新高考数学一轮复习课时跟踪检测（六）函数的性质及其应用（含解析）

课时跟踪检测（六）  函数的性质及其应用

1．下列函数为奇函数的是(　　)

A．f(x)＝x3＋1　　　　　 B．f(x)＝ln

C．f(x)＝ex  D．f(x)＝xsin x

解析：选B　对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.

2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选D　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f，

所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.

3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)·g(x)是偶函数

B．|f(x)|·g(x)是奇函数

C．f(x)·|g(x)|是奇函数

D．|f(x)·g(x)|是偶函数

解析：选CD　∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．

对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．

对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．

对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．

对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．

4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)  D．(－2,1)

解析：选D　因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．

因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，

当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，

所以函数f(x)是定义在R上的增函数．

因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，

即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.

5．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(－∞，1]

解析：选B　f(x)＝2|x－a|＋3＝

因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，

所以a>1.

所以a的取值范围是(1，＋∞)．

6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)

C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)

解析：选D　因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(－25)＝f(－1)<f(0)＝f(80)<f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．故选D.

7．已知函数f(x)＝2 020x＋log2 020(＋x)－2 020－x＋3，则关于x的不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为(　　)

A．(－∞，1)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(2，＋∞)

解析：选A　∵函数y1＝2 020x－2 020－x为奇函数，函数y2＝log2 020(＋x)为奇函数，∴函数g(x)＝2 020x－2 020－x＋log2 020(＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1－2x)＋f(x)>6，即g(1－2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x－1)，∴x>2x－1，∴x<1，∴不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为(－∞，1)．

8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－2,0)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)  D．(－2,0)∪(0,2)

解析：选D　由函数f(x)为奇函数可知f(－x)＝－f(x)，因此<0可化为不等式<0，故有或再由f(2)＝0，可得f(－2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|－2<x<0 或0<x<2}．

9．(多选)下列关于函数f(x)＝的性质描述正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为∪

B．f(x)的值域为(－1,1)

C．f(x)在定义域上是增函数

D．f(x)的图象关于原点对称

解析：选ABD　由得－1≤x≤1且x≠0，

此时f(x)＝＝＝，

因此A正确；

当0＜x≤1时，f(x)＝－∈，

当－1≤x<0时，f(x)＝∈，

故f(x)的值域为(－1,1)，B正确；

易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；

又f(－x)＝＝＝－f(x)，

则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.

10．(2021·唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．

答案：[0,1)

11．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．

解析：由题意知，解得

所以a∈.

答案：

12．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：设x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)设1<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，

所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．

13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.

(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝

当x∈[0,2)时，－1≤f(x)<0；

当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，

所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.

(2)因为f(x)＝

又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，

所以当x>2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4；

当－1<x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1，即a≤－2，

且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，

故a的取值范围为[－4，－2]．

14．(2021·河北名校联考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝

(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.

由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.

从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.

∴F(x)＝

(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，

∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.

即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．