2024年中考数学尖子生高分突破：第1章 有理数(教师版)

这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第1章 有理数(教师版)，共29页。试卷主要包含了1正数和负数，观察下面一列数等内容，欢迎下载使用。

第一章有理数
1.1正数和负数
海选初战
一.选择题
1.检测4个足球，其中超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.超市出售三种品牌的月饼,袋上分別标有质量为g，g，g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A. B. C. D.
答案：D
3.一次数学达标检测以80分为标准成绩,“奋斗”小组4名学生的成绩与标准成绩的差下:分、分、分、分，他们的平均成绩为（ ）
A.78分 B.82分 C.分 D.分
答案：D
4.体育课上，全班女生进行百米测验，达标成绩为18秒.下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示用时超过18秒，“-”表示用时不到18秒，“0”表示刚好达标。这个小组女生的达标率是（ ）
+2
-0.3
0
0
+1.2
+1
-0.5
+0.4
A. B. C. D.
答案：C
5.某项科学研究以45分钟为1个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负，10时以后记为正.例如:记为记为1等等,依此类推,上午记为（）
A. B. C. D.
答案：B
6.2路公交车从起点开始经过四站到达终点.现起点站有15人,各站上、下车人数如下:(上车为正,下车为负,例如表示该站上车7人,下车4人).车上乘客最多时有（ ）人
A.13 B.14 C.15 D.16
答案：D
二、㙋空题
7.若把95分的成绩记作+15分,那么60分的成绩记作-20分,这样记分时,某学生的成绩记作+5分,他的实际成绩是__________
答案：85分
8.规定海平面以上的高度为“+”，在一次军事训练中，一架直升机悬停在离海面80的低空，可表示为_______；一艘潜水艇潜在水下，可表示为_______，海平面的高度可表示为_____
答案：+80m；-50m；0m
9.观察下面一列数:任据你发现的规律,第2022个数是________
答案：-2022
10.一潜水艇位于水下记为-80m小时后,它又下潜了,则此时的位置应记为_____
答案：-100m
三、解答题
11.勘探小组测得7个测点的水平高度（以水平面为基准）是:-4.3，20.4，11.5，-11.6，5.0，-8.4(单位:).请你根据图1-1-1将这7个测点的水平高度填在括号里:A（ )，
B（ ），C（ ），D（ ），E（ ），F（ ），G（ ）

答案：20.4；11.5；5.0；-2.0；-8.4；-16.1；-4.3
12.悉尼、纽约与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数,负数表示同一时刻比北京时间俛的时数):
城市
悉尼（冬令时）
纽约（夏令时）
时差/时
+2
-12
当北京6月15日23时，悉圮，纽约的时间分别是什么时间?
答案：6月16日1时；6月15日11时

13.某电动自行车厂本周计划每天生产250辆电动自行车,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划产量相比情况如下表(达到计划产量记作正数,末达到记作负数):
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
-5
+7
-3
+4
+10
-9
-25
(1)本周内每天分别生产了多少辆电动白行车?
(2)本周是否完成了周计划?
答案：（1）星期一245辆，星期二257辆，星期三247辆，星期四254辆，星期五260辆，星期六241辆，星期日225辆；（2）-5+7-3+4+10-9-25=-21，故本周未完成.
14.一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±10%,想一想.
（1）诸你计算出该商品的最商价格和最低价格;
（2）如果超过标准价准记“+”,低于标准价格记“-”,该商品价格的浮动范用又可以怎样表示?
答案：（1）最高价：220，最低价：180；（2）（200±20）元
15.已知山脚的温度是,每升高100米,气温降低,山顶的温度是,那么山的高度是多少?
答案：4000米
精优演练
1.如图1-1-2,一只甲虫在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动,它从处出发去看望处的其他甲虫.规定：向上、向右走为正,向下、向左走为负.如:从到记为:;从到记为:,其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
(1)（ ）,____(-2,____);
(2)若这只甲虫的行走路线为,请计算该甲虫走过的路程;
(3)假如这只甲虫从处出发，去看望处的甲虫，行走路线依次为,,请在图1-1-3中标出的位算.

