10_专题十磁场（习题+检测+10年真题）

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专题十　磁场
基础篇
考点一　磁场的描述
1.(2022全国乙,18,6分)(多选)安装适当的软件后,利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图,在手机上建立直角坐标系,手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量,每次测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知(　　)

测量序号
Bx/μT
By/μT
Bz/μT
1
0
21
-45
2
0
-20
-46
3
21
0
-45
4
-21
0
-45
A.测量地点位于南半球
B.当地的地磁场大小约为50 μT
C.第2次测量时y轴正向指向南方
D.第3次测量时y轴正向指向东方
答案　BC　
2.(2022江苏,3,4分)如图所示,两根固定的通电长直导线a、b相互垂直,a平行于纸面,电流方向向右,b垂直于纸面,电流方向向里。则导线a所受安培力方向(　　)

A.平行于纸面向上
B.平行于纸面向下
C.左半部分垂直纸面向外,右半部分垂直纸面向里
D.左半部分垂直纸面向里,右半部分垂直纸面向外
答案　C　
3.(2021全国甲,16,6分)两足够长直导线均折成直角,按图示方式放置在同一平面内,EO与O'Q在一条直线上,PO'与OF在一条直线上,两导线相互绝缘,通有相等的电流I,电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时,所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为(　　)

A.B、0　　　B.0、2B　　　C.2B、2B　　　D.B、B
答案　B　
4.(2021福建,6,6分)(多选)如图,四条相互平行的细长直导线垂直坐标系xOy平面,导线与坐标平面的交点为a、b、c、d四点。已知a、b、c、d为正方形的四个顶点,正方形中心位于坐标原点O,e为cd的中点且在y轴上;四条导线中的电流大小相等,其中过a点的导线的电流方向垂直坐标平面向里,其余导线电流方向垂直坐标平面向外。则(　　)

A.O点的磁感应强度为0
B.O点的磁感应强度方向由O指向c
C.e点的磁感应强度方向沿y轴正方向
D.e点的磁感应强度方向沿y轴负方向
答案　BD　
考点二　磁场对电流的作用
1.(2021江苏,5,4分)在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定,固定点的距离为2L。导线通有电流I,处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中,导线中的张力为　(　　)

A.BIL　　　B.2BIL　　　C.πBIL　　　D.2πBIL
答案　A　
2.(2021广东,5,4分)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流I1,四根平行直导线均通入电流I2,I1≫I2,电流方向如图所示。下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是(　　)

A　　B　　C　　D
答案　C　
3.(2022湖南,3,4分)如图(a),直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上,其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场,与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化,其截面图如图(b)所示。导线通以电流I,静止后,悬绳偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)

A.当导线静止在图(a)右侧位置时,导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大,静止后,导线对悬绳的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
答案　D　
4.(2022湖北,11,4分)(多选)如图所示,两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上,棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中,磁感应强度大小恒定,方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角θ可调。导体棒沿导轨向右运动,现给导体棒通以图示方向的恒定电流,适当调整磁场方向,可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时,加速度的最大值为33g;减速时,加速度的最大值为3g,其中g为重力加速度大小。下列说法正确的是(　　)

A.棒与导轨间的动摩擦因数为36
B.棒与导轨间的动摩擦因数为33
C.加速阶段加速度大小最大时,磁场方向斜向下,θ=60°
D.减速阶段加速度大小最大时,磁场方向斜向上,θ=150°
答案　BC　
5.(2022全国甲,25,20分)光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器,其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧,C为位于纸面上的线圈,虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场;M为置于平台上的轻质小平面反射镜,轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连,PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条,PQ的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时,M竖直且与纸面垂直;入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变,使M发生倾斜,入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心,通过读取反射光射到PQ上的位置,可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数k,磁场磁感应强度大小为B,线圈C的匝数为N、沿水平方向的长度为l,细杆D的长度为d,圆弧PQ的半径为r,r≫d,d远大于弹簧长度改变量的绝对值。

