊥AC，BF⊥AE，通过解Rt△ABF、Rt△BEF、Rt△CDG求出AD、AF、EF的长度，利用线段的和差即可求解．
【详解】解：根据题意可得∠MAE=45°，∠NBE=15°，∠PCD=63.4°，AB=BC=600m，
过点D作DG⊥AC，BF⊥AE，

则∠ADG=∠MAE=45°，∠CDG=∠PCD=63.4°，
∴AG=DG，∠E=90°-∠NBE-∠BAD=30°
设AG=x，则DG=x，AD=2x，CG=1200-x，
∵tan∠CDG=CGDG，
∴1200-xx≈2.0，解得x=400m，
∴AD=4002m，
在Rt△ABF中，AF=BF=22AB=3002m，
在Rt△BEF中，BFEF=tanE=33，
∴EF=3BF=3006m，
∴DE=AF+EF-AD=3002+3006-4002=3006-1002≈580m．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，构造合适的直角三角形是解题的关键．
49．（2022·辽宁本溪·中考真题）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
【答案】（1）无人机的高度AC=1203m；（2）AB的长度为243m．
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EF≈138m，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8×15=120(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴tan60°=ACCD，
∴AC=120×33=1203(m)，
答：无人机的高度AC=1203m；
（2）根据题意得：DE=8×50=400(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，

则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=1203m，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴tan37°=BFEF=0.75，
∴EF=12030.75≈276.8(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8≈243(m)，
答：AB的长度为243m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
50．（2022·贵州安顺·中考真题）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B,C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE=1.6m,EA=50m（点A,E,B,C在同一平面内）．

（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B,C两点之间的距离（结果精确到1m）．sin63°≈0.89,cos63°≈0.45,tan63°≈1.96, sin27°≈0.45, cos27°≈0.89,tan27°≈0.51
【答案】（1）45；（2）B，C两点之间的距离约为51m．
【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可．
【详解】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，

∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF=AFAE=4050=45，即sinα=45．
答：仰角α的正弦值为45；
（2）在Rt△AEF中，EF＝502-402=30m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m，
∵tan∠ACD=ADCD，
∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，
∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m．
答：B，C两点之间的距离约为51m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．