答案：（1）（+3，+4），（-2，-1）；（2）10；（3）略
2.如图1-1-4,一只蚂蚊在网格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从柺点出发去看望格点等处的蚂蚑,规定：向上、向右走为正,向下、向左走为负.如:从到记为:,从到记为:,其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
（1）图中,
(2)若这只蚂蚁从处去处的行走路线依次为,则点的坐标为（_______,_______)
(3)若图中另有两个柺点,且,则从到记为:

答案：（1）（+3，-1），（+1，+3）；（2）（7，3）；（3）+2，+4）
提分压轴
1.图1-1-5为某省某地的等高线示意图,图中为等高线,海拔最低的一条为80米,等高距离为20米,结合地理知识,处的海拔为______米,处的海拔为_______米,处的海拔为________米.

答案：80；100；120
2.叔叔送给聪聪一个智能小兔子,它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下,第二次就掉头向正北跳两下,第三次又掉头向正南跳三下，而且它每跳一下的距离均为20厘米.如果小兔子第一次向正南跳,那么跳完第80次后,它在起跳点的_______(填“正南”或“正北”)方向,距离起跳点________米.
答案：正北；8
3.实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用表示观测点相对观测点的高度),根据这次测量的数据,可得观测点相对观测点的高度是_______米.

A-C
C-D
E-D
F-E
G-F
B-G
90米
80米
-60米
50米
-70米
40米
答案：210

4.观察下列各式:
,
,
,

诮按上述规律,写出第2020个式子的计算结果是________.
答案：
5.用火柴棒按图1-1-6的方式摆大小不同的“"，依此规律，摆出第9个“”需火柴棒______根.

答案：29
6.图1-1-7是由火柴棒按一定规律搭成的儿何图案,则图(8)中应有_______根火柴棒

答案：144
7.图1-1-8是小田用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”,则搭10条“金鱼”需要火柴_____根.

答案：62
8.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数,规定:(1)按甲→乙→丙→丁→甲→乙⋯的顺序由甲从1开始循环报数，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到50时,报数结束;(2)若报出的数为3的倍数,则该报数的同学需拍手一次.在此过程中,甲同学需要拍手的次数为_______
答案：4
9.图1-1-9中,每个图形的四个数是按相同规律填写的,根据此规律确定x的值为______

答案：370
1.2有理数
海选初战
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.整数和分数统称有理数 B.正分数和负分数统称分数
C.正数和负数统称有理数 D.正整数、负整数和零统称整数
答案：C
2.下列说法中不正确的是（ ）
A.最小的自然数是1 B.最大的负整数是-1
C.没有最大的正整数 D.没有最小的负整数
答案：A
3.有理数在数轴上的对应点如图1-2-1所示,则下列各式正确的是( )

A. B. C. D.
答案：C
4.如国1-2-2,将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的原点上,纸片沿着数轴向左滚动一周,点到达了点的位置,则此时点表示的数是( )
A. B. C. D.

答案：A
5.如果,则( )
A.为0 B.为正数 C.为负数 D.为有理数
答案：A
6.下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
7.若,则等于（ ）
A.2 B. C.8或2 D.或
答案：C
8.有理数如图1-2-3所示,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.

答案：A
9.下列说法正确的是( )
A.一个数的绝对值等于它本身,这个数一定是正数
B.一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数
C.绝对值越大,这个数越大
D.两个负数,绝对值大的那个数反而小
答案：D
10.下列结论成立的是()
A.若,则 B.若,则或
C.若,则 D.若,则
答案：B
二、填空题
11.最大的负整数是______，最小的正整数是_______
答案：-1；1
12.已知,则的取值范围是_____
答案：x≥3
13.化简_______
答案：1
14.若,化简的结果为________
答案：4-x
15.已知,则的值是________
答案：-3
三、解答题
16.阅读:,它在数轴上的意义可以理解为:表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离为5；,它在数轴上的意义可以理解为:表示6的点与3的点之间的距离为3;
类比:,它在数轴上的意义为:表示的点____与的点_____之间的距离为______.在图1-2-4上标出这两个数并画出它们之间的距离.
归纳:在数轴上的意义为表示_______的点与______的点之间的距离.
应用:,它在数轴上的意义为表示的点_____与______的点之间的距离为1,所以的值为________

答案：9；-6；3；9；图略；a；b；a；-5；-4或-6
17.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离,并回答下列问题:
4与与与与3
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
（2）若数轴上的点表示的数为,点表示的数为-1,则与B两点间的距离可以表示为什么?
（3）结合数轴求的最小值，并求出取得最小值时x的取值范围；
（4）求满足的的取值范用.
答案：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）|x+1|；（3）5，-3≤x≤2；
（4）x《-4，x>-1
18.若，化简.
答案：-2