(1)若在线圈中通入的微小电流为I,求平衡后弹簧长度改变量的绝对值Δx及PQ上反射光点与O点间的弧长s;
(2)某同学用此装置测一微小电流,测量前未调零,将电流通入线圈后,PQ上反射光点出现在O点上方,与O点间的弧长为s1;保持其他条件不变,只将该电流反向接入,则反射光点出现在O点下方,与O点间的弧长为s2。求待测电流的大小。
答案　(1)NBIlk　2NBIlrkd　(2)k(s1+s2)d4NBlr
考点三　磁场对运动电荷(或带电粒子)的作用
1.(2022湖北,10,4分)(多选)如图所示,一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入,并经过点P(a>0,b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现,粒子从O到P运动的时间为t1,到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现,粒子从O到P运动的时间为t2,到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是(　　)

A.t1t2　　　
C.Ek1Ek2
答案　AD　
2.(2021湖北,9,4分)(多选)一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中,在某一时刻突然分裂成a、b和c三个微粒,a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动,环绕方向如图所示,c未在图中标出。仅考虑磁场对带电微粒的作用力,下列说法正确的是(　　)

A.a带负电荷
B.b带正电荷
C.c带负电荷
D.a和b的动量大小一定相等
答案　BC　
3.(2020北京,19,10分)如图甲所示,真空中有一长直细金属导线MN,与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子,已知电子质量为m,电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。

(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度:
a.在柱面和导线之间,只加恒定电压;
b.在柱面内,只加与MN平行的匀强磁场。
当电压为U0或磁感应强度为B0时,刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度v0。
(2)撤去柱面,沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片,如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I,电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
解析　(1)a.在柱面和导线之间,只加恒定电压U0,电子做匀减速运动,到达柱面时速度刚好为零。
由动能定理可得-eU0=0-12mv02,
解得v0=2eU0m
b.在柱面和导线之间,只加匀强磁场B0,电子做匀速圆周运动,到达柱面时速度与柱面相切。由几何关系可得,电子做圆周运动的轨道半径r=R2,由洛伦兹力提供向心力可得ev0B0=mv02r,解得v0=eB0R2m。
(2)设单位长度导线单位时间内射出的电子数为n,由电流的定义式可知I=n·a2πR·be
由压强公式可得:电子流对该金属片的撞击力F=pab
在电子撞击金属片过程中,由动量定理可得
-FΔt=0-IΔtemv0
由动能的定义式可得:Ek=n×12mv02
联立可得Ek=πReabp2mI
4.(2021新高考联考,12)在一个边长为L的正方形区域内存在沿AC方向的匀强电场,场强大小为E,将质量为m的带电粒子以初速度v0从AB的中点P沿垂直于场强的方向射入场区后恰从CD的中点Q飞出。若不计粒子重力,求:

(1)粒子的带电荷量q;
(2)调整粒子的速度后恰从C点飞出,求此过程中电场对粒子的冲量;
(3)若将电场改为垂直于正方形区域的匀强磁场,欲使粒子以初速度v0从AB的中点P沿垂直于AC的方向射入,经磁场后恰从CD的中点Q飞出,求粒子在磁场中运动的时间。
答案　(1)q=22mv02EL　(2)6mv0,方向沿AC方向　(3)2πL4v0
综合篇
拓展一　带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题
1.(2022广东,7,4分)如图所示,一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场,并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中,可能正确的是(　　)


答案　A　
2.(2021北京,12,3分)如图所示,在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出(　　)

A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
答案　A　
3.(2021海南,13,4分)(多选)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,3L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　)

A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为23qBLm
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为35L
答案　ACD　
4.(2020浙江7月选考,22,10分)某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,探测板CD平行于HG水平放置,能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场,b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出,并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N,离子束间的距离均为0.6R,探测板CD的宽度为0.5R,离子质量均为m,电荷量均为q,不计重力及离子间的相互作用。

(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s;
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax;
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收,求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。
答案　(1)qBRm　0.8R　(2)Lmax=415R　(3)见解析
解析　(1)b速度离子轨迹圆心O在H点,轨迹半径为R,故有qvB=mv2R

