湖北省咸宁市赤壁市第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份湖北省咸宁市赤壁市第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
赤壁市第一中学2023-2024学年高二年级上学期九月月考数学试卷命题学校：赤壁市第一中学  命题人：刘志辉  审题人：卢百铭考试时间：2023年09月24日14：30~16：30一、单选题1.若直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ）A. B. C. D.2.若复数满足（i为虚数单位），则（    ）A. B. C. D.3.如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，，.则向量在向量上的投影向量为（    ）A. B. C. D.5.某班12名篮球队队员的身高（单位：）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（    ）A.178 B.179 C.180 D.1816.如图所示，直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）A. B. C. D.7.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（    ）A. B. C.8 D.68.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E、F分别是、的中点，平面.则球O的体积为（    ）A. B. C. D.二、多选题9.已知圆心为C的圆与点，则（    ）A.圆C的半径为2B.点A在圆C外C.点A与圆C上任一点距离的最大值为D.点A与圆C上任一点距离的最小值为10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则（    ）A.丁险种参保人数超过五成 B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18-29周岁人群参保的总费用最少 D.人均参保费用不超过5000元11.已知某随机试验的两个随机事件A，B概率满足，，事件“事件A与事件B恰有一个发生”，则下列命题正确的有（    ）A.若，则A，B是互斥事件B.若A，B是互为独立事作，则A，B不可能是互斥事件C.D.12.如图，在等腰梯形中，，，将沿着翻折，使得点D到点P，且.下列结论正确的是（    ）A.平面平面 B.二面角的大小为45°C.三棱锥的外接球的表面积为 D.点C到平面的距离为三、填空题13.已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为，方差为120，女生样本平均数，方差为120，则总体样本方差是______.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则使该三角形有唯一解的x的值可以是______.（仅需填写一个符合要求的数值）15.某电路由A，B，C三种部件组成（如图），若在某段时间内A，B，C正常工作的概率分别为，，，则该电路正常运行的概率为______.16.在平面直角坐标系中，点P为单位圆O上的任一点，、.若，则的最大值为______.四、解答题17.现有7名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.（1）求被选中的概率；（2）求和至多有一个被选中的概率.18.（1）一直线被两直线，截得线段的中点是P点，求此直线方程；（2）过点的直线交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程.19.如图，在长方体木块中，，，.棱上有一动点E.（1）若，过点E画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）.在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比：（2）若平面交棱于Q，求四边形的周长的最小值.20.现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.21.如图，在四棱锥中，底面是正方形；侧棱底面，.（1）证明：平面平面；（2）点H在棱上，当二面角的余弦值为时，求.22.如图，在平面四边形中，点B与点D分别在直线的两侧，.（1）已知，且（i）当时，求的面积；（ii）若，求.（2）已知，且，求的最大值.  赤壁市第一中学2023-2024学年高二年级上学期九月月考数学试卷评分细则1.D   2.A   3.C   4.B   5.D   6.A   7.B   8.D9.BCD   10.ACD   11.AB   12.ACD13.129     14.8（答案不唯一，满足或中任一个数即可）15./0.32     16.17.（1）     （2）【详解】（1）解：用表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，则对应的样本空间，共有12个样本点，记事件“被选中”，则，共有6个样本点，所以被选中的概率.（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”可得，共2个样本点，所以.由对立事件的概率公式得.18.解：（1）设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，由中点坐标公式可得，解得，则该直线与直线的交点为，直线斜率为，所以直线方程为：，即.即此直线方程为.（2）设直线的方程为，则，，∵直线过点，∴，∵，当.且仅当时，取等号，∴，∴，当且仅当，时，取最小值4，此时直线的方程为，即.19.（1）作图见解析，体积的比值为或（2），【详解】（1）分别在，，上取F，G，H使，，则，，此时，又，又，平面，所以平面，平面，所以，则交线围成的正方形如图所示.因为为矩形，所以，又平面，平面，所以平面因为长方体被平面（正方形）分成两个高为5的直棱柱，所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又，所以.（2）平面交棱于Q，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，平行四边形的周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，当A，E，三点共线时，最小为.故四边形周长最小为.20.（1），这200条鱼汞含量的样本平均数为1.016；（2）1000   （3）【详解】（1）由，解得.则这200条鱼汞含量的样本平均数为.（2）样本中汞含量在内的频率为.则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.（3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.21.（1）证明见解析（2）【详解】（1）连结，∵侧棱底面，平面，∴.又∵底面是正方形，∴.而且，，平面.∴平面.又∵平面，∴平面平面.（2）过H作交于E，过E作于F，连接.在平面中，，，∴，因为底面，∴平面，又平面，∴，又∵，，，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角.故，则设，则，，.在中，，∴.在中，，∴.所以，当二面角的余弦值为时，.22.（1）（i）；（ii）；（2）.【详解】（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得，在中，，则底边上的高，所以的面积.（ii）设，依题意，，则，，即，而，所以.（2）连接，中，，，由余弦定理得.则，，设，在中，于是，在中，，由余弦定理得：，则.当且仅当，即时取等号，所以当时，，所以的最大值是.