19.若,求的值.
答案：分四种情况：①若a，b，c都为正数，原式=4；②若a，b，c都为负数，原式=-4；③若a，b，c中两个为正数一个为负数，原式=0；④若a，b，c一个为正数两个为负数，原式=0
精优演练
1.数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度为,若在数轴上画出一条长的线段,则线段盖住的整点个数是( )
A.2019或2020 B.2018或2019 C.2019 D.2020
答案：A
2.下列各组代数式中,互为相反数的个数有（ ）
(1)与;(2)与-;(3)与1-a;(4)-与-.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
答案：B
3.点O,A,B,C在数轴上的位置如图1-2-5,为原点,.若点所表示的数为,则点所表示的数为( )
A. B. C. D.

答案：B
4.若有理数在数轴上的位置如图1-2-6,则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.

答案：D
5.为有理数,在数轴上的位罟如图1-2-7.化简:

答案：-2a
6.若为有理数,且,求的值为_______
答案：-1
7.如图1-2-8,分別为数轴上的两点,点对应的数为点对应的数为55,现有一动点以6个单位/秒的速度从点业发,同时另一动点以4个单位/秒的速度从点出发.
(1)若点向左运动,同时点向右运动,在数轴上的点相遇,求点对应的数;
(2)若点向左运动,同时点向左运动,在数轴上的点相遇,求点对应的数;
(3)若点向左运动,同时点向右运动,当点与点之间的距离为20个单位长度时,求此时点所对应的数.

答案：（1）19；（2）-125；（3）①相遇前，11；②相遇后，27

提分压轴
1.已知且,则当取什么数时,式子|x-a|+|x-15|+|x-a-15|的值最小?
答案：当x=15时最小，最小值为15

2.阅读材料，回答问题：点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为.当两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图1-2-9,.
当两点都不在原点时,
如图1-2-10,点都在原点的有边;
如图1-2-11,点都在原点的左边,;
如聂1-2-12,点A,B在原点的两边,;
综上，数轴上A，B两点之间的距离为.

（1）数轴上2和5的两点之间的距离是_____，数轴上-2和-5的两点之间的距离是____，数轴上1和-3两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果,那么为_____；
（3）当代数式取最小值时，求相应的x的取值范围.
答案：（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）-1≤x≤2

3.结合数轴与绝对值的知识和图1-2-13回答下列问题:
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______;表示-3和2两点之间的距离是_____;一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于,如果表示数和的两点之间的距离是2,那么______；
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点,使得,这些点表示的数的和是_____.
(3)当a=_______时，的值最小,最小值是_________.

答案：（1）3，5，1或-3；（2）12；（3）1，7

1.3有理数的加减法
海选初战
一、选择题
1.三个数的位置如图1-3-1,下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.

答案：C
2.已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则等于（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案：B
3.若,且,则一定是( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
答案：B
4.若,则的值是( )
A.-12或-2 B.-2或12 C.12或2 D.2或-12
答案：C
5.绝对值大于2且小于5的所有的整数的和是( )
A.0 B.5 C.7 D.
答案：A
6.有理数在数轴上对应点的位置如图1-3-2,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.

答案：A
7.我国是最早认识负数并用于计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法,图1-3-3表示的是计算3+(-4)的过程.按照这种方法,图1-3-4表示的过程应是在计算（ ）
A. B. C. D.

答案：C
8.下列说法中正确的是( )
A.一个有理数不是正数就昰负数 B.一定是正数 C.两个数的差一定小于被减数
D.如果两个数的和是正数.那么这两个数中至少有一个正数
答案：D
二、填空题
9.甲地的海拔高度为-300米,乙地比甲地高320米,乙地的海拔高度为________米.
答案：20
10.已知,且,那么______
答案：2或0
11小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图1-3-5，判定墨迹盖住部分的整数的和是_____


答案：-4
12.计算:________

答案：-1008
13.定义:是不为1的有理数,我们把称为的差倒数,如:2的差倒数是的差倒数是.已知是的差倒数,是的差倒数,是的差倒数,...以此类推,则________
答案：
三、解答题
14.某升降机第一次上升,第二次上升,第三次下降,第四次又下降(记升降机上升为正,下降为负）.
(1)这时升降机在初始位置的上方还是下方?相距多少米?
(2)升降机共运行了多少米?
答案：（1）下方，相距2米；（2）运行22米

