2023年天津市中考数学试卷

2023年天津市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，​只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）计算的结果等于　　

A． B． C． D．1

【答案】

【分析】根据有理数乘法法则计算即可．

【解答】解：原式

，

故选：．

2．（3分）估计的值在　　

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

【答案】

【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．

【解答】解：，

，

即，

那么在2和3之间，

故选：．

3．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．

故选：．

4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：、，选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：．

5．（3分）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．

【解答】解：，

故选：．

6．（3分）的值等于　　

A．1 B． C． D．2

【答案】

【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．

【解答】解：原式

，

故选：．

7．（3分）计算的结果等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．

【解答】解：

，

故选：．

8．（3分）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案．

【解答】解：将，代入，得：，即：，

将，代入，得：，即：，

将，代入，得：，即：，

．

故选：．

9．（3分）若，是方程的两个根，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．

【解答】解：，是方程的两个根，

，，

故选：．

10．（3分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为　　

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再结合已知易得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．

【解答】解：由题意得：是的垂直平分线，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故选：．

11．（3分）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可得．

【解答】解：如图，设与的交点为，

把以点为中心逆时针旋转得到，

，，

又，

，

故选：．

12．（3分）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】

【分析】设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积．解方程求出的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，

根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．

【解答】解：设边长为，则边长为长为，

当时，，

解得，

的长不能超过，

，

故①不正确；

菜园面积为，

，

整理得：，

解得或，

的长有两个不同的值满足菜园面积为，

故②正确；

设矩形菜园的面积为，

根据题意得：，

，，

当时，有最大值，最大值为200．

故③正确．

正确的有2个，

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　．

【答案】．

【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：袋子中共有10个球，其中绿球有7个，

从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是，

故答案为：．

14．（3分）计算的结果为 　　．

【答案】．

【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．

【解答】解：，

故答案为：．

15．（3分）计算的结果为 　1　．

【答案】1．

【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．

【解答】解：

，

故答案为：1．

16．（3分）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 　5　．

【答案】5．

【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值．

【解答】解：将直线向上平移3个单位，得到直线，

把点代入，得．

故答案为：5．

17．（3分）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．

（1）的面积为 　3　；

（2）若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为 　　．

【答案】．

【分析】（1）过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积为；（2）过作的垂线交于，于，于，根据正方形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）过作于，

．，

，

，

的面积为；

故答案为：3；

（2）过作的垂线交于，于，于，

四边形是正方形，

，

，

四边形是矩形，

，，

，，

为的中点，

，

在与中，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上．

（1）线段的长为 　　；

（2）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．

【答案】（1）；

（2）取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）．

故答案为：；

（2）如图，点即为所求；

方法：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求；

理由：可以证明，，

，

，

，，

，

是等边三角形．

故答案为：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得 　　；

（2）解不等式②，得 　　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集为 　　．

【答案】（1）；

（2）；

（3）解集先数轴上表示见解答；

（4）．

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：

（4）原不等式组的解集为；

故答案为：（1）；

（2）；

（4）．

20．（8分）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：的值为 　40　，图①中的值为 　　；

（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．

【答案】（1）40；15；

（2）14；15；14．

【分析】（1）把各条形图对应的学生人数加起来为的值；根据百分比由依次减去各年龄对应的百分比可得的值；

（2）利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可．

【解答】解：（1）；

，

．

故答案为：40；15；

（2）平均数为；

岁的学生最多，

众数为15；

一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，

中位数为14．

21．（10分）在中，半径垂直于弦，垂足为，，为弦所对的优弧上一点．

（1）如图①，求和的大小；

（2）如图②，与相交于点，，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的长．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）由垂径定理得到，因此，得到，由圆周角定理即可求出的度数；

