2023年四川乐山中考数学真题（解析版）

这是一份2023年四川乐山中考数学真题（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算：　　
A． B． C． D．1
2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为　　
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各点在函数图象上的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为　　

A．100 B．150 C．200 D．400
6．（3分）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连结．若，，则　　

A．2 B． C．3 D．4
7．（3分）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则　　

A． B． C．4 D．
9．（3分）如图4，抛物线经过点、，且，有下列结论：
①；
②；
③；
④若点，，，在抛物线上，则．
其中，正确的结论有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，为弦的中点．当、两点在圆上运动时，面积的最大值是　　

A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）不等式的解集是　　．
12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 　　．
13．（3分）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 　　．

14．（3分）若、满足，则　　．
15．（3分）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点．若，则　　．

16．（3分）定义：若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则　　；
（2）若双曲线存在“和谐点”，则的取值范围 　　．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算：．
18．（9分）解二元一次方程组：．
19．（9分）如图，已知与相交于点，，，求证：．


20．（10分）如图，在中，，点为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，分别交、于点、，连结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求点到的距离．

21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
家务类型
洗衣
拖地
煮饭
刷碗
人数（人
10
12
10

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）　　；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 　　；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．

23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标．


24．（10分）如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，．
（1）求证：直线是是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．

25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置△的位置，那么可以得到：
，，；
，，．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　　；
（2）如图2，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为 　　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．

26．（13分）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有．
（1）求的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线．
当时，探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等．求长的取值范围．

2023年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算：　　
A． B． C． D．1
【分析】直接合并同类项得出答案．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
【解答】解：．选项中的几何体是圆锥体，因此选项不符合题意；
．选项中的几何体是球体，因此选项不符合题意；
．选项中的几何体是圆柱体，因此选项符合题意；
．选项中的几何体是四棱柱，因此选项不符合题意；
故选：．
3．（3分）下列各点在函数图象上的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．
【解答】解：．当时，，
点不在函数图象上；
．当时，，
点不在函数图象上；
．当时，，
点不在函数图象上；
．当时，，
点在函数图象上；
故选：．
4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：．
故选：．
5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为　　

A．100 B．150 C．200 D．400
【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．
【解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（人，
故选：．
6．（3分）如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连结．若，，则　　

A．2 B． C．3 D．4
【分析】由菱形的性质得到，，，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出的长．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
为边的中点，
．
故选：．
7．（3分）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出，再根据，求得，，进一步得出求得答案即可．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，
，
解得，，
．
故选：．
8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则　　

A． B． C．4 D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出的值．
【解答】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，
由题意可得：，，，
解得，，，
，
故选：．
9．（3分）如图4，抛物线经过点、，且，有下列结论：
①；
②；
③；
④若点，，，在抛物线上，则．
其中，正确的结论有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，故①正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，故③正确；
点，到对称轴的距离比点，到对称轴的距离近，
，故④的结论错误．
故选：．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，为弦的中点．当、两点在圆上运动时，面积的最大值是　　

A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由题得，当、、共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．
【解答】解：作，连接、、，
，，
，
为等腰直角三角形，
由得，点、，
，
为等腰直角三角形，
，，
由题得，当、、共线时，最大，
为中点，
，
，
．
故选：．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）不等式的解集是　　．
【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出的取值范围．
【解答】解：解不等式得，．
12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 　160　．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
13．（3分）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 　　．

【分析】根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：，
，
是的平分线，
，
故答案为：．
14．（3分）若、满足，则　16　．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：，
，
．
故答案为：16．
15．（3分）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点．若，则　　．

【分析】通过证明，可得，即可求解．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）定义：若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则　　；
（2）若双曲线存在“和谐点”，则的取值范围 　　．
【分析】（1）根据题意得出，消去得到，解方程即可求得；
（2）根据题意得出，①②得，整理得，由，得出，理得，由，得出．
【解答】解：（1）是“和谐点”，
，
消去得到，
解得或3，
，
；
故答案为：；
（2）双曲线存在“和谐点”，
，
①②得，
，
，
，
整理得，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（9分）解二元一次方程组：．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
①得：③，
②③得：，
解得：，
把代入①中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
19．（9分）如图，已知与相交于点，，，求证：．