15.有20筐白莱,以每筐25千克为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示,记录如下:
(1)20筺白莱中,最重的一筐比最轻的一筐重多少千克?
(2)与标准重量比较,20筐白菜总计超过或不足多少千克?
(3)若白菜每千克售价元,则出售这20筺白菜可卖多少元?(结果保留整数)
与标准质量的差值/千克
-3
-2
-1.5
0
1
2.5
筺数
1
4
2
3
2
8
答案：（1）5.5；（2）超过8千克；（3）1321元

16.有一只青蛙坐在井底,井深,青蛙第一次向上爬了,又下滑了;第二次向上爬了,又下滑了;第三次向上爬了,又下滑了;第四次向上舥了,又下渦了…
(1)青蛙迫了四次后,距离井山还有多远?
(2)青蛙第四次之后,一共经过多少路程?
(3)若青蛙第五次向上爬的路程与第一次相同,问能否爬出井.
答案：（1）0.5米；（2）6.3米；（3）3，5+1.2=4.7>4，能爬出井

精优演练
1.(1)比较大小:
①；②;
③；④
(2)通过(1)中的大小比较,猜想并归纳出与的大小关系,并说明满足什么关系时,成立?
答案：（1）>，=，=，=；（2）|a+b|≤|a|+|b|；a，b同号或至少有一个为0时相等
2.在一个的方格中填写9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方.
(1)在图1-3-6中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;
(2)图1-3-7的方格中填写了一些数和字母,当的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.

答案：（1）1，-1，5，0；（2）x+y=5+8=13时，能构成

提分压轴
1.对于可以如下计算：
原式


上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，请你计算:
.
答案：


2.用分别表示加法、减法,例如:,按照以上规定,计算下列各题:
(1);
(2).
答案：（1）5；（2）1

3.两数在数轴上的位置如图1-3-8,设,试判断,所表示的数的大小.

答案：G>N>H>M
4.从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填人一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,若取前3格子中的任意两个数记作,且,那么所有的的和可以通过计算得到,其结果为_______
9


x
-6



2
……
答案：30

5.平移和翻折是初中两种重要的图形变化.
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处,先向负方向移动3个单位长度,再向正方向移动2个单位长度,这时笔尖的位置表示什么数?用算式表示以上过程及结果是_______
②一机器人从原点开始,第1次向左跳1个单位,紧接着第2次向右跳2个单位,第3次向左跳3个单位,第4次向右跳4个单位,,依此规律跳,当它跳2019次时,落在数轴上的点表示的数是______；
(2)翻折变换
①若折叠纸条,表示-1的点与表示3的点重合,则表示2019的点与表示-_______的点重合;
②若数轴上两点之间的距离为2019(在的左侧,且折痕与(1)折痕相同),且两点经折叠后重合,则点表示________,点表示_______
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为,折叠中间点表示的数为________(用含有的式子表示).
答案：（1）①(-3)+(+2)=-1，②-1010；（2）①-2017，②-1008.5，1010.5，③（a+b）


1.4有理数的乘除法
海选初战
一、选择题
1.用正负数表示气温的变化里,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每登高,气温的变化量为,攀登后,气温（ ）
A.上升 B.下降 C.上升 D.下降
答案：D
2.如果,那么下列各式中一定正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
3.如果,且,则a-b=( )
A.3 B.3或 C. D.7或
答案：D
4.如果,则一定是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
答案：B
5.下列说法正确的是( )
A.5个有理数相乘,当负因数为3个时,积为负
B.绝对值大于1的两个数相乘,积比这两个数都大
C.3个有理数的积为负数,则这3个有理数都为负数
D.任何有理数乘以都等于这个数的相反数
答案：D
6.下列说法中,正确的是( )
A.绝对值等于本身的数是正数 B.倒数等于本身的数是1
C.0除以任何一个数,其商为0 D.0乘以任何一个数,其积为0
答案：D
7.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
8.有理数在数轴上对应点的位置如图1-4-1,下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.