得v=qBRm
在△OO'Q中,OO'=0.6R
s=OQ=R2−(0.6R)2=0.8R
(2)a束离子轨迹半径为R,圆心O″与O(H)点距离为0.6R,故a、c束中的离子从同一点Q射出,α=β
tan α=QELmax=R−sLmax=0.6R0.8R=34,解得Lmax=415R
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量
pz=p cos α=0.8qBR
当0 E与D在同一竖直线上,CD=0.5R、EQ=0.2R,tan β=tan α=CD−EQL,解得L=0.4R,当415R 当L>0.4R,F=Np=NqBR
5.(2020课标Ⅱ,24,12分)如图,在0≤x≤h,-∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场,不计重力。

(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向,并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm;
(2)如果磁感应强度大小为Bm2,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
答案　(1)磁场方向垂直于纸面向里　Bm=mv0qℎ
(2)π6　(2-3)h
6.(2022山东,17,14分)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破,该装置中用电磁场约束和加速高能离子,其部分电磁场简化模型如图所示,在三维坐标系Oxyz中,0
(1)当离子甲从A点出射速度为v0时,求电场强度的大小E;
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动,求进入磁场时的最大速度vm;
(3)离子甲以qBd2m的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ,求第四次穿过xOy平面的位置坐标(用d表示);
(4)当离子甲以qBd2m的速度从O点进入磁场Ⅰ时,质量为4m、带电荷量为+q的离子乙,也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ,求两离子进入磁场后,到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)。
答案　 (1)mv02 sin2β2qL　(2)qBdm　(3)(d,d,0)　(4)2(2+1)πmqB
拓展二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.(2022湖北,8,4分)(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)

A.13kBL,0°　　　B.12kBL,0°
C.kBL,60°　　　D.2kBL,60°
答案　BC　
2.(2020江苏单科,16,16分)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场,y轴为两磁场的边界,磁感应强度分别为2B0、3B0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场,速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q,其轨迹如图所示。甲经过Q时,乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m,电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求:

(1)Q到O的距离d;
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt;
(3)乙的比荷q'm'可能的最小值。
答案　(1)mv3qB0　(2)2πmqB0　(3)2qm
3.(2019江苏单科,16,16分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d,且d
(1)求粒子运动速度的大小v;
(2)欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M的最大距离dm;
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场,PM=d,QN=d2,求粒子从P到Q的运动时间t。
答案　(1)qBdm　(2)2+32d　
(3)(a)当L=nd+(1-32)d时,t=(Ld+33−46)πm2qB
(b)当L=nd+(1+32)d时,t=(Ld−33−46)πm2qB
4.(2022广东韶关二模,19)扭摆器是同步辐射装置中的插入件,能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图,Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直,相距为L,磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为-q、重力不计的粒子,从靠近平行板电容器MN板处由静止释放,极板间电压为U,粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区,射入时速度与水平方向夹角θ=30°。

(1)当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时,粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°,求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0;
(2)若L2=L1=L、B1=B0,为使粒子能返回Ⅰ区,求B2应满足的条件;
(3)若B1≠B2,L1≠L2,且保证粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同,求B1、B2、L1、L2之间应满足的关系式。
答案　(1)1L2mUq　πL3m2qU
(2)B2≥3LmU2q
(3)B2L2=B1L1
拓展三　带电粒子在组合场和叠加场中的运动
1.(2022广东,8,6分)(多选)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有(　　)

A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
答案　BC　
2.(2022全国甲,18,6分)空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　)

答案　B　
3.(2022广东佛山二模,8)(多选)据报道,我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持。如图,在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1,其磁感应强度大小可近似认为处处相等;垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场(图中没画出),磁场1与磁场2的磁感应强度大小相等,已知电子电荷量为e,质量为m,若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。则以下说法正确的是(　　)

A.电场方向垂直环平面向外
B.电子运动周期为2πRv
C.垂直环平面的磁感应强度大小为mveR
D.电场强度大小为mv2eR
答案　BCD　
4.(2021福建,2,4分)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子(11H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响)(　　)

A.以速度v02射入的正电子(10e)
B.以速度v0射入的电子(−10e)
C.以速度2v0射入的氘核(12H)
D.以速度4v0射入的α粒子(24He)
答案　B　
5.(2021广东,14,15分)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域,圆a内为无场区,圆a与圆b之间存在辐射状电场,圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定,大小不同,方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场。电场可以反向,保证电子每次进入电场被全程加速。已知圆a与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为3R,电子质量为m,电荷量为e。忽略相对论效应。取tan 22.5°=0.4。