【分析】由平行线的性质可得，，利用即可判定，从而得．
【解答】证明：，
，，
在和中，
，
，
．
20．（10分）如图，在中，，点为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，分别交、于点、，连结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求点到的距离．

【分析】（1）先证四边形为平行四边形，即可求解；
（2）由勾股定理可求的长，由面积法可求解．
【解答】（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形；
（2）解：过点作于，
在中，，，
，
，
，
点到的距离为．

21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【分析】设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
家务类型
洗衣
拖地
煮饭
刷碗
人数（人
10
12
10

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）　8　；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 　　；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．

【分析】（1）先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得的值；
（2）用乘以“拖地”所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）因为被调查的总人数为（人，
所以，
故答案为：8；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）列表如下：

男1
男2
女1
女2
男1

（男1，男
（男1，女
（男1，女
男2
（男2，男

（男2，女
（男2，女
女1
（女1，男
（女1，男

（女1，女
女2
（女2，男
（女2，男
（女2，女

由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，
所以所选同学中有男生的概率为．
23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标．


【分析】（1）把代入反比例函数解析式求得的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点作 轴于点，过点作 轴于点，由得到，即，解得，即可求得点的纵坐标为2或，进一步求得点的坐标．
【解答】解：（1）点在反比例函数 的图象上，
，
，
，
又点、都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）对于，当时，，
，
，
，
过点作 轴于点，过点作 轴于点，
，
，即，
解得，
点的纵坐标为2或，
将或代入 得或，
点或．

24．（10分）如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，．
（1）求证：直线是是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．

【分析】（1）先由，证明是的直径，再证明，则，即可证明直线是是的切线；
（2）由，得，则，，所以，则．
【解答】（1）证明：，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．

25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置△的位置，那么可以得到：
，，；
，，．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等　；
（2）如图2，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为 　　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．

【分析】【问题解决】
（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①作线段，的垂直平分线，两垂直平分线交于，点为所求；
②由，，可得，再用弧长公式可得答案；
【问题拓展】
连接，交于，连接，，，，，求出，，可得；，证明△可知阴影部分关于对称，故重叠部分面积为．
【解答】解：【问题解决】
（1）根据题意，，，；，，的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：

作线段，的垂直平分线，两垂直平分线交于，点为所求；
②，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点经过的路径长为，
故答案为：；
【问题拓展】
连接，交于，连接，，，，，如图：

点为中点，
，
由旋转得，，
在中，，
，
在△中，
，，
；
，
下面证明阴影部分关于对称：
，，
，
，
，
，
，
△，
，
，
，，
△，
阴影部分面积被等分，
．
两个纸板重叠部分的面积是．
26．（13分）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有．
（1）求的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线．
当时，探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等．求长的取值范围．
【分析】（1）根据当时，总有，构建方程，求解即可；
（2）①求出抛物线经过或时的的值，可得结论；
②判断出抛物线经过或时的值，求出的取值范围，再根据，设，构建关系式，求出即，可得结论．
【解答】解：（1）由题可知：，，
当 时，总有，
，
整理得：，
，
，
，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，只影响图象左右平移．
下面考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线 过点时，如图1所示，

此时，，，解得或（舍．
当抛物线 过点时，如图2所示，

此时，，
解得或 （舍．
综上所述，；
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线 过点时，如图3所示，

此时，，，解得或 （舍．
当抛物线 过点时，如图4所示，

此时，，，解得 或0（舍．
综上所述，．
如图5，由圆的性质可知，点、在线段的垂直平分线上，

，解得，，
，
．
，
设，
，
，
，
，
，
，即，

，即，
，
．