答案：B
9.点在数轴上的位置如图1-4-2,其对应的有理数分别是和.对于下列四个结论:
(1);(2);(3);(4).其中正确的是( )
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(3) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)

答案：B
二、填空题
10.在这四个数中，任意取3个数进行乘法运算，所得最大的积是_______
答案：60
11.若,则ac_____0
答案：<
12.若,则_____
答案：12
13.已知为有理数,且,则的值是_______
答案：3或-1
14.在四个数中任取两数相乘,积记为,任取两数相除,商记为,则的最大值为__________
答案：
三、解答题
15.计算，方方同学得计算过程如下，原式==-12+18=6请你判断方方的计筫过程是否正确,若不正确,请你写出正确的计算过程.
答案：不正确，过程略

16.计算.
解法1:


解法2:原式的倒数为

,故原式
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
.
原式=

17.小田有5张写着不同数的卡片,请你按照题目要求抽出卡片,完成下列问题.
（1）从中取出3张卡片,使这3张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少?
（2）从中取计2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少?

答案：（1）抽取-7、-5、+4，乘积最大为140；（2）抽取-7、1，商的最小值为-7
精优演练
1.若定义一种新的运算“*”,规定有理数,如.
(1)求的值;
(2)求的值.
答案：（1）-48；（2）-576

2.观察下面三个特殊的等式:
;
;
;
将这三个等式的两边相加,可以得到.
读完这段材料，请你思考后回答：
(1)直接写出下列各式的计算结果:
①______
②_______
(2)探究并计算:
________
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
_______
答案：（1）①440，②；（2）；（3）4290
3.如图1-4-4,两点在数轴上对应的数分別为,且点在点的左边,,，.
(1)求计的值；
(2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点B出发,以2个单位长度/秒的速度向左运动.
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相䢙,求出点对应的数；
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度?

答案：（1）a=-10，b=90；（2）①50；②16秒或24秒

提分压轴
1.在学习有理数乘法时,李老师和同学们做了这样的游戏,将2020这个数说给第一位同学,第一位同学将它减去它的的结果告诉第二位同学,第二位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三位同学,第三位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四位同学,,照这样的方法,直到全班40人全部传完,最后一位同学将听到的结果告诉李老师,你知道最后的结果吗?
答案：50.5

2.数学活动淉上,小明遇到这样一个问题:一个数乘2后减去8,然后除以4,再减去这个数的,结果为多少?他让小组内5名成员分别取这个数为,发现计算后的结果一样.
(1)请从上述5个数中任取一个数,计算出这个结果;
(2)小明产生了这样的猜想:无论这个数是几,其计算结果都一样,这个猜想对吗?请说明理由.
答案：（1）取-5，结果为-2；（2）对，设这个数为x，结果=（2x-8）÷4-x=-2

3.图1-4-5是一个“有理数转换器”(箭头是指数进人转换器的路径,方框是对进入的数进行的转换).

(1)你认为当输入什么数时,其输出结果是0?
(2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数?
(3)当小明输人这三个数时,这三次输出的结果分别是:_______
答案：（1）输入0或5的倍数；（2）输出的数不可能为负数；（3），，



4. 当时,.
用这个结论汀以解决下面问题:
(1)已知是有理数,当时,求的值;
(2)已知是有理数,当时,求的值;
(3)已知是有理数,,求的值.
答案：（1）±2或0；（2）±1或±3；（3）a，b，c两正一负，原式=-1

1.5有理数的乘方
海选初战
一、选择题
1.下列算式中,运算结果为负数的是( )
A. B. C. D.
答案：C
2.下列各组数:和和和和,其中结果相等的共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案：A
3.已知,且,则的值等于( )
A.5 B. C. D.5或1
答案：A
4.餐桌上的一蔬一饭,舌尖上的一饮一酌,实属来之不易,舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克,这个数据用科学记数法表示为( )
A.千克 B.千克 C.千克 D.千克
答案：C
5.下列各数据中,近似数的个数有( )
(1)2004年印度洋海啸死亡约万人;(2)刘翔110米栏的世界纪录是12秒91；(3)小明每天要吃3个苹果;(4)声音的传播速度是.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：D
6.现要加工一批零件,零件的尺寸要求是直径为,下列直径尺寸的产品不合格的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
7.数4是的近似值,其中叫做真值.若一个数经四舍五人得到的近似数是12,则下列各数中不可能是12的真值的是
A. B. C. D.
答案：B
8.许多人由于粗心,经常造成水龙头“滴水”不断.根据测定,一般情况下，一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉千克水.若1年按365天计算,这个水龙头1年可以流掉（ ）千克水.（用科学记数法表示,结果精确到百位)
A. B. C. D.
答案：D
二、填空题
9.若互为倒数,则_____
答案：1
10.若,则________
答案：±1或±5
11.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,4小时后分裂成18个并死去1个.按此规律,10小时后细胞存活的个数是______
答案：1025
12.将一张长方形的纸按图对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二次对折后可得到3条折痕,第三次对折后得到7条折痕，那么第6次对折后得到的折㢃比第5次对折后得到的折痕多_________条.