(1)当Ek0=0时,电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场,且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°,最终从Q点出射,运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能;
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰,就能从出射区域出射。当Ek0=keU时,要保证电子从出射区域出射,求k的最大值。
答案　(1)5RmUe　πR4meU　8eU　(2)136
6.(2022湖南,13,13分)如图,两个定值电阻的阻值分别为R1和R2,直流电源的内阻不计,平行板电容器两极板水平放置,板间距离为d,板长为3d,极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为+q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器,做匀速圆周运动,恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中,小球未与极板发生碰撞,重力加速度大小为g,忽略空气阻力。

(1)求直流电源的电动势E0;
(2)求两极板间磁场的磁感应强度B;
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场,使小球离开电容器后沿直线运动,求电场强度的最小值E'。
答案　(1)mgd(R1+R2)qR2　(2)mv2qd　(3)mg2q
应用篇
模型一　洛伦兹力与现代科技模型
1.(2022浙江柯桥中学月考,8)在实验室中有一种污水流量计,其原理可以简化为如图所示模型:废液内含有大量正、负离子,从直径为d的圆柱形容器右侧流入,左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场,并测出M、N间的电压U,则下列说法正确的是(　　)

A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B.容器内液体的流速为v=UBd
C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.污水流量Q=πUd2B
答案　B　
2.(2020课标Ⅱ,17,6分)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称,CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图,其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场,虚线框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进,打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)

图(a)

图(b)
A.M处的电势高于N处的电势
B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
答案　D　
3.(2021江苏,15,16分)如图1所示,回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心,磁感应强度大小为B,加速电压为U。质量为m、电荷量为q的粒子从O点附近飘入电场,经过多次加速后,粒子经过P点绕O做圆周运动,半径为R,粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场,在P位置安装一个“静电偏转器”,如图2所示,偏转器的两极板M和N厚度均匀,构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α。当M、N间加有电压时,狭缝中产生电场强度大小为E的电场,使粒子恰好能通过狭缝。粒子在再次被加速前射出磁场,不计M、N间的距离,求:

图1　　　　　　　　　　图2
(1)粒子加速到P点所需的时间t;
(2)极板N的最大厚度dm;
(3)磁场区域的最大半径Rm。
答案　(1)(qB2R22mU-1)πmqB
(2)2(R2−2mUqB2−R2−4mUqB2)
(3)R+2mERqB2R−mE sin α2
4.(2021河北,14,16分)如图,一对长平行栅极板水平放置,极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为v0、带正电的粒子束,单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板OM与正极板成37°倾斜放置,用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点,C点位于O点的正上方,P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小),用于接收从上方打入的粒子,CP长度为L0。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力,sin 37°=35。

(1)若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上,求可调电源电压U0的大小;
(2)调整电压的大小,使粒子不能打在挡板OM上,求电压的最小值Umin;
(3)若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调,则负极板上存在H、S两点(CH≤CP 答案　(1)qB2L028m−mv022q　(2)7mv0218q
(3)CH=(2n+6)mv03qB　CS=(2n+8)mv03qB
5.(2022浙江6月选考,22,10分)离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P,可绕过O点、垂直xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调),其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q,板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为-q(q>0)、速度大小不同的离子,其中速度大小为v0的离子进入转筒,经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷,不计离子的重力和离子间的相互作用。