（2）由垂径定理，圆周角定理求出的度数，得到的度数，由三角形外角的性质求出的度数，由锐角的正切定义即可求出的长．

【解答】解：（1）半径垂直于弦，

，

，

，

，

；

（2）如图，连接，

半径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

切圆于，

，

，

，

．

22．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．

（1）求的长；

（2）设塔的高度为（单位：；

①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；

②求塔的高度取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】（1）的长为；

（2）①线段的长为；

②塔的高度约为

【分析】（1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；

（2）①根据题意得：，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；

②过点作，垂足为，根据题意得：，，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）由题意得：，

在中，，，

，

的长为；

（2）①由题意得：，

在中，，，

，

在中，，，

，

，

线段的长为；

②过点作，垂足为，

由题意得：，，

，

，

在中，，

，

，

解得：，

，

塔的高度约为．

23．（10分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）①填表：

②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　；

③当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式；

（2）当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）

【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③关于的函数解析式为；

（2）离宿舍的距离是．

【分析】（1）①根据函数的图象计算即可；

②根据速度路程时间计算即可；

③根据函数图象分段写出函数解析式即可；

（2）设李明从体育场出发分钟后与张强相遇，结合题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为，

当张强离开宿舍时，张强离宿舍的距离为；

当张强离开宿舍时，张强离宿舍的距离为；

当张强离开宿60舍时，张强离宿舍的距离为；

故答案为：0.12，1.2；0.6；

②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为，

故答案为：0.06；

③当时，；

张强从文具店到宿舍时的速度为，

当时，；

综上，关于的函数解析式为；

（2）根据题意，当张强离开体育场时，张强到达文具店并停留了，

设李明从体育场出发分钟后与张强相遇，

则，

解得，

，

离宿舍的距离是．

24．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，菱形的顶点，，，，，矩形的顶点，，．

（1）填空：如图①，点的坐标为 　，　，点的坐标为 　　；

（2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，，设，矩形与菱形重叠部分的面积为．

①如图②，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；

②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1），，，；

（2）①，②．

【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；

（2）①由题意易得，，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．

【解答】（1）解：四边形是矩形，且．，，，

，，

，；

连接，，交于一点，如图所示：

四边形是菱形，且，，，，，

，，，，

，

，，

故答案为，，，；

（2）解：①点，点，，点，

矩形中，轴，轴，，，

矩形中，轴，轴，，，

由点，，点，得，，

在中，，得，

在中，由，，得，

，同理，得，

，得矩形，

又，

，

当时，则矩形和菱形重叠部分为△，

的取值范围是，

②由①及题意可知当时，矩形和姜形重叠部分的面积是增大的，当时，矩和菱形重叠部分的面积是减小的，

当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：

此时面积最大，最大值为；

当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：

由（1）可知、之间的水平距离为，则有点到的距离为，

由①可知：，

矩形和菱形重叠部分为等边三角形，

该等边三角形的边长为，

此时面积最小，最小值为，

综上所述：当时，则．

25．（10分）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．

（1）若，．

①求点和点的坐标；

②当时，求点的坐标；

（2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．

【答案】（1）①点的坐标为，点的坐标为．

②点的坐标为．

（2）点的坐标为．

【分析】（1）①利用配方法即可得到顶点的坐标，令，解方程即可得到的坐标．

②过点作轴于点，于直线交于点，证得，表示出点、点的坐标，进而表示出，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到的坐标．

（2）求出顶点的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明，根据，列方程求解即可．

【解答】解：（1）①，，

抛物线的解析式为，

，

当时，，

解得，，

点在点的左侧，

．

答：点的坐标为，点的坐标为．

②如图，过点作轴于点，于直线交于点，

，，

，

在中，，

在中，，

抛物线上的点的横坐标为，其中，

，，

，

，

，

在中，，

，

，

解得，（舍去），

．

答：点的坐标为．

（2）点在抛物线上，其中，

，

得，

抛物线的解析式为，

，，其中．

顶点的坐标为，对称轴为直线．

如图，过点作于点，

则，

，

，

，

，

即，

解得，（舍去），

同②，过点作轴于点，于直线交于点，

则点，点，点，

，

，

即，

解得（舍去），

点的坐标为．

答：点的坐标为．