答案：32
13.拉面馆的师傅将一根很粗的面条,捏合一起拉伸,再捏合,再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图1-5-2.这样，第4次捏合后可拉出______根细面条；第_________次捏合后可拉出256根细面条.

答案：16；8
三、解答题
14.已知:,且,求的值.
原式=-1或-125
15.由乘方的意义可知，,反过来,，请你利用乘方的意义和乘法运算律计算..
原式=-1

精优演练
1.探究:用幂的形式表示的结果为正整数.
分析:根据乘方的意义,.
问题:(1)请根据以上结论填空：=______；=_______；=____；
(2)仿照以上分析过程,用幂的形式表示的结果(提示:将看成一个整体).
答案：（1），，；（2）

2.根据.回答下列三个问题:
(1)猜想:______;
(2)请用我们学过的知识说明上式成立的理由.
(3)请计算:.
答案：（1）；（2）略；（3）

3.观察下列各式:



（1）计算:的值；（2）试猜想的值.
答案：（1）3025；（2）

提分压轴
1.概念学习:
规定:求若干个相同的有理数（均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2，等.类比有理数的乘方,我们把记作,读作“2的圈3次方”,记作,读作“-3的圈4次方”,一般地,把（a≠0）记作,读作“的圈次方".
初步探究:
(1)直接写出计算结果:=_______；=________；
(2)关于除方,下列说法错误的是_________；
A.任何非零数的圈2次方都等于1 B.对于任何正整数C,
C. D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
深人思考:
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?

(3)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
；；=________；
(4)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；
(5)算一算:

答案：（1），-27；（2）C；（3），，；（4）；（5）-131
2.看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个摇身一变,各变成2个孙悟空,一共有4个孙悟空;这4个孙悟空再变,变成8个孙悟空；.假设孙悟空一共变了80次.
(1)一共有多少个孙悟空?
(2)若已知地球重约,假设每个孙悟空的体重为,请你列出算式来估计一下:这些孙悟空体重总和相当于地球重量的多少倍?,结果保留一位小数)
答案：（1）；（2）10.2倍

3.许多同学都认为一粒米微不足道,平时总会在饭桌上毫不经意地掉下儿粒,甚至有些挑食的同学会把整块馒头或整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食的现象,老师组织同学们进行了实际测算,称得500粒大米约重10克.现在请你来计算:
（1）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算,若每人每餐节约一粒大米,一年大约能节约大米多少千克？(结果精确到千位)
（2）假若我们把一年节约的大米卖成钱,按2元/千克计算,可卖得人民币多少元?(结果精确到百万位）
（3）对于因贫困而失学的儿童,学费按每人每年500元计算,卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学?(精确到个位)
（4）经过以上计算,你有何感想和建议?
答案：（1）2.847×千克；（2）5.7×；（3）114000；（4）提倡节约，杜绝浪费


直击中考
专题一
1.（河北）规定:表示向右移动2记作,则表示问左移动3记作（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2.（广州）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收人100元记作元.那么-80元表示（ ）
A.支出20元 B.收人20元 C.支出80元 D.收人80元
答案：C
3.在四个数中,负数是（ ）
A. B.0 C.1 D.
答案：D
4.（云南）若零上记作,则零下记作_______℃
答案：-6
5.（湖北荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组:(1),,现有等式表示正奇数是第组第个数(从左往右数),如,则=（ ）
A. B. C. D.
答案：B
专题二
1.（四川乐山）-a一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.0 D.以上选项都不正确
答案：D
2.（吉林长春）如图1-中考,数轴上表示的点到原点的距离是（ ）
A. B.2 C. D.

答案：B
3.有理数在数轴上的对应点如图1-中考-2,则下列各式子正确的是( )
A. B. C. D.