(1)①求磁感应强度B的大小;②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处,求转筒P角速度ω的大小;
(2)较长时间后,转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处,OC与x轴负方向的夹角为θ,求转筒转动一周的时间内,C处受到平均冲力F的大小;
(3)若转筒P的角速度小于6v0R,且A处探测到离子,求板Q上能探测到离子的其他θ'的值(θ'为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角)。
解析　(1)①离子在磁场中运动qv0B=mv02R　B=mv0qR
②离子在磁场中的运动时间t=πR2v0
转筒的转动角度ωt=2kπ+π2
ω=(4k+1)v0R,k=0,1,2,…
(2)设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为R'
R'=R tanθ2　v=v0 tanθ2
离子在磁场中的运动时间t'=(π-θ)Rv0
转筒的转动角度ω't'=2nπ+θ
转筒的转动角速度ω'=(2nπ+θ)v0(π−θ)R,n=0,1,2,…
动量定理F2πω'=Nmv
F=(2nπ+θ)Nmv022(π−θ)πR tanθ2,n=0,1,2,…
(3)转筒的转动角速度(4k+1)v0R=(2nπ+θ')v0(π−θ')R<6v0R
k=1,θ'=5−2n6π,n=0,2
可得θ'=56π,16π
模型二　磁聚焦与磁发散模型
1.(2021北京朝阳联考,15)如图所示为磁聚焦法测量比荷的原理图。在阴极K和阳极A之间加电压,电子由阳极A中心处的小孔P射出。小孔P与荧光屏中心O点的连线为整个装置的中轴线。在极板很短的电容器C上加很小的交变电场,使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的偏转,可认为所有电子从同一点发散。在电容器C和荧光屏S之间加一平行于PO的匀强磁场,电子经过一段时间再次汇聚在一点。调节磁感应强度B的大小,可使电子流刚好再次汇聚在荧光屏的O点。已知K、A之间的加速电压为U,C与S之间磁场的磁感应强度为B,发散点到O点的距离为l。下列说法正确的是(　　)

A.电子通过电容器后速度方向相同
B.从右侧往左侧看,电子做圆周运动的半径相同
C.所有电子从发散到再次汇聚所用的时间相同
D.粒子的比荷em=4π2UB2l2
答案　C　
2.(2022河北廊坊期末,9)(多选)如图所示,长方形abcd的长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以e为圆心,eb为半径的圆弧和以O为圆心,Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场),磁感应强度B=0.25 T。一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=2×10-3 C的带正电粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域,粒子间的相互作用不计,则下列判断正确的是(　　)

A.从Od边射入的粒子,出射点全部分布在ab边
B.从aO边射入的粒子,出射时全部通过b点
C.从Od边射入的粒子,出射时全部通过b点
D.从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边
答案　BC　
3.(2022东北三校联考,14)在科学研究中,常用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示,真空中有一半径为r的圆形磁场区域,与x轴相切于坐标原点O,磁场磁感应强度为B,方向垂直于纸面向外,在圆形磁场区域的右侧有两水平放置的正对的平行金属板M、N,板间距离也为r,板长为L,板间中心线O2O3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O1,在O点处有一粒子源,能向磁场中各个方向(纸面内)源源不断地发射速率相同、质量为m、比荷为k且带正电的粒子,单位时间内发射的粒子数为n,沿y轴正方向射入磁场的粒子,恰能沿直线O2O3的方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用。

(1)求粒子入射的速度v0的大小。
(2)若已知两平行金属板间电场强度E=kB2r3L2,在平行板的右端适当位置固定一平行于y轴方向的探测板(图中未画出),使从M、N板右侧射出平行板间的粒子全部打在探测板上,则板长至少为多少?
(3)在满足第(2)问的前提下,若打到探测板上的粒子被全部吸收,求粒子束对探测板的平均作用力的大小。
答案　(1)kBr　(2)r2　(3)16nmkBr1+r2L2
模型三　带电粒子在交变电、磁场中的运动模型
1.(2022山西大同阶段检测,14)如图甲所示,在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场,变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向时电场强度为正)。在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0,方向沿y轴正方向的带负电粒子。已知v0、t0、B0,粒子的比荷为πB0t0,不计粒子的重力。求:

(1)t=t0时,粒子的位置坐标;
(2)若t=5t0时粒子回到原点,0~5t0时间内粒子距x轴的最大距离;
(3)若粒子能够回到原点,满足条件的所有E0值。
答案　(1)2v0t0π,0　(2)32+2πv0t0
(3)v0B0nπ(n=1,2,3,…)
2.(2022河北,14,16分)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示。金属板与可调电源相连形成电场,方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场,方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源,可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量。求:
(1)t=0时刻释放的粒子,在t=2πmqB0时刻的位置坐标;
(2)在0~6πmqB0时间内,静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功;
(3)在M4πE0mqB02,π2E0m4qB02点放置一粒子接收器,在0~6πmqB0时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

图1

图2
答案　(1)2πE0mqB02,π2E0m2qB02　(2)2π2E02mB02
(3)πm2qB0和133·πmqB0