新高考数学考前模拟卷19（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷19（原卷版+解析版），共35页。

新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·河南新乡市·高三一模（理））复数，则（ ）
A．4 B．
C． D．
2．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（理））已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
3．（2020·全国高二课时练习）已知可导函数的导函数为，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（理））已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（ ）
A．c 5．（2020·山西高三期中（文））函数在处的切线垂直于轴，且，则当取最小正数时，不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·福建漳州市·龙海二中高三月考）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
7．（2020·湖北十堰市·高二期中）波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳乡，婴波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列，在数学上，裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，现从该列前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（2020·全国高三专题练习）已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 （ ）
A．的最大值为 B．的周期为
C．的图象关于点对称 D．在上是增函数
10．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
12．（2020·江苏南通市·高三月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知函数在上的值域为，则的取值范围是______.
14．（2020·上海普陀区·高三期中）已知：，且为第四象限角，则___________．
15．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知的所有项的系数的和为64，则______，展开式中项的系数为______.
16．（2020·浙江温州市·高二期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，为线段上的点（异于，），则和所成的角的大小是_______，三棱锥的体积为_________.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·河南高三月考（理））在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）为边上的一点，且满足，，锐角三角形面积为，求的长.
18．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知数列满足，且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前n项和，记，求证：.
19．（2020·河南新乡市·高三一模（理））甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．

已知甲测试成绩的中位数为75．
（1）求，的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．
（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为，其中
①求，；
②求证为等比数列，并求的表达式．
20．（2020·山东枣庄市·高三期中）如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.

（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
21．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知函数（，且，为自然对数的底）．
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数在有零点，证明：．
22．（2020·江苏南京市·高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程.



新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
四、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·河南新乡市·高三一模（理））复数，则（ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由已知，，
所以．
故选：B.
2．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（理））已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【答案】B
【详解】
由，
B＝{0，1，2，3}，
所以.
故选：B
3．（2020·全国高二课时练习）已知可导函数的导函数为，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
充分性：取，则，，当或时，，
所以，函数在上单调递增，该函数无极值点，充分性不成立；
必要性：由极值点的定义可以得出，可导函数的极值点为，则，必要性成立.
因此，“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件.
故选：B．
4．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（理））已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（ ）
A．c 【答案】D
【详解】
因为指数函数为减函数，且，
所以，即；
因为幂函数为增函数，且，
所以，即，
所以，
故选：D
5．（2020·山西高三期中（文））函数在处的切线垂直于轴，且，则当取最小正数时，不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
，则，
由题意可得，则，解得.
，
则，可得，解得.
所以，当取最小正数时，，所以，.
由可得，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：C.
6．（2020·福建漳州市·龙海二中高三月考）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【详解】
由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
所以，得．
又由知，，所以当时，，
故选：C．
7．（2020·湖北十堰市·高二期中）波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳乡，婴波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列，在数学上，裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，现从该列前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，令，得，以此类推，可得数列的前12项依次是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.所以基本事件总数为12，其中满足能被3整除的有3,21,144，共计3种，故能被3整除的概率.
故选：B.
8．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图所示：

，是双曲线的左右焦点，延长交于点，
是的角平分线，
，
又点在双曲线上，
，，
又是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
即，
在中，，，，
由三角形两边之和大于第三边得：，
两边平方得：，
即，
两边同除以并化简得：，
解得：，
又，
，
在中，由余弦定理可知，，
在中，，
即，
又，
解得：，
又，
,
即，
，
综上所述：.
故选：B.
五、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（2020·全国高三专题练习）已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 （ ）
A．的最大值为 B．的周期为
C．的图象关于点对称 D．在上是增函数
【答案】ABD
【详解】
解：，
当，时，的最大值为，选项A描述准确；
的周期,选项B描述准确；
当时，，所以的图象关于点对称，选项C描述不准确；
当时，，所以在上是增函数，选项D描述准确.
故选：ABD.
10．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】
因为数列满足，，，
所以，
两式相减得：，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；
偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；
所以数列 的通项公式是，
A. 令时， ，而 ，故错误；
B. 令时， ，而 ，故错误；
C. 当时， ，而 ，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；
D. 因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；
故选：CD
11．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
【答案】AC
【详解】
过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：

A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
12．（2020·江苏南通市·高三月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
【答案】ABD
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：

由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.

