山东省聊城市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

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山东省聊城市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

2．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．

4．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


5．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

四．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

六．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
9．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）
（参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）

10．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

七．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　 　组和第 　 　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　 　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．

八．折线统计图（共1小题）
12．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　 　，b＝　 　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？


山东省聊城市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

【答案】（1）反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），一次函数为y＝﹣x+3；
（2）n＝﹣．
【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y＝﹣上，
∴5+n＝，
解得n＝﹣，
∴Q（，﹣5），
连接AQ，交x轴于点C，
设直线AQ为y＝k′x+b′，
则，解得，
∴直线AQ为y＝﹣5x﹣1，
令y＝0，则x＝﹣，
∴C（﹣，0），
∴PC＝﹣+＝4，
∴S△APQ＝S△APC+S△QPC＝×4×（4+5）＝18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n＝﹣符合题意．

2．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

【答案】（1）k＝8，p＝；
（2）（4，2）．
【解答】解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，），
∴m•＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．

【答案】（1）y＝；
（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a•3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，

抛物线的对称轴为：直线x＝＝，
由对称性可得Q1（3，﹣9），
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
4．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．


【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明过程详见解答；
（3）点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，

作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1FC，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得：，
∴，
∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当四边形MNQP是平行四边形时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，﹣8），
当四边形MNPQ是平行四边形时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
5．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的表达式为y＝，直线AC的表达式为y＝2x﹣2；
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；
（3）的最大值为，此时点P坐标为（﹣2，﹣3）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c过点A（1，0），C（0，﹣2），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y＝．
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则
，解得：．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝，
∴点B坐标为（﹣4，0）．
∵OA＝1，OC＝2，
∴．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE（AAS）．
∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
故点D不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点B、C的直线表达式为y＝px+q，
∵C（0，﹣2），B（﹣4，0），
∴，解得：．
∴过点B、C的直线解析式为y＝．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，﹣），
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．
设点P坐标为（m，），则点N坐标为（m，），
∴PN＝﹣（）＝，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN．
∴．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底），
则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．
∴＝＝＝．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为（﹣2，﹣3）．


三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
过A点作AF⊥ED于F，
∴EF＝ED＝2，
∴AF＝，
∴S△AED＝ED•AF＝．

四．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；
（2）15﹣3．
【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC＝，
∴BF＝＝16，
∴BD＝＝20，
∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，
∴＝12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
∴，
解得EO＝15﹣3，
∴⊙O的半径为15﹣3．

五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【答案】13米．
【解答】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，
在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，
∴tan∠EAM＝，
∴AM＝＝≈＝12米，
∴BH＝AM＝12米，
∵BD＝20，
∴DH＝BD﹣BH＝8米，
∴CN＝8米，
在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，
∴tan∠ECN＝，
∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，
∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），
即古槐的高度约为13米．

六．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
9．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）
（参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）

【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，
则四边形ADEB是矩形，
∴DE＝AB＝520m，
设PD＝xm，
在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，
∴AD＝≈m，
∴BE＝AD＝m，
∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，
在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，
解得x＝800，
∴PD＝800m，
∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），
答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．

10．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【答案】约为420米．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．

七．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　③　组和第 　③　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　28%　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　560　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．

【答案】（1）③，③，28%，560；
（2）估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；
（3）①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵第③组的人数最多，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；
∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，
∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%；
2000×28%＝560（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；
故答案为：③，③，28%，560；
（2）由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时，
∴＝3.4（小时），
答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；
（3）一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生的人数的百分比为28%，
∵28%＜40%，
∴此次开展活动不成功；
建议：①学校多举办经典阅读活动；
②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
八．折线统计图（共1小题）
12．（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　8　，b＝　1.56　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？

【答案】（1）用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①8；1.56；
②应该给九年级颁奖；
（3）九年级的获奖率高．
【解答】解：（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a＝8分；
九年级竞赛成绩的方差为：s2＝×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×（10﹣8）2]＝1.56，
故答案为：8；1.56；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；
综上所述，应该给九年级颁奖．
（3）八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%，
九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．