答案：C
4.如图1-中考-3，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1,用么点B表示的数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3

答案：D
5.已知|a|=1，b是2的相反数,则的值为( )
A. B. C.或-3 D.1或-3
答案：C
6.在一条不完敕的数轴上从左到右有点,其中,如图1-中考-4.设点所对应数的和是.
(1)若以为原点，写出点对应的数，并计算的值；若以为原点,又是多少?
(2)若原点在图中数轴上点的右边,且,求.

答案：（1）-2，1，-1，-4；（2）-88
专题三
1.某年一月份,哈尔滨市的平均气温约为,绥化市的平均气温约为,则两地的温差为__________
答案：3
2.图1-中考-5是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是_______.

答案：11
3.数轴上有两个实数,且,则四个数的大小关系为______（用“<”号连接).
答案：b<-a 4.有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和,如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是________.这2019个数的和是_________.
答案：0；2
5.数轴上两点的距离为4,一动点从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到的中点处,第2次从点跳动到的中点处,第3次从点跳动到的中点处,按照这样的规律继续跳动到点是整数)处，那么线段的长度为__________是整数.

答案：
专题四
1.实数在数轴上的对应点的位置如图1-中考-7,下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.

答案：D
2.实数满足且,它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）

答案：A
3.若,则_______
答案：3或-1
4.有个填写运算符号的游戏:在“1£2£6£9”中的每个£内,填人“+,-，×，÷”中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9;
(2)若1÷2×6£9=-6,请推算£内的符号;
(3)在“1£2£6-9”的£内填人符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
答案：（1）-12；（2）-；（3）最小数是-20

5.请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:

(1);
(2).
答案：（1）-14985；（2）99900
专题五
1.预计到2025年,中国用户将超过460 000 000,将460000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
2.2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行,贵州省共签约项目125个,金额约1008亿,1008亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：D
3.如图1-中考,数轴上有O，A，B三点,为原点,分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中，与点表示的数最为接近的是（ ）
A. B. C. D.

答案：C
4.图1-中考-10是某种细胞分裂示意图,这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个.根据此规律可得:
(1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成_________个细胞;
(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成___________个细胞;
(3)这样的一个细胞经过(为正整数)小时后可分裂成____________个细胞.

答案：（1）16；（2）64；（3）

5.如图1-中考,将一条长度为1的线段三等分,然后取走其中的一份,称为第一次操作;再将余下的每一条线段三等分,然后取走其中的一份,称为第二次操作;如此重复操作,当第次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为__________.

答案：
6.古希腊数学家把数叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,依此类推,那么第9个三角形数是__________.
答案：45
7.图1-中考-12是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,按此规律,第行有__________个点.

答案：
8.观祭下列数据:,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是__________
答案：
9.观察下列各数:按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
10.观察下列关于自然数的式子:
①②③
根据上述规律,则第2017个式子的值是（ ）
A.8064 B.8065 C.8066 D.8067
答案：D
11.观察下列运算过程:
计算:.
解:设,①
①,得,②
②-①,得.所以,.
运用上面的计算方法计算:________
答案：
12.观察下列运算:
,则的和的个位数字是__________.
答案：2


第一章
综合能力擂台
一、选择题
1.已知为有理数，则下列四个数中，一定为非负数的是( )
A. B. C.|-a| D.
答案：C
2.是数轴上的两点,线段上的点表示的数中,有互为相反数的是( )

答案：C
3.有理数在数轴上的对应点如图1-1,则下列各式子错误的是（ ）
A. B. C. D.

答案：C
4.据统计,某年我国国内生产总值达397983亿元,则以亿元为单位用科学记数法表示这一年我国的国内生产总值为（ ）亿元.
A. B. C. D.
答案：B
5.用四舍五人法将130542精确到千位,正确的是( )
A.131000 B. C. D.
答案：C

6.13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘"，则刀鞘数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C

7.点在数轴上的位罝如图1-2,其对应的数分别是和.以下结论,正确的是（ ）
甲:;乙:;丙:;丁:.
A.甲、乙 B.丙、丁 C.甲、丙 D.乙、丁

答案：C

8.制作一块长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情兄下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元
答案：C

9.图1-3中图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中图①中有3张黑色正方形纸片,图②中有5张黑色正方形纸片,图③中有7张黑色正方形纸片,,按此规律排列下去,图⑥中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A.11 B.13 C.15 D.17