故选：ABD.
六、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知函数在上的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】
解：因为，，而函数在上的值域为，
所以结合函数的图像，可得的取值范围是.

14．（2020·上海普陀区·高三期中）已知：，且为第四象限角，则___________．
【答案】
【详解】
由已知，又为第四象限角，∴，
∴．
故答案为：．
15．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知的所有项的系数的和为64，则______，展开式中项的系数为______.
【答案】1 15
【详解】
令得，，解得，
的展开式的通项，分别取与，得，，
所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，所以展开式中项的系数为.
故答案为：1；15.
16．（2020·浙江温州市·高二期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，为线段上的点（异于，），则和所成的角的大小是_______，三棱锥的体积为_________.

【答案】
【详解】
解：如图所示：连接，，

又，分别为， 的中点，
，
又，
就是和所成的角，
又平面，
平面，
，
即 ，
和所成的角的大小是；
如图：连接，，
，
平面，
平面，
平面，
到平面的距离就等于到平面的距离，
又正方体的棱长为，到平面的距离为，
即三棱锥的高为 ，
为等边三角形，
，
.
故答案为：；.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·河南高三月考（理））在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）为边上的一点，且满足，，锐角三角形面积为，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1），由正弦定理可得，
化简可得，，
，.
（2）因为锐角三角形的面积为，
所以，，
因为，所以，
在三角形中，由余弦定理可得：
，所以，
在三角形中，，所以，
在三角形中，，解得.
18．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知数列满足，且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前n项和，记，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）构成等比数列，∴，∴，
∴是一个等差数列，设其公差为，
由得：，解得：，
.
（2）证明：由（1）知：，
，∴是一个以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∴，
∴，
，，，即.
19．（2020·河南新乡市·高三一模（理））甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．

已知甲测试成绩的中位数为75．
（1）求，的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．
（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为，其中
①求，；
②求证为等比数列，并求的表达式．
【答案】（1）．，甲74.5，乙73.5；（2）①，；②证明见解析，.
【详解】
解：（1）∵甲测试成绩的中位数为75，
∴，解得．
∴，解得．
同学甲的平均分为．
同学乙的平均分为．
（2）由（1）可知甲的平均分大于乙的平均分，则甲最先答题．
①依题意知，，，
②依题意知第次由甲答题，则若第次甲答题且答对，则第次甲答题；若第次乙答题且答错，则第次甲答题.
所以．
∴，．
又，∴是以为首项，为比的等比数列，
∴，∴．
20．（2020·山东枣庄市·高三期中）如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.

（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，点M与点A重合.
【详解】
（Ⅰ）连接，，

因为D，E分别是，的中点，
故，平面，平面，
所以平面.
因为E，F分别是，的中点，
所以，证平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面AEF，
所以平面平面，
又平面，所以平面AEF，
（Ⅱ）题意得AB，AC，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.
因为，.
设平面AEF的法向量为，
由，得，
令，得，，
所以平面AEF的一个法向量为.
设，又，
所以.
若直线与平面AEF所成角为，
则

.
解得：或，即当点M与点A重合，
或时，直线与平面AEF所成的角为.
21．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知函数（，且，为自然对数的底）．
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数在有零点，证明：．
【答案】（1）当时，增区间为，减区间为．当时，增区间为，减区间为；（2）证明见解析.
【详解】
（1）解：由，知．
①当时，定义域为，由，得，由，得．
②当时，定义域为，由，得，由，得．
综上，当时，增区间为，减区间为．
当时，增区间为，减区间为．
（2）证明：因为有正零点，所以，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增．
所以，即．
对于函数，有，在上单调递减，在上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时，取等号．
故当时，，即．
在不等式中，取，可得，即，从而，所以，即．
22．（2020·江苏南京市·高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程.
【答案】（1）； （2）①证明见解析，②或.
【详解】
（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上，
可得，解得，，所以椭圆的方程为.
（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，即，且，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，得，
设，，，，则有，，
所以
，
所以，
所以，即，即以为直径的圆过原点.
②由①可得，，，
所以，
点到直线的距离为，
可得，解得，或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
则直线方程为或.