江苏省苏州中学园区校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年江苏省苏州中学园区校八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，平面直角坐标系中有，、，四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4.下列代数式变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.如图所示，在菱形中，若，，则菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.已知直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D.

7.以下命题中，真命题是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形和等边三角形都是中心对称图形
C. 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

8.如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在平面直角坐标系中，的一条边在轴上，，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点和的中点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在中，，，，将绕直角边的中点旋转，得到，若的直角顶点落在的斜边上，与交于点，则线段的长度约为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.若点在反比例函数图象上，则代数式 ______ ．

12.当 ______ 时，分式有意义．

13.某商场销售一批散装坚果，进价为元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤元时，当日销量为斤，那么每日该坚果的销量单位：斤与每斤价格单位：元之间的函数表达式为______ ．

14.已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是        ．

15.如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则        ．

16.已知点，都在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是        ．

17.如图，矩形纸片中，，为上一点，平分，，则的长为______ ．

18.如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，；作分别交、于点、，、分别是，的中点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解方程：
；
．

20.本小题分
如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且求证：．

21.本小题分
先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值．

22.本小题分
阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，，，．
任务：已知．
求的值．
求的值．

23.本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
直接写出不等式的解集．
分别求出两个函数的解析式；
连接，，求的面积．

24.本小题分
某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车得到相关数据如下：

设两款车的续航里程均为千米，请用含的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元．
请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为元和元问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用

25.本小题分

如图，在网格图中，的三个顶点都在格点上，点为三角形内一点，请只用无刻度直尺作图．
请画出中边对应的中位线；
请过点作线段，与交于点，与交于点，且满足点是的中点．

26.本小题分
已知在平面直角坐标系中有矩形，满足，．
如图，若反比例函数的图象经过点，且与交于点，求点的坐标；
如图，将矩形沿线段翻折，使得点与点重合，此时点，在同一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边的长度和线段所在直线的解析式．

 

27.本小题分
【方法回顾】
如图，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点，若，，则______．

【问题解决】
如图，菱形的边长为，过点作一条直线交边于点，且，点是上一点，且，过点作，与直线交于点，若，求的长．
【思维拓展】
如图，在正方形中，点在所在直线上的上方，，连接，，若的面积与的面积之差为，则的值为______用含的式子表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】 

【解析】解：、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、无论取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意．
故选：．
根据分式有意义，分母不等于对各选项分析判断即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．

3.【答案】 

【解析】解：；；；；
从上面求值情况可明显看出：若其中有三个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数的图象上的点是．
故选：．
此题可以先假设，、，四点都位于反比例函数图象上，求出各点对应的值，找出与其它三个不同的值即可
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

4.【答案】 

【解析】解：项计算法则没有，选项不合题意；
，成立，选项符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不合题意；
故选：．
利用分式的基本性质计算后判断正误．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．

5.【答案】 

【解析】解：连接交于点，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．
由菱形的性质得，，，由勾股定理求出，则，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，
当时，，，
；
当时，直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和
要使，则直线要在反比例函数上面，
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或．
故选：．
根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论．
本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，而等边三角形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据菱形的判定、中心对称图形的概念、平行四边形的判定判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，则，得，再由三角形内角和定理求出，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：的一条边在轴上，，，
，，
的中点，
设向右平移个单位，则平移后的点，，
反比例函数的图象恰好经过点，，
，
解得，
，
故选：．
根据题意表示出平移后的点，，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标于图形的变化平移，正确表示出点的坐标是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，于，过点作交于，过点作于，

绕直角边的中点旋转，得到，
，，
，，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：舍去，，
，
，
故选：．
连接，过点作于，于，过点作交于，过点作于，利用旋转性质得到：，，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，进而可得，运用面积法可得，，再证得≌，得出，设，利用面积法可得，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形的内角和定理及外角性质，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定和性质是解答的关键．

11.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以得到所求式子的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，明确题意，利用反比例函数的性质是解答本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，
与成反比例关系，
设，
时，，
，
解得，，
与之间的函数表达式为：，
故答案为：．
由题意知：坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，可设，把，代入求出即可得到结果．
本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意先构造函数模型，利用待定系数法求出函数解析式是常用方法．

14.【答案】且 

【解析】解：，
去分母得：，
解得：，
分式方程的解是负数，
且，
即且，
解得：且．
故答案为：且．
直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理得，再根据旋转的性质得，从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：由反比例函数为常数可知图象位于一、三象限，随的增大而减小．
点，在反比例函数常数的图象上，且，
点，不在同一象限，则点第一象限，点在第三象限．
，
．
故答案为：．
由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：矩形纸片，
，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再证明，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据题意得出，利用勾股定理列出方程是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是正方形，，
，四边形为矩形，
为等腰直角三角形，，
是的中点，
，
则，
即是直角三角形，
是的中点，四边形是矩形，
点在上，且是的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
连接，，易求为等腰直角三角形，是直角三角形，即可得，利用勾股定理求解的长即可求解．
本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用．熟练掌握这些性质是解题的关键．

19.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．

21.【答案】解：原式



；
要使原代数式有意义，分母和除式里的除数都不为，只能取，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

22.【答案】解：，
，
，
；
，
． 

【解析】利用分式约分化简解题；
先求出倒数的值，然后代入求值即可．
本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．

23.【答案】解：由图象可知，不等式的解集为：，；
由过点和可得：，
解得：，
故，
又由过点和可得：，
解得：，
故；
由过点，可知，
故：，
点，
点到轴的距离为，
，
而点到轴的距离为，
，
．
 

【解析】观察图象，根据图象可直接得出的取值范围；
将、代入反比例函数中即可求出、的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；
根据一次函数解析式求出点坐标即可根据三角形面积计算公式求出．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．

24.【答案】解：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
元，元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 

【解析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：正确列出代数式；找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
设每年行驶里程为千米时，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．

25.【答案】解：如图，线段即为所求；如图，线段即为所求．
 

【解析】根据中位线的定义，利用网格特征寻找，的中点，即可；取线段与网格线的交点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题．

26.【答案】解：矩形，，，
的横坐标为，
把代入得，，
点的坐标为；
连接，
设反比例函数为，
，，
，，
，，
由题意可知，，
由勾股定理得，，
，
，
，
整理得，
，
，
，
负数舍去，
，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为． 

【解析】由题意可知的横坐标为，把代入即可求得点的坐标；
由题意，，根据翻折对称的性质得出，，利用勾股定理得出，，由矩形的性质得出，即可得到关于的方程，解方程求得，即可求得的长度和、的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理的应用，根据题意得出关于的方程是解题的关键．

27.【答案】   

【解析】解：【方法回顾】如图中，

四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，，
，，
．
故答案为．

【问题解决】如图中，

四边形是菱形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
．
，
．

【思维拓展】如图中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，．

，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，设，
，
，
，
，
故答案为．
【方法回顾】如图，利用“”证明，则，，然后利用得到．
【问题解决】证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【思维拓展】如图中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．