答案：B

10.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…，若分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）
A.43 B.44 C.45 D.46
答案：C

二、填空题
11.在这四个数中,最小的数是________
答案：-1

12.如图1-4,数轴上点所表示的数的相反数是________

答案：2
13.计算:_______
答案：2

14.用四舍五入法把精确到是_________
答案：3.5
15.,那么的值是________
答案：16
16.古希腊数学家把数叫做三角数,它有一定的规律.若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，计算，，，…，由此推算=_______
答案：160000
三、计算题
17.小明家买了一辆轿车,小明记录了连续7天中每天轿车行驶的路程,如下表所示,以为基准，超过的记为“+"，不足的记为“-”.
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程/km
-8
-10
-12
0
-16
+41
+26
（1）求小明家的轿车这7天中平均每天行驶的路程；
（2）若该轿车每行驶100km耗气油8L，汽油每升7.43元，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？（精确到0.1）
答案：（1）53；（2）945.1元
18.根据下面的解题过程：
计算
解:原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
回答：(1)上面解题过程中有两处错误,第一处是第______步,错误的原因是_______，第二处是第_________步，错误的原因是__________
（2）把正确的解题过程写出来.
答案：（1）二，运算顺序错误，三，得数错误；（2）原式=540
19.计算
(1)
(2).
答案：（1）8；（2）-62

四、解答题
20.阅读下面的计算过程,体会“拆项法”.
计算:
解:原式


用上面的方法完成下列计算:
(1);
(2).
答案：（1）；（2）

21.小明说：“我定义了一种新的运算.叫※(加乘)运算".然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：
.
小田看了这些算式后说：“我可仿照乘法法则知道定义的（加乘）运算的运算法则.”聪明的你也明白了吗？
（1）归纳※(加乘)运算的运算法则；两数进行※(加乘)运算时，________________________，特别地,0和任何数进行(加乘)运算,或任何数和0进行※(加乘)运算时,_________________.

（2）计算:※※※0](括号的作用与它在有理数运算中的作用一致).

（3）我们知道加法有交换律和结合律,这两种运算律在有理数的※(加乘)运算中还适用吗?请你任选一个运算律,判断它在※(加乘)运算中是否适用,并举例验证.(举一个例子即可)
答案：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数得绝对值；（2）-17；（3）交换律适用，如（-5）※（-3）=8，（-3）※（-5）=8；结合律不适用，如[（-3）※4]※0=7，（-3）※[4※0]=-7

22.小明爸爸给小明出了一道题,说明他本月炒股的盈亏情况(单位:元).
股票
每股净赚（元）
股数
A
+8
500
B
-（-2.8）
1000
C
-1.5
1500
D
-
2000
请你计算一下，小明爸爸本月投资股票到底是赔了还是赚了？赔了或赚了多少元？
答案：赚了，赚了950元


23.如图1-5.点在数轴上表示的数分别是1，-1，-2.E是线段的中点,点从点出发,向左运动,速度是每秒个单位,设运动的时间是秒.
(1)点表示的数是________；
(2)在这两个时间中,使点更接近原点的时间是哪一个?
(3)若点分别在两个不同的位置时,到点的距离完全一样,求的值；
(4)设点在数轴上表示的数是,点在数轴上表示的数是,用和列一个代数式,使这个式子的值可以体现点和点之间距离的远近,这个式子的值越小,两个点的距离越近.

答案：（1）；（2）t=3更接近原点；（3）n=；（4）|m-n|
24.观察下列两个等式:,给出定义:我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”,记为,如：数对,都是“共生有理数对".
(1)数对中是“共生有理数对”的是___________；
(2)若是“共生有理数对”,则_______（填“是”或“不是”）“共生有理数对”
(3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为__________（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)
(4)若是“共生有理数对”,求的值.
答案：（1）；（2）是；（3）；（4）a=-2
25.【知识背景】在学习计算框图时,可以用“▱”表示数据输人、输出框；用“▭”表示数据处理和运算框；用“◊”表示数据判断框(根据条件决定执行两条路径中的某一条).
如图1-6,若输入0,则输出;如图1-7,若输入0,则输出.
【尝试解决】
(1)如图1-6,当输人数时,输出数_______；
(2)如图1-7,当输人数时,输出数______；当输出的值时,则输人的值______.

答案：（1）-9；（2）-29，-20